一元二次方程教案人教版_一元二次方程專題練習(xí)
只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享一元二次方程教案人教版，歡迎閱讀。
一元二次方程教案人教版
學(xué)情分析：
學(xué)生在七年級(jí)和八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎(chǔ)上本節(jié)課將從實(shí)際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)技能：
1、 理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
數(shù)學(xué)思考：
1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.
2、通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念理解的完整性和深刻性.
3、由知識(shí)來源于實(shí)際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想，從而進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
解決問題：
在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).
情感態(tài)度：
1、培養(yǎng)學(xué)生自主自主學(xué)習(xí)、探究知識(shí)和合作交流的意識(shí).
2、激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).
教學(xué)重點(diǎn)：
一元二次方程的概念及一般形式.
教學(xué)難點(diǎn)：
1、由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程.
2、正確識(shí)別一元二次方程一般形式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”.
教學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)：
一、自主學(xué)習(xí) 感受新知
【問題1】有一塊面積為900平方米的長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，則綠地的長(zhǎng)和寬各為多少?
【分析】設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，依題意列方程為：x(x+10)=900;
整理得： x2+10x-900=0 ①
【問題2】學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)至明年年底增加到7.2萬冊(cè)，求這兩年的年平均增長(zhǎng)率。
【分析】設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x，依題列方程為：5(1+x)2=7.2;
整理得： 5 x2+10x-2.2=0 ②
【問題2】學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽?
【分析】全部比賽共4×7=28場(chǎng)，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，則每個(gè)隊(duì)要與其它 (x-1)隊(duì)各賽1場(chǎng)，全場(chǎng)比賽共場(chǎng)，依題意列方程得：;
整理得： x2-x-56=0 ③
(設(shè)計(jì)意圖：在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的問題，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣和積極性。 同時(shí)通過解決實(shí)際問題引入一元二次方程的概念,同時(shí)可提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際問題的能力。)
二、自主交流 探究新知
【探究】(1)上面三個(gè)方程左右兩邊是含未知數(shù)的 整式 (填 “整式”“分式”等);
(2)方程整理后含有 一 個(gè)未知數(shù);
(3)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是 二 次。
【歸納】
1、一元二次方程的定義
等號(hào)兩邊都是 整式 ，只含有 一 個(gè)求知數(shù)(一元)，并且求知數(shù)的最高次數(shù)是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。
【強(qiáng)調(diào)】方程ax2+bx+c=0只有當(dāng)a≠0時(shí)才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0時(shí)就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含a≠0這個(gè)條件。
(設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生已熟練掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以從未知數(shù)的個(gè)數(shù)及最高次數(shù)提問，引導(dǎo)學(xué)生歸納共同點(diǎn)是符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的。學(xué)生的自主觀察、比較、歸納是活動(dòng)有效的保證，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分的探究和交流。同時(shí)，在概念教學(xué)中類比是幫助學(xué)生正確理解概念的有效方法。)
【對(duì)應(yīng)練習(xí)】判斷下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?為什么?
(1)x3-2x2+5=0; (2)x2=1;
(3)5x2-2x-=x2-2x+; (4)2(x+1)2=3(x+1);
(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0
(設(shè)計(jì)意圖：此問題采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。其目的是為了及時(shí)鞏固一元二次方程的概念，同時(shí)讓學(xué)生知道判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，首先要對(duì)其整理成一般形式，然后根據(jù)定義判斷。)
三、自主應(yīng)用 鞏固新知
【例1】 已知方程(a-3)x|a-1|-2x+5=0，當(dāng) a=-1 時(shí)，此方程是一元二次方程，當(dāng)a=0，2或3 時(shí)，此方程是一元一次方程。
(設(shè)計(jì)意圖：通過例1的學(xué)習(xí)，一是使學(xué)生進(jìn)一步鞏固一元二次方程的概念，并注意其最基本的條件：未知數(shù)的最高次數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0;二是使學(xué)生了解一元二次方程與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別。在填第一個(gè)空時(shí)要讓學(xué)生注意a值的取舍，填第二個(gè)空時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論。)
【例2】將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等.
