非線性是什么意思與線性的區(qū)別是什么(2)
(2) 非線性的物理機(jī)制
相對(duì)于非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)而言，它的物理機(jī)制是更重要的，也是我們更感興趣的。非線性的物理機(jī)制有很多方面，至于哪方面是最根本的，還沒(méi)有—致的認(rèn)識(shí)。從非線性的定義來(lái)看，可以把非線性的物理機(jī)制表述為：一個(gè)測(cè)度的變化受到兩個(gè)、兩種或更多因素的聯(lián)合影響，換言之就是非—次項(xiàng)的影響。具體的非線性方式?jīng)Q定于參與聯(lián)合作用的因素間聯(lián)合作用的方式，如：兩種或多種因素聯(lián)合作用，Lorenz吸引子中的X·Z是X與Z的聯(lián)合作用;牛頓第二定律F=m·a2中，a2= a·a 是兩個(gè)相同的對(duì)人有意義的物理變量a與a的聯(lián)合作用。下面從相互作用、耗散性、有限性、多值性四個(gè)方面具體地討論非線性的物理機(jī)制。
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非線性的—個(gè)最主要的物理機(jī)制，可以說(shuō)就是相互作用。之所以說(shuō)世界在本質(zhì)上是非線性的，在很大程度上就是由于相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是沒(méi)有的(即使有，在原則上它的存在本身也就包含了它與認(rèn)識(shí)主體——人的相互作用)。實(shí)際上，我們遇到的大都是處于某種相互作用網(wǎng)之中的事物，而任何事物在受其它事物作用、影響的同時(shí)，也作用于、影響著其它的事物，正如牛頓第三定律所表述的那樣，作用與反作用是同時(shí)存在的，所以，我們要想準(zhǔn)確地、深刻地認(rèn)識(shí)一個(gè)事物，就要把該系統(tǒng)在其它系統(tǒng)作用下的行為規(guī)律與該系統(tǒng)對(duì)其它系統(tǒng)的影響聯(lián)合起來(lái)考慮。這種雙向的作用—般就出現(xiàn)非線性項(xiàng)，成為非線性問(wèn)題。例如：場(chǎng)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)有作用，粒子的運(yùn)動(dòng)也使場(chǎng)發(fā)生變化，這時(shí)場(chǎng)方程和粒子運(yùn)動(dòng)方程就要聯(lián)合起來(lái)考察，從而使之成為非線性問(wèn)題，再如，人與自然、主體與客體都是雙向作用的關(guān)系，原則上都將是非線性問(wèn)題。
其實(shí)，雙向作用的存在必將使其中之一通過(guò)對(duì)方而作用于自身，從而形成正的或負(fù)的反饋回路，起到放大或抑制的作用，使任何初始變化都會(huì)產(chǎn)生不成比例的響應(yīng)，呈現(xiàn)出非線性現(xiàn)象。
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這里所說(shuō)的耗散性，是指能推動(dòng)并維持系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的耗散性，而不是近平衡區(qū)內(nèi)較弱的耗散性。
系統(tǒng)對(duì)能量的耗散是一個(gè)不可逆過(guò)程，輸入系統(tǒng)的能量在流經(jīng)輸入端和輸出端過(guò)程中，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)做某種單向的不可逆的運(yùn)動(dòng)，其間會(huì)使子系統(tǒng)間產(chǎn)生非線性連接，實(shí)現(xiàn)協(xié)同運(yùn)動(dòng)，從而形成宏觀有序狀態(tài)。能量在系統(tǒng)內(nèi)的耗散，相當(dāng)于為系統(tǒng)內(nèi)某些運(yùn)動(dòng)按了一個(gè)“泵”，這個(gè)泵的作用在很多的情況下，就是系統(tǒng)非線性現(xiàn)象的根源。例如：在Bénard實(shí)驗(yàn)中，扮演非線性現(xiàn)象物理機(jī)制的正是耗散性，耗散性的不斷加強(qiáng)，使系統(tǒng)達(dá)到遠(yuǎn)離平衡態(tài)，產(chǎn)生規(guī)則的宏觀結(jié)構(gòu)以至呈現(xiàn)混沌狀態(tài);與此類似的如：Lorenz吸引子的機(jī)制是太陽(yáng)光加熱大氣，大氣在能量耗散過(guò)程中，為耗散性所驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)：再如：畫包師變換中，無(wú)論是拉伸，還是折疊操作，實(shí)際上都是—種能量耗散過(guò)程。
