小學數(shù)學計算教學案例分析_小學數(shù)學計算教學案例分析(2)
小學數(shù)學計算教學案例分析三
小學數(shù)學計算關系中的算理都應用生活模型來理解。計算能力，對應內容是數(shù)的認識(整數(shù)、小數(shù)和分數(shù))及其計算(加減和乘除)，又可分為兩個階段。
第一階段是多位整數(shù)和小數(shù)的加減乘除，第二階段是分數(shù)概念及其計算。
1) 計算內容第一階段
主要內容是多位整數(shù)和小數(shù)的加減乘除，核心知識是大九九乘法表。加減乘除，和差積商。減法是加法的逆運算，多位數(shù)加減法關鍵是數(shù)位的對齊(數(shù)位代表著單位，每一數(shù)位的“權”)。 乘法是加法的升級版，多位數(shù)乘法則是加法的一種疊加。除法是乘法的逆運算，而多位數(shù)的除法本質是多步的帶余除法。 核心規(guī)律：
2+3=3+2=5 到5-3=2，5-2=3，加法交換律和加減互逆; 2×3=3×2=6 到6÷3=2，6÷2=3，乘法交換律和乘除互逆。
幾個研討的問題：
a) 用平均分實際問題引入帶余除法。
多位數(shù)除法的本質就是多步的帶余除法，學生對此常常認識不足。帶余除法可以理解為用多次乘法(試商)和減法來做除法，其關鍵在于對余數(shù)必須小于除數(shù)的認識。
除法就是平均分的認識，已經被學生理解。表內除法的算式，要求學生能夠舉例說明，實際上就是能夠對應生活中的模型。3÷3=1，對應3粒糖果3個小朋友平均分，一人分到1粒;6÷3=2，對應6粒糖果2個小朋友平均分，一人分到1粒;那么4、5粒，7、8粒糖應該如何分呢?
4÷3=1„1， 3個人每人分得1粒糖，還剩1粒。
5÷3=1„2， 3個人每人分得1粒糖，還剩2粒。
6÷3=2， 3個人每人正好分得2粒糖，沒有剩余。
7÷3=2„1， 3個人每人分得2粒糖，還剩1粒。
最關鍵的就是上面這個算式，因為最常見的問題就出在
7÷3=1„4， 錯誤。因為對應的實際問題解決不合理：3個人每人分得1粒糖，還剩4粒。因為事實上剩余的4粒還可以繼續(xù)分，每個人還可以多分到1粒，最后還剩1粒。所以：7÷3=2„1， 3個人每人分得2粒糖，還剩1粒。
而 7÷3=3„?，錯誤，因為每人分得3粒糖，需要9粒糖，不夠分。 關鍵就是對于7÷3的結果，學生要能夠舉實例透徹地說明算理，同時在過程中明白試商就是試乘的過程，1×3，2×3<7，3×3>7，明白用試商(乘)和減法做帶余除法的過程。所以，8÷3=2„2，9÷3=3，10÷3=3„1。
這樣的教學讓學生明白，帶余除法并不是和整除除法(表內除法)有什么不同，而是完全統(tǒng)一于生活實際的解決問題，只是解決平均分問題的不同情況。表內乘法熟練了，逆向就可以做表內除法，升級就可以做多位整數(shù)乘法;同樣是表內乘法熟練了，就可以做帶余除法;帶余除法熟練了，多位數(shù)除一位數(shù)就是多步的帶余除法。而多位商除以多位數(shù)中，帶余除法的難點在于試商，而試商本質仍是試乘，可以多次嘗試。所以所有的計算重點和核心仍然是乘法，但是實現(xiàn)從多位數(shù)乘法到多位數(shù)除法的最后一躍，帶余除法仍然是關鍵之關鍵。
b) 用生活中的購物問題來引入小數(shù)及其計算
小數(shù)的概念，用生活中的購物價格，用元角分的單位及互換來引入。因為小數(shù)之為小數(shù)，關鍵是多了小數(shù)點。小小一點，帶來了數(shù)位的變化：從小數(shù)點向左是個位，十位，百位，越來越大;小數(shù)點向右是十分位，百分位，越來越小。所以小數(shù)計算的關鍵無非就是確定小數(shù)點的位置，實際上轉化成整數(shù)形式的運算。如何理解小數(shù)加減乘除中小數(shù)點位置的確定規(guī)則呢?