解：去括號(hào)，得：
3x2-3x=5x+10
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得：
3x2-8x-10=0
其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是-8，常數(shù)項(xiàng)是-10。
(設(shè)計(jì)意圖：通過例2的學(xué)習(xí)，一是使學(xué)生進(jìn)一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào);二是使學(xué)生進(jìn)一步了解方程的變形過程。)
四、自主總結(jié) 拓展新知
本節(jié)課你學(xué)了什么知識(shí)?從中得到了什么啟示?
1、a≠0是ax2+bx+c=0成為一元二次方程的必要條件，否則，方程ax2+bx+c=0變?yōu)閎x+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，應(yīng)先將方程化為一般形式。
(設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強(qiáng)知識(shí)的形成。)
五、自主檢測(cè) 反饋新知
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
?、?x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2、某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為200平方米的矩形花圃，它的長(zhǎng)比寬多10米，設(shè)花圃的寬為x米，則可列方程為x(x+10)=200，化為一般形式為x2+10x-200=0。
3、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m= -2 。
4、將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式為 2x2+2x-4=0 ，其中二次項(xiàng)是 2x2 ，二次項(xiàng)系數(shù)是 2 ，一次項(xiàng)是 2x ，一次項(xiàng)系數(shù)是 2 ，常數(shù)項(xiàng)是 -4 。
(設(shè)計(jì)意圖：隨堂檢測(cè)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握情況，及時(shí)了解反饋和調(diào)整后續(xù)教學(xué)內(nèi)容與教法。)
六、課后作業(yè)
教科書第28頁 1 2 5 6 7
教學(xué)理念與反思
本節(jié)內(nèi)容是九年級(jí)數(shù)學(xué)第二章的第一課時(shí)，通過對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，是典型的概念教學(xué)課。
概念教學(xué)總是遵循這樣的規(guī)律：引入概念、形成概念、鞏固概念、運(yùn)用概念和深化概念，在設(shè)計(jì)教學(xué)中也是遵循這一規(guī)律，通過學(xué)習(xí)、交流、應(yīng)用、總結(jié)、檢測(cè)這五個(gè)環(huán)節(jié)來完成教學(xué)任務(wù)。首先通過三個(gè)問題讓學(xué)生建立一元二次方程順利引入到新課;然后通過交流探究歸納出一元二次方程的概念，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性，探討一元二次方程的一般形式及相關(guān)概念，并學(xué)會(huì)利用方程解決實(shí)際問題，從而獲得本課的新知識(shí);再次是通過兩個(gè)例題達(dá)到鞏固、運(yùn)用概念的作用;最后通過總結(jié)與檢測(cè)來深化學(xué)生所學(xué)知識(shí)，并運(yùn)用到實(shí)際問題中去，使學(xué)生熟練掌握所學(xué)知識(shí)。
教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)，注重合作交流，讓學(xué)生與學(xué)生的交流合作在探究過程中進(jìn)行，使他們?cè)谧灾魈骄康倪^程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力。
一元二次方程習(xí)題
1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )
A、(x-p)2=5 B、(x-p)2=9
C、(x-p+2)2=9 D、(x-p+2)2=5
2、已知m是方程x2-x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2-m的值等于( )
A、-1 B、0 C、1 D、2
3、若α、β是方程x2+2x-2005=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值為( )
A、2005 B、2003 C、-2005 D、4010
4、關(guān)于x的方程kx2+3x-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A、k≤- B、k≥- 且k≠0
C、k≥- D、k>- 且k≠0
5、關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為x1=1，x2=2，則這個(gè)方程是( )
A、 x2+3x-2=0 B、x2-3x+2=0
C、x2-2x+3=0 D、x2+3x+2=0
6、已知關(guān)于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，那么k的最大整數(shù)值是( )
A、-2 B、-1 C、0 D、1
7、某城2004年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2006年底增加到363公頃，設(shè)綠化面積平均每年的增長(zhǎng)率為x，由題意所列方程正確的是( )
A、300(1+x)=363 B、300(1+x)2=363
C、300(1+2x)=363 D、363(1-x)2=300
8、甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別解一道一元二次方程，甲因把一次項(xiàng)系數(shù)看錯(cuò)了，而解得方程兩根為-3和5，乙把常數(shù)項(xiàng)看錯(cuò)了，解得兩根為2+ 和2- ，則原方程是( )
A、 x2+4x-15=0 B、x2-4x+15=0
C、x2+4x+15=0 D、x2-4x-15=0
十字相乘法解一元二次方程介紹
在解一元二次方程時(shí)，常常需要用到分解因式，但是教材中一般只介紹了提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法.