從另一個(gè)角度說(shuō)，對(duì)能量的耗散增強(qiáng)，使子系統(tǒng)相互作用程度增強(qiáng)、方式增多，也就使系統(tǒng)可能有的穩(wěn)態(tài)的數(shù)目越來(lái)越多，局域穩(wěn)定性越來(lái)越小，直到極端的混沌狀態(tài)。在這—過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)未來(lái)的發(fā)展軌跡將難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，即未來(lái)現(xiàn)實(shí)發(fā)展道路的可能性越來(lái)越多，簡(jiǎn)并程度越來(lái)越高，因而可預(yù)測(cè)性越來(lái)越弱。這意味著耗散性導(dǎo)致了系統(tǒng)宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)間反演對(duì)稱性的破缺，也就是說(shuō)當(dāng)耗散加強(qiáng)時(shí)，原則上從系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)無(wú)法精確預(yù)測(cè)其未來(lái)的狀態(tài)，未來(lái)不包含于現(xiàn)在之中，它有“新質(zhì)”產(chǎn)生。
?、?有限性
現(xiàn)實(shí)的、具體的自然都是有限的自然，有限性及其結(jié)果蘊(yùn)含于一切事物之中，在相應(yīng)的方面規(guī)定著一切事物的性質(zhì)。我們應(yīng)該把有限性作為考慮一切事物的基本前提之—，作為自然界的—個(gè)基本事實(shí)。
有限性在一定情況下必然導(dǎo)致非線性，它是非線性的另一個(gè)重要機(jī)制。抽象地說(shuō)，有限的事物相對(duì)于無(wú)限的事物而言喪失了許多對(duì)稱性， 因而作用于其上的操作及結(jié)果都可能對(duì)應(yīng)著由有限性直接導(dǎo)致的非對(duì)稱性。具體地，如Robort May用以研究小生境的蟲口模型 ，其非線性項(xiàng)的存在，就是由于環(huán)境容量R的有限造成的，如果R無(wú)限大，那么此模型就自然成為線性的了;拉伸機(jī)制與有限性造成的壓縮機(jī)制的結(jié)合，才使奇異吸引子呈現(xiàn)局部不穩(wěn)定性和整體穩(wěn)定性，產(chǎn)生特定的非線性形式——混沌;除此之外，各種相互作用速度的有限、時(shí)空域的有限、結(jié)構(gòu)方式的有限等等都可成為導(dǎo)致非線性的物理機(jī)制。
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動(dòng)力系統(tǒng)中常會(huì)出現(xiàn)某些變量的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著其它變量多個(gè)值的情況，從物理上說(shuō)， 就是相同的條件對(duì)應(yīng)著多種可能的狀態(tài)，約束條件的弱化使系統(tǒng)狀態(tài)的簡(jiǎn)并性強(qiáng)化，使可能性非唯—化。多值性的存在，也就自然產(chǎn)生了多值解和對(duì)多種可能解的選擇，多值性越強(qiáng)，系統(tǒng)就可能越復(fù)雜，相對(duì)于一定的多值性系統(tǒng)就會(huì)有相應(yīng)的隨機(jī)性。多值性的存在實(shí)際上是約束的有限造成的，對(duì)于有限約束所不能制約的方面，系統(tǒng)存在于它的一切可能性之中。
