等價關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系，它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理的等價關(guān)系的內(nèi)容，希望大家喜歡!

　　等價關(guān)系的介紹

　　等價關(guān)系是集合上的一種特殊的二元關(guān)系，它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。常用等價關(guān)系來劃分集合，選取每類的代表元素來降低問題的復(fù)雜度，如軟件測試時，可利用等價類來選擇測試用例。

　　等價關(guān)系的定義

　　設(shè) R 是集合 A 上的一個二元關(guān)系，若R滿足：

　　自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

　　對稱性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

　　傳遞性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

　　則稱 R 是定義在 A 上的一個等價關(guān)系。設(shè) R 是一個等價關(guān)系，若(a, b) ∈ R，則稱 a 等價于 b，記作 a ~ b 。

　　等價關(guān)系的應(yīng)用

　　例一：

　　設(shè)A = {1, 4, 7}，定義A上的關(guān)系R如下：

　　R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

　　其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余數(shù)與 b 除以 3 的余數(shù)相等。不難驗證 R 為 A 上的等價關(guān)系。

　　設(shè) f 是從 A 到 B 的一個函數(shù)，定義 A 上的關(guān)系 R ：aRb，當(dāng)且僅當(dāng)f(a) = f(b)，R 是 A 上的等價關(guān)系。

　　例二：

　　設(shè) R 為定義在集合 A 上的一個關(guān)系，若 R 是自反的、對稱的和傳遞的，則稱 R 為等價關(guān)系。設(shè) R 為集合 A 上的等價關(guān)系，對任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 稱為元素 a 形成的等價類，其等價類集合 {[a] | a∈A}，稱作A關(guān)于R的商集，記作 A/R。定理 3.7.1 設(shè)給定非空集合 A 上等價關(guān)系 R ，對于 a, b ∈A,有 aRb 當(dāng)且僅當(dāng) [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等價關(guān)系 R ，確定了 A 的一個劃分，該劃分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一個劃分，確定 A 的元素間的一個等價關(guān)系。

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