《什么是數(shù)學(xué)》讀書筆記

　　今天，我們將從一系列公理開始，從自然數(shù)的產(chǎn)生一直說到實數(shù)理論的完善。你或許會對數(shù)學(xué)的“科學(xué)性”有一個新的認(rèn)識。注意，本文的很大一部分內(nèi)容并非直接來源《什么是數(shù)學(xué)》，這篇文章可以看作是《什么是數(shù)學(xué)》中有關(guān)章節(jié)的一個擴展。

　　自然數(shù)是數(shù)學(xué)界中最自然的數(shù)，它用來描述物體的個數(shù)，再抽象一些就是集合的元素個數(shù)。在人類文明的最早期，人們就已經(jīng)很自然地用到了自然數(shù)?？梢哉f，自然數(shù)是天然產(chǎn)生的，其余的一切都是從自然數(shù)出發(fā)慢慢擴展演變出來的。數(shù)學(xué)家Kronecker曾說過，上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切皆是人的勞作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)

　　隨著一些數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，我們迫切地希望對自然數(shù)本身有一個數(shù)學(xué)描述。從邏輯上看，到底什么是自然數(shù)呢?歷史上對自然數(shù)的數(shù)學(xué)描述有過很多的嘗試。數(shù)學(xué)家Giuseppe Peano提出了一系列用于構(gòu)造自然數(shù)算術(shù)體系的公理，稱為Peano公理。Peano公理認(rèn)為，自然數(shù)是一堆滿足以下五個條件的符號：

　　1. 0是一個自然數(shù);

　　2. 每個自然數(shù)a都有一個后繼自然數(shù)，記作S(a);

　　3. 不存在后繼為0的自然數(shù);

　　4. 不同的自然數(shù)有不同的后繼。即若a≠b，則S(a)≠S(b);

　　5. 如果一個自然數(shù)集合S包含0，并且集合中每一個數(shù)的后繼仍在集合S中，則所有自然數(shù)都在集合S中。(這保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性)

　　形象地說，這五條公理規(guī)定了自然數(shù)是一個以0開頭的單向有序鏈表。

　　自然數(shù)的加法和乘法可以簡單地使用遞歸的方法來定義，即對任意一個自然數(shù)a，有：

　　a + 0 = a

　　a + S(b) = S(a+b)

　　a · 0 = 0

　　a · S(b) = a + (a·b)

　　其它運算可以借助加法和乘法來定義。例如，減法就是加法的逆運算，除法就是乘法的逆運算，“a≤b”的意思就是存在一個自然數(shù)c使得a+c=b。交換律、結(jié)合率和分配率這幾個基本性質(zhì)也可以從上面的定義出發(fā)推導(dǎo)出來。

　　Peano公理提出后，多數(shù)人認(rèn)為這足以定義出自然數(shù)的運算，但Poincaré等人卻開始質(zhì)疑Peano算術(shù)體系的相容性：是否有可能從這些定義出發(fā)，經(jīng)過一系列嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，最后得出0=1之類的荒謬結(jié)論?如果一系列公理可以推導(dǎo)出兩個互相矛盾的命題，我們就說這個公理體系是不相容的。Hilbert的23個問題中的第二個問題就是問，能否證明Peano算術(shù)體系是相容的。這個問題至今仍有爭議。

　　在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，引進負(fù)數(shù)的概念是一個重大的突破。我們希望當(dāng)a

　　(a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d)

　　(a-b) · (c-d) = (ac + bd) – (ad + bc)