多值性在動(dòng)力學(xué)方程中必然表現(xiàn)為非線性，因?yàn)橹挥蟹蔷€性關(guān)系才具有多值性，線性關(guān)系不可能有多值性。例如：倍周期分叉過(guò)程，在分叉點(diǎn)一側(cè)出現(xiàn)非唯一穩(wěn)定軌道，使系統(tǒng)的演化軌跡出現(xiàn)隨機(jī)性、復(fù)雜性，—方面可以說(shuō)這里是非線性產(chǎn)生了多值性，另一方面也可以說(shuō)這里的非線性物理機(jī)制正是系統(tǒng)的多值性。再如：哈密頓系統(tǒng)的三體問(wèn)題，在考慮小質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于兩個(gè)大質(zhì)量物體造成的引力勢(shì)場(chǎng)中，存在引力勢(shì)為0的面、點(diǎn)等特殊空時(shí)區(qū)域(即兩個(gè)大質(zhì)量物體的作用相互抵消的地方)，小質(zhì)量物體在這些特殊區(qū)域的可能軌道就有了多種選擇，即約束的弱化造成了系統(tǒng)可能狀態(tài)的多值化。這種多值性在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為非線性，它是復(fù)雜現(xiàn)象的重要根源之—。
(3)非線性與穩(wěn)定性的關(guān)系
穩(wěn)定性問(wèn)題是我們研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的一個(gè)先驗(yàn)角度，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件、機(jī)制、類型， 失穩(wěn)的條件、機(jī)制、類型，及由穩(wěn)定到不穩(wěn)定，由不穩(wěn)定到穩(wěn)定的—般規(guī)律，對(duì)于我們理解一般系統(tǒng)和具體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都是極為重要的。而穩(wěn)定性與非線性有著密切的關(guān)系， 簡(jiǎn)言之，處于穩(wěn)定的系統(tǒng)，必然存在非線性的李雅普諾夫函數(shù)(Lyapunov function)。
所謂穩(wěn)定性是用來(lái)刻劃系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后的行為的，“事物的存在方式或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不會(huì)因?yàn)閿_動(dòng)、起伏漲落而改變就謂之穩(wěn)定。如果有一個(gè)或多個(gè)小的擾動(dòng)，使系統(tǒng)的存在方式或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了改變，而后，系統(tǒng)又能克服擾動(dòng)自動(dòng)地回到未受擾動(dòng)前的狀態(tài)，這種系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。”其實(shí)，所謂穩(wěn)定都是相對(duì)于—定的擾動(dòng)而言的，系統(tǒng)的抗擾能力可用穩(wěn)定程度來(lái)標(biāo)度，穩(wěn)定程度是我們對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行區(qū)分、刻劃的不可缺少的變量。
穩(wěn)定性有多種類型，我們這里所說(shuō)的是局域穩(wěn)定性，即“相對(duì)于—定的擾動(dòng)而言，系統(tǒng)是穩(wěn)定的”，它包含了兩個(gè)方面的意思，①在我們考察的系統(tǒng)狀態(tài)附近存在Lyapunov函數(shù)， ②環(huán)境擾動(dòng)小于由Lyapunov函數(shù)的存在域確定的系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。
來(lái)源于Lyapunov第一穩(wěn)定性定理：令 ，x0是一定點(diǎn)( 。假定存在一個(gè)函數(shù) 使(a) ，且在 的某個(gè)鄰域內(nèi)，如果 ， >0，(b)在那個(gè)鄰域內(nèi) ，那么 是穩(wěn)定的。”滿足這兩個(gè)條件的函數(shù) 叫嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)。由(a)可見(jiàn)， 為 的極小點(diǎn)，處于穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)，可以找到其Lyapunov函數(shù) ，此 在穩(wěn)定點(diǎn)附近是凹形的，即 不可能有 = 的線性形式，而只能是非線性的。由(b) ，其實(shí)就是 ，保證了 沿 減小的路徑位移，對(duì)于足夠小的擾動(dòng) 將返回x0， 的這種性質(zhì)，反映了系統(tǒng)具有占優(yōu)勢(shì)的維持穩(wěn)定的機(jī)制，這種機(jī)制的存在保證了系統(tǒng)對(duì)所有小于穩(wěn)定程度的漲落的有效阻尼。在保守系統(tǒng)中， 多數(shù)情況下就是能量，一定范圍的凹形 ，就是具有一定深度的勢(shì)阱的勢(shì)函數(shù)，維持穩(wěn)定的力則是與函數(shù)相應(yīng)的回復(fù)力。
