人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)資料

　　高中數(shù)學(xué)明顯難了很多。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要部分，因此,很多同學(xué)感覺學(xué)習(xí)函數(shù)很吃力，下面學(xué)習(xí)啦小編整理了人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)資料，希望對同學(xué)們有幫助。

　　人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)資料

　　指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)。

　　(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，

　　同時(shí)a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。

　　(2) 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

　　(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。

　　(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

　　(5) 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。

　　(6) 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸,永不相交。

　　(7) 函數(shù)總是通過(0，1)這點(diǎn),(若y=a^x+b,則函數(shù)定過點(diǎn)(0,1+b)

　　(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。

　　(9) 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

　　(10)當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。

　　底數(shù)的平移：

　　對于任何一個(gè)有意義的指數(shù)函數(shù)：

　　在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會向左平移;減去一個(gè)數(shù)，圖像會向右平移。

　　在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會向上平移;減去一個(gè)數(shù)，圖像會向下平移。

　　即“上加下減，左加右減”

　　底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像：

　　(1)由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點(diǎn)(1，a)可知：在y軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大。

　　(2)由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=-1相交于點(diǎn)(-1，1/a)可知：在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小。

　　(3)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關(guān)系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。(如右圖)

　　冪的大小比較：

　　比較大小常用方法：(1)比差(商)法：(2)函數(shù)單調(diào)性法;(3)中間值法：要比較A與B的大小，先找一個(gè)中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。

　　比較兩個(gè)冪的大小時(shí)，除了上述一般方法之外，還應(yīng)注意：

　　(1)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷。

　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因?yàn)?大于1所以函數(shù)單調(diào)遞增(即x的值越大，對應(yīng)的y值越大)，因?yàn)?大于4，所以y2大于y1.

　　(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷。

　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因?yàn)?/2小于1所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞減;3大于1，所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞增，在x=0是兩

　　個(gè)函數(shù)圖像都過(0，1)然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時(shí)，y2大于y1.

　　(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：

　　<1> 對于三個(gè)(或三個(gè)以上)的數(shù)的大小比較，則應(yīng)該先根據(jù)值的大小(特別是與0、1的大小)進(jìn)行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。

　　<2> 在比較兩個(gè)冪的大小時(shí)，如果能充分利用“1”來搭“橋”(即比較它們與“1”的大小)，就可以快速的得到答案。哪么如何判斷一個(gè)冪與“1”大小呢?由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知“同大異小”。即當(dāng)?shù)讛?shù)a和1與指數(shù)x與0之間的不等號同向(例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0)時(shí)，a^x大于1，異向時(shí)a^x小于1.

　　〈3〉例：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)?說明理由.

　?、舮=4^x

　　因?yàn)?>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù);

　?、苰=(1/4)^x

　　因?yàn)?<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數(shù)

　　對數(shù)函數(shù)

　　一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

　　對數(shù)函數(shù)的公理化定義

　　真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零,如果有根號,要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于零，

　　底數(shù)則要大于0且不為1

　　對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1

　　在一個(gè)普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時(shí)候是會有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實(shí)數(shù)(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根據(jù)定義運(yùn)算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么這個(gè)等式兩邊就不會成立 (比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一個(gè)等于4，另一個(gè)等于-4)

　　對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=log(a)x，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

　　可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。

　　(1) 對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

　　(2) 對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。

　　(3) 函數(shù)圖像總是通過(1，0)點(diǎn)。

　　(4) a大于1時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。

　　(5) 顯然對數(shù)函數(shù)無界。

　　對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達(dá)方式：

　　(1)log(a)(b)=log(a)(b)

　　(2)lg(b)=log(10)(b)

　　(3)ln(b)=log(e)(b)

　　對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：

　　(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n屬于R)

　　(4)log(a^k)(M^n

　　)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)

　　(5)log(a)M×log(a)N=log(a)(M+N)

　　(6)log(a)M÷log(a)N=log(a)(M-N)

　　對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系

　　當(dāng)a大于0,a不等于1時(shí),a的X次方=N等價(jià)于log(a)N

　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)

　　換底公式 (很重要)

　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga

　　ln 自然對數(shù) 以e為底

　　lg 常用對數(shù) 以10為底

　　[編輯本段]對數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)

　　一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

　　底數(shù)則要大于0且不為1

　　對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

　　當(dāng)a>0且a≠1時(shí),M>0,N>0，那么：

　　(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)

　　(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

　　對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系

　　當(dāng)a>0且a≠1時(shí),a^x=N x=㏒(a)N (對數(shù)恒等式)

　　對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達(dá)方式：

　　(1)log(a)(b)=log(a)(b)

　　(2)常用對數(shù):lg(b)=log(10)(b)

　　(3)自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b)

　　e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數(shù)函數(shù)的定義

　　對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù))，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

　　可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。

　　[編輯本段]性質(zhì)

　　定義域：(0，+∞)值域：實(shí)數(shù)集R

　　定點(diǎn)：函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(1，0)。

　　單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸;

　　0<a<1時(shí)，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。

　　奇偶性：非奇非偶函數(shù)，或者稱沒有奇偶性。

　　周期性：不是周期函數(shù)

　　零點(diǎn)：x=1

　　注意：負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)。

　　兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正

　　底真異對數(shù)負(fù)

　　冪函數(shù) 形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，[即以底數(shù)為自變量指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。]

　　當(dāng)a取非零的有理數(shù)時(shí)是比較容易理解的，而對于a取無理數(shù)時(shí)，初學(xué)者則不大容易理解了。因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識。

　　對于a的取]值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們

　　知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p、q互質(zhì))，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意[實(shí)數(shù);

　　排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實(shí)數(shù)，q不[能是偶數(shù);

　　排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

　　總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。

　　在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，

　　因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點(diǎn).(a≠0) a>0時(shí) 圖象過點(diǎn)(0，0)和(1，1)

　　(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

　　(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凸;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

　　(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)顯然冪函數(shù)無界限