　　我們可以非常自然地把上面的規(guī)則擴展到a=b，符號(a-b)描述的是一個自然數(shù);如果a

　　生活中遇到的另一個問題就是“不夠分”、“不夠除”一類的情況。三個人分六個餅，一個人兩個餅;但要是三個人分五個餅咋辦?此時，一種存在于兩個相鄰整數(shù)之間的數(shù)不可避免的產(chǎn)生了。為了更好地表述這種問題，我們用一個符號a/b來表示b個單位的消費者均分a個單位的物資。真正對數(shù)學(xué)發(fā)展起到?jīng)Q定性作用的一個步驟是把由兩個數(shù)構(gòu)成的符號a/b當(dāng)成一個數(shù)來看待，并且定義一套它所服從的運算規(guī)則。借助“分餅”這類生活經(jīng)驗，我們可以看出，對于整數(shù)a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。為了讓新的數(shù)能夠用于度量長度、體積、質(zhì)量，這種定義是必要的。但在數(shù)學(xué)歷史上，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過了很長的時間才意識到：從邏輯上看，新的符號的運算規(guī)則只是我們的定義，它是不能被“證明”的，沒有任何理由要求我們必須這么做。正如我們定義0的階乘是1一樣，這么做僅僅是為了讓排列數(shù)A(n,n)仍然有意義并且符合原有的運算法則，但我們絕對不能“證明”出0!=1來。事實上，我們完全可以定義(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然滿足基本的算術(shù)規(guī)律;雖然在我們看來，這種定義所導(dǎo)出的結(jié)果非常之荒謬，但沒有任何規(guī)定強制我們不能這么定義。只要與原來的公理和定義沒有沖突，這種定義也是允許的，它不過是一個不適用于度量這個世界的絕大多數(shù)物理量的、不被我們熟知和使用的、另一種新的算術(shù)體系罷了。

　　我們稱所有形如a/b的數(shù)叫做有理數(shù)。有理數(shù)的出現(xiàn)讓整個數(shù)系變得更加完整，四則運算在有理數(shù)的范圍內(nèi)是“封閉”的了，也就是說有理數(shù)與有理數(shù)之間加、減、乘、除的結(jié)果還是有理數(shù)，可以沒有限制地進行下去。從這一角度來看，我們似乎不大可能再得到一個“在有理數(shù)之外”的數(shù)了。

　　當(dāng)我們的數(shù)系擴展到有理數(shù)時，整個數(shù)系還出現(xiàn)了一個本質(zhì)上的變化，這使我們更加相信數(shù)系的擴展已經(jīng)到頭了。我們說，有理數(shù)在數(shù)軸上是“稠密”的，任何兩個有理數(shù)之間都有其它的有理數(shù)(比如它們倆的算術(shù)平均值)。事實上，在數(shù)軸上不管多么小的一段區(qū)間內(nèi)，我們總能找到一個有理數(shù)(分母m足夠大時，總有一個時刻1/m要比區(qū)間長度小，此時該區(qū)間內(nèi)至少會出現(xiàn)一個分母為m的有理數(shù))。這就使得人們會理所當(dāng)然地認(rèn)為，有理數(shù)已經(jīng)完整地覆蓋了整個數(shù)軸，所有的數(shù)都可以表示成a/b的形式。

　　難以置信的是，這樣的數(shù)竟然不能覆蓋整個數(shù)軸;除了形如a/b的數(shù)以外，數(shù)軸上竟然還有其它的數(shù)!這是早期希臘數(shù)學(xué)最重要的發(fā)現(xiàn)之一。那時，古希臘人證明了，不存在一個數(shù)a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的數(shù)不是沒有(可以用二分法找出這個數(shù))，只是它不能表示成兩個整數(shù)之比罷了。用現(xiàn)在的話說就是，根號2不是有理數(shù)。你可以在這里看到至少5種證明根號2不能表示成整數(shù)與整數(shù)之比的方法。根號2這種數(shù)并不是憑空想象出來的沒有實際意義的數(shù)，從幾何上看它等于單位正方形的對角線長。我們現(xiàn)有的數(shù)竟然無法表達出單位正方形的對角線長這樣一個簡單的物理量!因此，我們有必要把我們的數(shù)系再次進行擴展，使其能夠包含所有可能出現(xiàn)的量。我們把所有能寫成整數(shù)或整數(shù)之比的數(shù)叫做“有理數(shù)”，而數(shù)軸上其它的數(shù)就叫做“無理數(shù)”。它們合在一起就是“實數(shù)”，代表了數(shù)軸上的每一個點。

