今天帶來的是高中數(shù)學(xué)函數(shù)值域的解法，接下來小編為大家介紹主要技巧，一起來看看吧!

　　一。觀察法

　　通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

　　例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。

　　點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3.

　　∴函數(shù)的知域為。

　　點評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。

　　本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二。反函數(shù)法

　　當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

　　例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

　　解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為：x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù)，故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為{y∣y<-1或y>1｝)

　　三。配方法

　　當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時，可以利用配方法求函數(shù)值域

　　例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點撥：將被開方數(shù)配方成平方數(shù)，利用二次函數(shù)的值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

　　點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域。(答案：值域為{y∣y≤3})

　　四。判別式法

　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。

　　例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　當(dāng)y≠2時，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當(dāng)y=2時，方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2

　　點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

　　練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

　　五。值法

　　對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的較值，并與邊界值f(a).f(b)作比較，求出函數(shù)的值，可得到函數(shù)y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

　　當(dāng)x=-1時，z=-5;當(dāng)x=3/2時，z=15/4.

　　∴函數(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值。對開區(qū)間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數(shù)的值域。

　　練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為 ()

　　A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

　　(答案：D)。

　　六。圖象法

　　通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。

　　例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

　　點撥：根據(jù)值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。

　　解：原函數(shù)化為 -2x+1(x≤1)

　　y= 3 (-1

　　2x-1(x>2)

　　它的圖象如圖所示。

　　顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，+∞]。

　　點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象

　　求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。

　　求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。