總之，無(wú)論 是線性的，還是非線性的，只要它是穩(wěn)定的，那么它就對(duì)應(yīng)著某個(gè)非線性的Lyapunov函數(shù) 。
如：超循環(huán)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性來(lái)源于子系統(tǒng)間的功能耦合造成的非線性;耗散結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性源于子系統(tǒng)間的協(xié)同相互作用，這種相互作用也是非線性的;倍周期分叉序列及混沌區(qū)中的周期窗口，這些軌道的穩(wěn)定也都是非線性機(jī)制產(chǎn)生的;奇異吸引子的整體穩(wěn)定性是系統(tǒng)的耗散性這一非線性機(jī)制的結(jié)果?？梢哉f(shuō)，穩(wěn)態(tài)存在的地方，必然存在非線性。
不穩(wěn)定在數(shù)學(xué)上對(duì)應(yīng)著勢(shì)函數(shù)的極大區(qū)域，勢(shì)函數(shù)是凸的，其中包括函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于0，二階導(dǎo)數(shù)小于0的極大值點(diǎn);物理上，勢(shì)阱深度小于等于內(nèi)外漲落的強(qiáng)度。顯然線性關(guān)系不會(huì)造成這種不穩(wěn)定性，不穩(wěn)定機(jī)制是一種非線性機(jī)制。上文所談及的各種非線性物理機(jī)制在一定情況下都將導(dǎo)致不穩(wěn)定性。
造成混沌軌道指數(shù)發(fā)散的伸縮變換是—種非線性操作，它使系統(tǒng)敏感初條件、極不穩(wěn)定;在單峰映射中，無(wú)淪在 倍周期分叉點(diǎn)，還是在混沌區(qū)內(nèi)周期窗口結(jié)束時(shí)，都是非線性機(jī)制使原來(lái)的穩(wěn)定的軌道失穩(wěn)，而后才進(jìn)入新的軌道。
在耗散結(jié)構(gòu)理論中，系統(tǒng)演化過(guò)程中熱力學(xué)分枝的失穩(wěn)、穩(wěn)定的耗散結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，其機(jī)制是子系統(tǒng)間通過(guò)相互作用實(shí)現(xiàn)的協(xié)同運(yùn)動(dòng)，而這種相互作用正是非線性的一種重要物理機(jī)制。
生物體在無(wú)外界物質(zhì)、能量輸入時(shí)，它的耗散機(jī)制會(huì)使其失穩(wěn)而滑向熱力學(xué)平衡態(tài);在保守系統(tǒng)中，隨機(jī)網(wǎng)的存在使系統(tǒng)在一定程度上呈現(xiàn)不穩(wěn)定性。這些起不穩(wěn)定作用的機(jī)制都是我們已討論的非線性機(jī)制。
綜合以上兩個(gè)方面可見(jiàn)，非線性既是穩(wěn)定的原因，也是不穩(wěn)定的原因，在不同情況下它扮演不同的角色。非線性同是穩(wěn)定和不穩(wěn)定的必要條件，而不是它們的充分條件，系統(tǒng)穩(wěn)定與否和非線性機(jī)制沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，系統(tǒng)的穩(wěn)定或不穩(wěn)定在不同情況下對(duì)應(yīng)于某些非線性機(jī)制或某些非線性機(jī)制與其它因素的結(jié)合方式。例如：在混沌現(xiàn)象中，非線性機(jī)制產(chǎn)生奇異吸引子相空間的局部不穩(wěn)定性，整體耗散性或有限性等非線性機(jī)制造成奇異吸引子的整體穩(wěn)定性，兩者的結(jié)合才產(chǎn)生了具有特定分維的奇異吸引子;在孤立子現(xiàn)象中，非線性項(xiàng)與色散項(xiàng)的巧妙平衡才使?jié)M足KdV方程的孤立子呈現(xiàn)穩(wěn)定性，成為純粹的擬序結(jié)構(gòu)。所以在考察非線性與穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)具體情況做具體分析。
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