最大素?cái)?shù)

　　最大素?cái)?shù)，即目前發(fā)現(xiàn)的數(shù)值最大的素?cái)?shù)。截止2013年2月發(fā)現(xiàn)最大的素?cái)?shù)是p=2^57885161-1，為第48個(gè)梅森素?cái)?shù)"。

　　最大素?cái)?shù)的發(fā)展

　　素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，是只能被自己和1整除的數(shù)。按照規(guī)定，1不算素?cái)?shù)，最小的素?cái)?shù)是2，其后依次是3、5、7、11等等。 早在2500年前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德就證明了素?cái)?shù)是無限的，并提出少量素?cái)?shù)可寫成"2的n次方減1(2^n-1)"的形式，這里n也是一個(gè)素?cái)?shù)。但是目前人類已知的素?cái)?shù)很有限，因?yàn)閿?shù)字越大，要發(fā)現(xiàn)新的素?cái)?shù)就越困難。不過，很多數(shù)學(xué)家曾對(duì)素?cái)?shù)問題進(jìn)行過研究，17世紀(jì)的法國教士馬丁·梅森就是其中成果較為卓著的一位，因此后人將"2的n次方減1(2^n-1)"形式的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)。隨后，以梅森素?cái)?shù)的形式，最大素?cái)?shù)的記錄被不斷刷新。1876年，數(shù)學(xué)家盧卡斯證明了2^127-1是當(dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)。這個(gè)記錄保持了75年，這是一個(gè)39位的數(shù)。直到1951年，借助于新出現(xiàn)的電子計(jì)算機(jī)，人們才發(fā)現(xiàn)有79位數(shù)字的更大素?cái)?shù)。1952年時(shí)，最大素?cái)?shù)是2^2281-1，有687位數(shù)。位數(shù)在1000位以上的素?cái)?shù)到1961年才被發(fā)現(xiàn)，它是2^4423-1，共有1332位數(shù)。從1951年到1971年的20年間，最大素?cái)?shù)的紀(jì)錄被不斷刷新。1971年，美國數(shù)學(xué)家塔克曼在紐約州的紐克頓利用國際商業(yè)機(jī)器公司的IBM360/91型電子計(jì)算機(jī)，歷時(shí)39分26.4秒，算出了當(dāng)時(shí)的最大素?cái)?shù)2^19937-1，這是一個(gè)6002位的數(shù)字，它最前面的五位數(shù)是43154，最后面的三位數(shù)是471。1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機(jī)構(gòu)(包括中國的新華社)都報(bào)道了以下消息:兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計(jì)算機(jī)找到了第25個(gè)梅森素?cái)?shù):M21701。2008年8月，美國加州大學(xué)洛杉磯分校(UCLA)的計(jì)算機(jī)專家史密斯(E.Smith)通過參加了一個(gè)名為"因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索"(GIMPS)的國際合作項(xiàng)目，發(fā)現(xiàn)了第46個(gè)也是最大的梅森素?cái)?shù)2^43112609-1，該素?cái)?shù)也就是2自身相乘43112609次減1，它有12978189位數(shù)，如果用普通字號(hào)將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫下來，它的長度可超過50公里!最近，這一成就被美國的《時(shí)代》雜志評(píng)為"2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明"之一，排名在第29位。據(jù)英國《新科學(xué)家》雜志網(wǎng)站報(bào)道，美國中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)教授柯蒂斯·庫珀(Curtis Cooper)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組于2013年1月25日發(fā)現(xiàn)了已知的最大梅森素?cái)?shù)--2^57885161-1 (即2的57885161次方減1);該素?cái)?shù)有17425170位，如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來，它的長度可超過65公里!

　　折疊云計(jì)算的最大素?cái)?shù)

　　折疊云計(jì)算的最大素?cái)?shù)1995 年，美國程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼整理有關(guān)梅森素?cái)?shù)的資料，編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并將其放置在因特網(wǎng)上供數(shù)學(xué)愛好者使用，這就是分布式計(jì)算因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索(GIMPS)項(xiàng)目。目前有6萬多名志愿者、超過20萬臺(tái)計(jì)算機(jī)參與這項(xiàng)計(jì)劃。該計(jì)劃采取分布式計(jì)算方式，利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置時(shí)間，獲得相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，第 37、38 和 39 個(gè)梅森素?cái)?shù)都是用這種方法找到的。美國一家基金會(huì)還專門設(shè)立了 10 萬美元的獎(jiǎng)金，鼓勵(lì)第一個(gè)找到超過千萬位素?cái)?shù)的人。M=2×3×5×7×11×13×……×N+1,用從1到N之間的任何一個(gè)質(zhì)數(shù)去除M，總是余1!這個(gè)現(xiàn)實(shí)，又表明M一定是質(zhì)數(shù)。此結(jié)論大錯(cuò)特錯(cuò)，例如，2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509，30031是個(gè)合數(shù)。

　　素?cái)?shù)無限

　　不存在最大質(zhì)數(shù)!上小學(xué)的時(shí)候，我們就知道所有的自然數(shù)可以分為質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))和合數(shù)兩類，當(dāng)然還特別規(guī)定了"1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)"。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，從小到大依次是:2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用說了，你一定會(huì)背下來。那么質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是不是有限多的呢?在解決這個(gè)問題之前，我們先來看看另一個(gè)問題:怎樣判斷一個(gè)已知自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)。比如，143是不是質(zhì)數(shù)?你一定會(huì)按照下面這個(gè)步驟去判斷: 先用最小的質(zhì)數(shù)2去除143，不能整除;再用3去試試，還是不行;再依次用5、7試試，還是不行;11呢?行!143=11×13，所以143不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)。所以，判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，只需用比這個(gè)數(shù)小的所有質(zhì)數(shù)，依次去除它即可，如果都不能整除的話，這個(gè)數(shù)就一定是質(zhì)數(shù);相反，只要這個(gè)數(shù)能夠被某一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，這個(gè)數(shù)就一定是合數(shù)。這種方法所依據(jù)的原理是:每一個(gè)合數(shù)都可以表示成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。不用說，這叫做"分解質(zhì)因數(shù)"，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)。我們先假設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是有限多的，那么必然存在一個(gè)"最大的質(zhì)數(shù)"，設(shè)這個(gè)"最大的質(zhì)數(shù)"為N。下面我們找出從1到N之間的所有質(zhì)數(shù)，把它們連乘起來，就是:2×3×5×7×11×13×……×N把這個(gè)連乘積再加上1，得到一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)M:M=2×3×5×7×11×13×……×N+1那么這個(gè)M是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)呢? 乍一想，不難判斷，既然N是最大的質(zhì)數(shù)，而且M>N，那么M就應(yīng)該是合數(shù)。既然M是合數(shù)，就可以對(duì)M分解質(zhì)因數(shù)。可是試一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們用從1到N之間的任何一個(gè)質(zhì)數(shù)去除M，總是余1!這個(gè)現(xiàn)實(shí)，又表明M一定是質(zhì)數(shù)。這個(gè)自相矛盾的結(jié)果，無非說明: 最大的質(zhì)數(shù)是不存在的!如果有一個(gè)足夠大的質(zhì)數(shù)N，一定可以像上面那樣，找到一個(gè)比N更大的質(zhì)數(shù)M。既然不存在最大的質(zhì)數(shù)，就可以推知自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)應(yīng)該有無限多個(gè)。