小數(shù)加減法，生活模型就是購物中的金額加減問題。學生從計算金額和差時，自然而然的做到元角分對齊，引入相應的計算算理，即小數(shù)點要對齊這一關鍵。小數(shù)的乘除法，生活模型是購物問題中的單價及數(shù)量模型，只是單價出現(xiàn)了小數(shù)而已。小數(shù)乘法的小數(shù)點確定是根據乘法中積變化的規(guī)律，兩個因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和就是積的小位位數(shù)(去小數(shù)點后的末尾0之前);而小數(shù)除法的小數(shù)點確定是根據除法中商不變的規(guī)律，把除數(shù)轉化成整數(shù)。對于除數(shù)是整數(shù)的除法，商的小數(shù)點和被除法小數(shù)點是對齊的。這在下文中“四條關于不變和變化的規(guī)律”中還會談到。
c)加減乘除的基本算理和性質的生活化模型
加法交換律：2+3=3+2=5，其生活模型：男生2人加女生3人，得到全體5人;或者女生3人加男生2人，也得到全體5人。所以2+3=3+2。
加法結合律：(1+2)+3=1+(2+3)=6，其生活模型：男老師1人，男生2個，女生3人，求總人數(shù)。方法1計算：男性(1+2)名，女生女性3人，總人數(shù)(1+2)+3=6名;方法2計算：老師1人，學生(2+3)名，總人數(shù)1+(2+3)=6名。所以(1+2)+3=1+(2+3)。;
乘法交換律：2×3=3×2=6，其生活模型：可樂每瓶2元，購買3瓶，需要付款2+2+2=2×3=6元;豆奶每瓶3元，購買2瓶，需要付款3+3=3×2=6元。同樣是6元錢，可以購買2元一瓶的可樂3瓶，或者3元一瓶的豆奶2瓶。所以2×3=3×2。
乘法結合律：(2×3)×4=2×(3×4)=24，其生活模型：可樂2元一罐，3罐為一排，4排為一扎。一扎可樂多少錢?方法1計算：一排可樂是(2×3)元，4排一共需要(2×3)×4=24元;方法2計算：一罐可樂2元，一扎可樂是(3×4)罐，一扎一共需要總人數(shù)2×(3×4)=24
元。所以(2×3)×4=2×(3×4)。
乘法分配律：(2+3)×4=2×4+3×4=20，其生活模型：老師請4個同學喝飲料，一人一瓶可樂又一瓶豆奶。已知可樂每瓶2元，豆奶每瓶3元。老師需要付多少錢?方法1計算：每個同學花了(2+3)元，4名同學一共花了(2+3)×4=20元;方法2計算：4瓶可樂2×4元，4瓶豆奶3×4元，總共是2×4+3×4=20元。所以(2+3)×4=2×4+3×4。
以上五個運算律，其中加法交換律和結合律，及乘法交換律和結合律，比較容易讓學生“自然而然”地接受。而乘法分配律既是小學數(shù)學內容的重點，又是小學數(shù)學應用的難點。這個定律實質可以說成是乘法對加法的分配律。如果讓學生理解以上生活化的算理，他們可以通過自己反復的計算來驗證和熟悉。更進一步，可以讓學生自己來舉例子、說模型，真正明白“道理背后的道理”，從而真心確信這已經是自己承認和掌握的道理，而不再僅僅是老師教的道理。這樣的道理再多，也不怕記。
另外還有一些有關簡便運算的性質，初中將作為“加減括號”的形式運算加以學習，但在小學階段如何理解則大多是言之不詳。比如23-6-4=23-(6+4)的變形，利用生活化的模型語言則可以講得非常明白。小華有23元，買筆用了6元，買本用了4元，則等式左邊是按每次用錢就計算一次的方法，右邊的算法則是先計算一共花的錢數(shù)，再從整體一次減去的方法，兩種算法的結果當然是一樣的。
d)四條關于不變和變化的規(guī)律。
教材中出現(xiàn)了除法中商不變的規(guī)律，可以類比到減法中差不變的規(guī)律：被減數(shù)和減數(shù)同時增加或減少相同的數(shù)，所得的差不變。實際上差不變的規(guī)律在小學數(shù)學中同樣有重要的作用，比如對于簡便計算123-98=123-(100-2)=123-100+2的解釋。既然教材中沒有出現(xiàn)去括號的規(guī)律，說明這個規(guī)律因形式上的抽象性不對小學生做要求。但是可以用“差不變的規(guī)律”來解釋這個問題，123-98=(123+2)-(98+2)=125-100=25，非常容易理解。如果是123+98呢，如何實現(xiàn)通常所謂的“湊整”呢?由差不變的規(guī)律，可以聯(lián)想類推到和不變的規(guī)律：兩個加數(shù)中有一個增大，而另一個減少相同的數(shù)，則加法的和不變，所以123+98=(123-2)+(98+2)=121+100=221。