高中數(shù)學(xué)證明方法
高中數(shù)學(xué)證明方法
今天小編用過(guò)來(lái)人的經(jīng)驗(yàn)，來(lái)告訴大家究竟應(yīng)該怎么面對(duì)高考數(shù)學(xué)，高考數(shù)學(xué)證明題究竟應(yīng)該怎么學(xué)才能提高!
四大推理方法搞定高中證明題
一、合情推理
1.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論;
2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)。
二、演繹推理
演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性。
三、直接證明與間接證明
直接證明是相對(duì)于間接證明說(shuō)的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明。綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(或順推證法、由因?qū)Ч?。分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法。
間接證明是相對(duì)于直接證明說(shuō)的，反證法是間接證明常用的方法。假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
四、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。
高中數(shù)學(xué)證明題經(jīng)驗(yàn)技巧
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。
高中數(shù)學(xué)推理與證明重難點(diǎn)
一、合情推理
1.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論;
2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)。
二、演繹推理
演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性。
三、直接證明與間接證明
直接證明是相對(duì)于間接證明說(shuō)的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明。綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(或順推證法、由因?qū)Ч?。分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法。
間接證明是相對(duì)于直接證明說(shuō)的，反證法是間接證明常用的方法。假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
四、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。
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