　　其實，構(gòu)造一個無理數(shù)遠(yuǎn)沒有那么復(fù)雜。我們可以非常輕易地構(gòu)造出一個無理數(shù)，從而說明無理數(shù)的存在性。把所有自然數(shù)串起來寫在一起所得到的Champernowne常數(shù)0.12345678910111213141516…顯然是個無理數(shù)?？紤]用試除法把有理數(shù)展開成小數(shù)形式的過程，由于余數(shù)的值只有有限多種情況，某個時刻除出來的余數(shù)必然會與前面重復(fù)，因此其結(jié)果必然是一個循環(huán)小數(shù);而Champernowne常數(shù)顯然不是一個循環(huán)小數(shù)(不管你宣稱它的循環(huán)節(jié)是什么，我都可以構(gòu)造一個充分長的數(shù)字串，使得你的循環(huán)節(jié)中的某個數(shù)字根本沒在串中出現(xiàn)，并且顯然這個串將在Champernowne常數(shù)中出現(xiàn)無窮多次)。這個例子說明，數(shù)軸上還存在有大量的無理數(shù)，帶根號的數(shù)只占無理數(shù)中微不足道的一部分。這個例子還告訴我們，不是所有的無理數(shù)都像pi一樣可以用來測試人的記憶力和Geek程度。

　　在定義無理數(shù)的運算法則中，我們再次遇到了本文開頭介紹自然數(shù)時所面臨的問題：究竟什么是無理數(shù)?無理數(shù)的運算該如何定義?長期以來，數(shù)學(xué)家們一直受到這個問題的困惑。19世紀(jì)中期，德國數(shù)學(xué)家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定義了無理數(shù)的運算，使實數(shù)理論得到了進一步的完善。

　　在此之前，我們一直是用有序數(shù)對來定義一種新的數(shù)，并定義出有序數(shù)對之間的等價關(guān)系和運算法則。但Champernowne常數(shù)這種讓人無語的無理數(shù)的存在使得這種方法能繼續(xù)用于無理數(shù)的定義的希望變得相當(dāng)渺茫。Dedekind不是用兩個或多個有理數(shù)的數(shù)組來定義無理數(shù)，而是用全體有理數(shù)的一個分割來定義無理數(shù)。我們把全體有理數(shù)分成兩個集合A和B，使得A中的每一個元素都比B中的所有元素小。顯然，滿足這個條件的有理數(shù)分割有且僅有以下三種情況：

　　1. A中有一個最大的元素a*。例如，定義A是所有小于等于1的有理數(shù)，B是所有大于1的有理數(shù)。

　　2. B中有一個最小的元素b*。例如，定義A是所有小于1的有理數(shù)，B是所有大于等于1的有理數(shù)。

　　3. A中沒有最大的元素，且B中沒有最小的元素。例如，A由0、所有負(fù)有理數(shù)和所有平方后小于2的正有理數(shù)組成，B由所有平方后大于2的正有理數(shù)組成。每一次出現(xiàn)這種情況，我們就說這個分割描述了一個無理數(shù)。

　　注意，“A中有最大元素a*且B中有最小元素b*”這一情況是不可能出現(xiàn)的，這將違背有理數(shù)的稠密性。a*和b*都是有理數(shù)，它們之間一定存在其它的有理數(shù)，而這些有理數(shù)既不屬于集合A，也不屬于集合B，因此不是一個分割。

　　為什么每一種情況3都描述了一個確定的無理數(shù)呢?其實這非常的形象。由于A里面沒有最大的元素，因此我們可以永不停息地從A里面取出越來越大的數(shù);同樣地，我們也可以不斷從B里面取出越來越小的數(shù)。這兩邊的數(shù)將越來越靠近，它們中間夾著的那段區(qū)間將越來越小，其極限就是數(shù)軸上的一個確定的點，這個點大于所有A里的數(shù)且小于所有B里的數(shù)。但集合A和B已經(jīng)包含了所有的有理數(shù)，因此這個極限一定是一個無理數(shù)。因此從本質(zhì)上看，Dedekind分割的實質(zhì)就是用一系列的有理數(shù)來逼近某個無理數(shù)。

　　你也許想到了，現(xiàn)在我們可以很自然地定義出無理數(shù)的運算。我們把一個無理數(shù)所對應(yīng)的Dedekind分割記作(A,B)，則兩個無理數(shù)(A,B)和(C,D)相加的結(jié)果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每個元素與C中的每個元素相加而得到，余下的有理數(shù)則都屬于集合Q。我們也可以用類似的辦法定義出無理數(shù)的乘法。另外，我們能夠很快地驗證，引入無理數(shù)后我們的運算仍然滿足交換律、結(jié)合率等基本規(guī)律，這里就不再多講了。