本期我們將介紹一種在因式分解中起著重要作用的方法：十字相乘法.
先來看一個(gè)等式：
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.
把這個(gè)等式反過來寫就是：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
此時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)式子可以化成x²+(a+b)x+ab的形式，它就可以通過因式分解得到(x+a)(x+b).
而x²+(a+b)x+ab的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)x²的系數(shù)是1，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有聯(lián)系，一個(gè)是a+b,一個(gè)是ab.
現(xiàn)在我們來看兩個(gè)例題：
例1.解方程：x²+x-6=0.
分析：因?yàn)閤的系數(shù)是1，所以我們要找兩個(gè)相加等與1的數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)乘積是-6. 于是我們找到了-2和3.
解：x²+x-6=(x+3)[x+(-2)]
=(x+3)(x-2)=0.
所以方程的解為：
x1=-3, x2=2.
例2：解方程：x²+5x+6=0.
分析：因?yàn)閤的系數(shù)是5，我們就要找兩個(gè)相加等與5的數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)乘積是6. 于是我們找到了2和3.
解：x²+x-6=(x+3)(x+2)=0.
所以方程的解為：
x1=-3,x2=-2.
以下幾道習(xí)題留給讀者練習(xí)一下：
解下列方程：
x²+5x-6=0;
x²+7x+12=0;
x²+3x-10=0;
x²-5x+6=0;
x²-4x+3=0.
有的讀者會(huì)問為什么叫十字相乘法，這與用這種方法解題的方式有關(guān). 這要從這種方法的更一般的形式說起.
我們一起來看下面的等式：
(ax+b)(cx+d)
=acx²+(ad+bc)x+bd.
這個(gè)等式反過來寫就是：
acx²+(ad+bc)x+bd
=(ax+b)(cx+d).
我們?nèi)绻讯雾?xiàng)acx²的系數(shù)ac和常數(shù)項(xiàng)bd按下圖的方式寫在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，那么，讓同一條對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)相乘之后，我們就得到兩個(gè)乘積：ad和bc.
讓這兩個(gè)乘積相加，則有ad+bc，這正好是一次項(xiàng)(ad+bc)x的系數(shù).
而在同一行，橫著的兩個(gè)數(shù)，讓左邊的數(shù)乘上x再加右邊的數(shù)，就得到：ax+b和cx+d兩個(gè)式子，這正是因式分解后得到的結(jié)果(ax+b)(cx+d)中的兩個(gè)因式.
而上圖中出現(xiàn)的那個(gè)“×”，像個(gè)斜放著的“十”字，所以我們稱這種方法為：十字相乘法.
這個(gè)方法的應(yīng)用如下：
例3. 解方程：6x²-2x-28=0.
分析：分別把6和-28進(jìn)行分解，然后作十字相乘，找可以得到-2的結(jié)果.如圖：
這里，6分解成2×3，-28分解成4×(-7)，作十字相乘，得到兩個(gè)乘積：-14和12，讓兩個(gè)積相加，就得到一次項(xiàng)的系數(shù)-2. 每一行，橫著的兩個(gè)數(shù)，左邊的數(shù)乘x再加上右邊的數(shù)，得到：2x+4和3x-7.
所以6x²-2x-28
=(2x+4)(3x-7)=0
這個(gè)方程的解為：
以下是兩道練習(xí)：
解下列方程：
6x²+12x-48=0;
5x²-25x+20=0.
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