什么是最大公因數(shù)_具體的求法
什么是最大公因數(shù)_具體的求法
最大公因數(shù)指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)。那么你對(duì)最大公因數(shù)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是最大公因數(shù)的內(nèi)容，希望大家喜歡!
最大公因數(shù)的介紹
a，b的最大公約數(shù)記為(a，b)，同樣的，a，b，c的最大公約數(shù)記為(a，b，c)，多個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)也有同樣的記號(hào)。求最大公約數(shù)有多種方法，常見的有質(zhì)因數(shù)分解法、短除法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損法。與最大公約數(shù)相對(duì)應(yīng)的概念是最小公倍數(shù)，a，b的最小公倍數(shù)記為[a，b]。如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個(gè)整數(shù)與另一個(gè)整數(shù)的關(guān)系，不能單獨(dú)存在。如只能說(shuō)16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說(shuō)16是倍數(shù)，2是約數(shù)。
"倍"與"倍數(shù)"是不同的兩個(gè)概念，"倍"是指兩個(gè)數(shù)相除的商，它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分?jǐn)?shù)。"倍數(shù)"只是在數(shù)的整除的范圍內(nèi)，相對(duì)于"約數(shù)"而言的一個(gè)數(shù)字的概念，表示的是能被某一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)。
幾個(gè)整數(shù)，公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12、16的公約數(shù)有1、2、4，其中最大的一個(gè)是4，4是12與16的最大公約數(shù)，一般記為(12，16)=4。12、15、18的最大公約數(shù)是3，記為(12，15，18)=3。
幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)自然數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：4的倍數(shù)有4、8、12、16，……，6的倍數(shù)有6、12、18、24，……，4和6的公倍數(shù)有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數(shù)是180。記為[12，15，18]=180。若干個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)為它們的乘積的絕對(duì)值。
最大公因數(shù)的求法
質(zhì)因數(shù)分解法
質(zhì)因數(shù)分解法：把每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
例如：求24和60的最大公約數(shù)，先分解質(zhì)因數(shù)，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質(zhì)因數(shù)是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，(24，60)=12。
把幾個(gè)數(shù)先分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：求6和15的最小公倍數(shù)。先分解質(zhì)因數(shù)，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質(zhì)因數(shù)是3，6獨(dú)有質(zhì)因數(shù)是2，15獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質(zhì)因數(shù)2和3，還包含了15的全部質(zhì)因數(shù)3和5，且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個(gè)，所以[6，15]=30。
短除法
短除法：短除法求最大公約數(shù)，先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然
后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
短除法求最小公倍數(shù)，先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除每個(gè)數(shù)，再用部分?jǐn)?shù)的公約數(shù)去除，并把不能整除的數(shù)移下來(lái)，一直除到所有的商中每?jī)蓚€(gè)數(shù)都是互質(zhì)的為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，例如，求12、15、18的最小公倍數(shù)。
短除法的本質(zhì)就是質(zhì)因數(shù)分解法，只是將質(zhì)因數(shù)分解用短除符號(hào)來(lái)進(jìn)行。
短除符號(hào)就是除號(hào)倒過(guò)來(lái)。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個(gè)數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后落下兩個(gè)數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止(兩個(gè)數(shù)互質(zhì))。
而在用短除計(jì)算多個(gè)數(shù)時(shí)，對(duì)其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒(méi)有這個(gè)因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)關(guān)系。
求最大公因數(shù)便乘一邊，求最小公倍數(shù)便乘一圈。
無(wú)論是短除法，還是分解質(zhì)因數(shù)法，在質(zhì)因數(shù)較大時(shí)，都會(huì)覺(jué)得困難。這時(shí)就需要用新的方法。
最大公因數(shù)的常用結(jié)論
在解有關(guān)最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常用到以下結(jié)論：
(1)如果兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積。
例如8和9，它們是互質(zhì)數(shù)，所以(8，9)=1，[8，9]=72。
(2)如果兩個(gè)自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如18與3，18÷3=6，所以(18，3)=3，[18，3]=18。
(3)兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù)。
例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質(zhì)數(shù)。
(4)兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。
例如12和16，(12，16)=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即(12，16)× [12，16]=12×16。
(5)GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a與b的最大公約數(shù)是最小的a與b的正線性組合,即對(duì)于方程xa+yb=c來(lái)說(shuō),若x,a,y,b都為整數(shù),那么c的最小正根為gcd(a,b).
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