再由和不變的規(guī)律，可以類推出積不變的規(guī)律：兩個乘數(shù)中有一個增大，而另一個縮小相同的倍數(shù)，則乘法的積不變：44×25=(44÷4)×(25×4)=1100。既然有乘法積不變的規(guī)律，當然有乘法積變化的規(guī)律：兩個乘數(shù)中有一個縮小A倍，而另一個縮小B倍，其中A、B均不為零。則乘法的積縮小為AB倍。所以，0.41×2.5=(41÷100)×(25÷10)=(41×25)÷(100×10)=(41×25)÷1000，這就是小數(shù)乘法的基本算理：按照整數(shù)乘法來進行計算，再整體確定積的小數(shù)點位置即可。
小結一下，加減乘除計算中，和差積商不變的規(guī)律及其變化的規(guī)律，可以說是小學數(shù)學計算的基本規(guī)律之一，可以在新編教材中加以強化。在現(xiàn)行教材的教學中，在教材提出商不變的規(guī)律后，反溯類比聯(lián)想到差不變的規(guī)律，再到和不變的規(guī)律，然后類比積不變的規(guī)律，最后是積變化的規(guī)律等等。這其中的類比聯(lián)想的創(chuàng)造性思維也給學生受益非淺的鍛煉。
2)計算內容的第二階段
這一階段主要內容是分數(shù)概念及其計算。這一部分的學習重點有兩點，算理和工具。我常常比喻它們是“分數(shù)概念和計算的任督兩脈”。任脈就是分數(shù)計算的算理，牢牢把握分數(shù)產生于除法，除法中“商不變的規(guī)律”應用于分數(shù)內容，就是“分數(shù)的基本性質”，也就是說“分數(shù)的基本性質”來源于“除法中商不變的規(guī)律”。上文中曾提及四大計算規(guī)律，分別是“加法中和不變的規(guī)律、減法中差不變的規(guī)律、乘法中積不變的規(guī)律和除法中商不變的規(guī)律”，而在人教版教材中唯一明確提出的，只有“除法中商不變的規(guī)律”。就因為這一規(guī)律是貫串兩個學習階段，在兩個階段都有重要作用的基本規(guī)律。在第二學習階段，分數(shù)的基本性質就是分數(shù)計算的根本規(guī)律，以此為根據的約分和通分，就是分數(shù)乘除法和加減法的基本方法。而分數(shù)計算的督脈就是工具，什么工具呢?就是能在約分中能找到公因數(shù)，在通分中能找到公倍數(shù)，而且在100以內要能根據定義，迅速準確地找出公因數(shù)和公倍數(shù)。也就是說因數(shù)和倍數(shù)的概念及常見數(shù)據的因數(shù)和倍數(shù)的熟悉就是這里所謂的工具，所以教學中要對1～100的數(shù)反復進行因數(shù)分解的練習。根據分數(shù)基本性質的算理，掌握因數(shù)和倍數(shù)概念的工具，就是分數(shù)概念及其計算的全部內容。以下是教學中要關注的兩個問題。
a)乘法的兩種逆運算：除法是乘法的逆運算，關系逆運算;而因數(shù)分解是也乘法的逆運算，形式逆運算。乘法是單向的，得到唯一的結果;因數(shù)分解是多向的，得到發(fā)散的結果。用乘法逆運算來理解因數(shù)分解，并把它和除法并列在一起，有助于完善形成一個小學階段三數(shù)四算(整數(shù)小數(shù)的分數(shù)之加減乘除)的簡單而完整的知識結構。以下的列舉練習多多益善。
1=1×1， 1只有一個因數(shù)，就是1本身;
2=1×2， 2的因數(shù)有：1和2，共2個;
3=1×3， 3的因數(shù)有：1和3，共2個;
4=1×4=2×2， 4的因數(shù)有：1、2和4，共3個;
5=1×5， 5的因數(shù)有：1和5，共2個;
6=1×6=2×3， 6的因數(shù)有：1、2、3和6，共4個;
7=1×7， 7的因數(shù)有：1和7，共2個;
8=1×8=2×4， 8的因數(shù)有：1、2、4和8，共4個;
9=1×9=3×3， 9的因數(shù)有：1、3和9，共3個;
10=1×10=2×5， 10的因數(shù)有：1、2、5和10，共4個;
以下11～20，21～50，51～100略。
學生可以發(fā)現(xiàn)：1)根據因數(shù)的個數(shù)，正整數(shù)可以分成質數(shù)、合數(shù)和特殊的1;
