什么是對(duì)稱矩陣有哪些特性
對(duì)稱矩陣是元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等的矩陣。那么你對(duì)對(duì)稱矩陣了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是對(duì)稱矩陣的內(nèi)容，希望大家喜歡!
什么是對(duì)稱矩陣
元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等的矩陣。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。
對(duì)稱矩陣的特性
1.對(duì)于任何方形矩陣X，X+XT是對(duì)稱矩陣。
2.A為方形矩陣是A為對(duì)稱矩陣的必要條件。
3.對(duì)角矩陣都是對(duì)稱矩陣。
兩個(gè)對(duì)稱矩陣的積是對(duì)稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)兩者的乘法可交換。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣乘法可交換當(dāng)且僅當(dāng)兩者的特征空間相同。
用<,>表示上的內(nèi)積。n×n的實(shí)矩陣A是對(duì)稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有X, Y∈ ，( A(x) , Y )=( X, A(Y))。 【1】
任何方形矩陣X，如果它的元素屬于一個(gè)特征值不為2的域(例如實(shí)數(shù))，可以用剛好一種方法寫成一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)斜對(duì)稱矩陣之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)
每個(gè)實(shí)方形矩陣都可寫作兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣的積，每個(gè)復(fù)方形矩陣都可寫作兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣的積。
若對(duì)稱矩陣A的每個(gè)元素均為實(shí)數(shù)，A是Hermite矩陣。
一個(gè)矩陣同時(shí)為對(duì)稱矩陣及斜對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)所有元素都是零。
如果X是對(duì)稱矩陣,那么AXAT也是對(duì)稱矩陣.
n階實(shí)對(duì)稱矩陣，是n維歐式空間V(R)的對(duì)稱變換在單位正交基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。
所謂對(duì)稱變換，即對(duì)任意α、 β∈V，都有(σ(α)，β)=(α，σ(β))。投影變換和鏡像變換都是對(duì)稱變換。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱矩陣
1.對(duì)稱矩陣
(1)對(duì)稱矩陣
在一個(gè)n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì)：
aij=aji0≤i，j≤n-1
則稱A為對(duì)稱矩陣。
(2)對(duì)稱矩陣的壓縮存儲(chǔ)
對(duì)稱矩陣中的元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，故只要存儲(chǔ)矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每?jī)蓚€(gè)對(duì)稱的元素共享一個(gè)存儲(chǔ)空間。這樣，能節(jié)約近一半的存儲(chǔ)空間。
?、侔?quot;行優(yōu)先順序"存儲(chǔ)主對(duì)角線(包括對(duì)角線)以下的元素
即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一個(gè)向量sa[0..n(n+1)/2-1]中(下三角矩陣中，元素總數(shù)為n(n+1)/2)。
其中：
sa[0]=a00,
sa[1]=a10,
……，
sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
?、谠豠ij的存放位置
aij元素前有i行(從第0行到第i-1行)，一共有：
1+2+…+i=i×(i+1)/2個(gè)元素;
在第i行上，aij之前恰有j個(gè)元素(即ai0，ai1，…，ai,j-1)，因此有：
sa[i×(i+1)/2+j]=aij
?、踑ij和sa[k]之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2
令I(lǐng)=max(i，j)，J=min(i，j)，則k和i，j的對(duì)應(yīng)關(guān)系可統(tǒng)一為：
k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
(3)對(duì)稱矩陣的地址計(jì)算公式
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d
通過下標(biāo)變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲(chǔ)表示sa中的對(duì)應(yīng)位置k。因此是隨機(jī)存取結(jié)構(gòu)。
【例】a21和a12均存儲(chǔ)在sa[4]中，這是因?yàn)?/p>
k=I×(I+1)/2+J=2×(2+1)/2+1=4
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