2)除了完全平方數(shù)1，4，9等，其它的正整數(shù)的因數(shù)都是成對出現(xiàn)的，因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù);反過來說，完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù);等等。
或者改變排列方式，進行如下列舉練習。
10=1×10=2×5， 10的因數(shù)有：1、2、5和10，共4個; 20=1×20=2×10=4×5， 20的因數(shù)有：1、2、4、5、10和20，共6個;
30=1×30=2×15=3×10=5×6， 30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15和30，共8個;
40=1×40=2×20=4×10=5×8， 40的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、20和40，共8個;
50=1×50=2×25=5×10， 50的因數(shù)有：1、2、5、10、25和50，共6個;
60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，
60的因數(shù)有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、12、20和60，共12個;
70=1×70=2×35=5×14=7×10，70的因數(shù)有：1、2、5、7、10、14、35和70，共8個;
80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10，
80的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、16、20、40和80，共10個;
90=1×90=2×45=3×30=5×18=6×15=9×10，
90的因數(shù)有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45和90，共12個;
100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10，
100的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20、25、50和100，共9個;
以下個位為1的各數(shù)(11，21，„„91)等略。
b)關于教材中分數(shù)加減法和乘除法的教學先后問題。
人教版的教材曾經是先教分數(shù)的乘除法，再教分數(shù)的加減法。在引入分數(shù)概念之后，緊接內容就是分數(shù)的基本性質。然后是最簡分數(shù)的概念，和利用分數(shù)基本性質進行約分化簡得到最簡分數(shù)的計算。因為分數(shù)乘法的本質過程就是能約分的先約分，所以在學習約分之后，直接學習分數(shù)的乘法順其自然，符合知識體系發(fā)展的邏輯。而分數(shù)除法則是通過轉化為分數(shù)乘法來解決。而分數(shù)的加減法的重難點主要在于異分母時的通分，通分是通過比較分數(shù)大小引入的，困難程度要略大于約分，所以先講分數(shù)乘除法再講分數(shù)加減法也是符合由易到難的邏輯順序
的。另外有一個供參考的經驗之談，在異分母加減法中強調分數(shù)單位的概念，結合小數(shù)加減法中的數(shù)位對齊，說明通分的目的就如同小數(shù)加減法中的對齊，是為了保證相同單位下的相加。下面談談教材的變化。
人教版在2006版的修訂中把《分數(shù)的加法和減法》提前到五下，緊接《分數(shù)的意義和性質》之后，卻把分數(shù)的乘除法分列兩單元，出現(xiàn)在六上。這樣的安排，我估計是出于整合分數(shù)應用題的教學需要，因為分數(shù)加減法應用題的教學內容遠不如分數(shù)乘除法應用題內容豐富。但從我的教學實踐來看，先學了分數(shù)的約分和化簡后，再學通分和分數(shù)的加減法，又回頭來學分數(shù)的乘除法，結果學生出現(xiàn)了部分學生，尤其是學困生，亂用通分做分數(shù)乘法的情況。所以說，為了整合應用題內容而對分數(shù)計算內容順序的這一調整，是值得再行考慮的。
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