數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾依曼的故事
馮·諾依曼，20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家之一，在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)、博弈論、核武器和生化武器等諸多領(lǐng)域內(nèi)有杰出建樹的最偉大的科學(xué)全才之一，被后人稱為“計(jì)算機(jī)之父”和“博弈論之父”。今天我們除了看關(guān)于約翰·馮·諾依曼的故事外，還準(zhǔn)備了另外兩個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，希望大家喜歡！
數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾依曼的故事
1957年2月8日，20世紀(jì)最重要的科學(xué)家之一約翰·馮·諾依曼(John von Neumann)因癌癥在美國逝世。美國科學(xué)院曾在他去世前發(fā)來問候，并詢問他：“你一生中最偉大的三個(gè)成就是什么?”要知道，當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)把諾依曼視為“計(jì)算機(jī)之父”，他提出了世界上第一個(gè)通用存儲(chǔ)程序計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)方案。此外他與摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》被視為博弈論的奠基之作;他曾是美國核威懾計(jì)劃的協(xié)調(diào)員，“曼哈頓計(jì)劃”中最重要的科學(xué)家之一，長崎原子彈的締造者。
諾依曼的回答卻出乎人們的意料，他說，“我最重要的貢獻(xiàn)是希爾伯特空間自伴算子理論、量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和遍歷性定理。”一語震驚世人。
天才的30歲
控制論的創(chuàng)始人諾伯特·維納曾說，“數(shù)學(xué)是年輕人的游戲”，適合一個(gè)人在創(chuàng)造力勃發(fā)的時(shí)期鉆研它。對(duì)于很多數(shù)學(xué)天才來說，獲得造詣的黃金時(shí)期，也就是在30歲之前。諾依曼是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的天才，而且理所當(dāng)然地把人生的前30年用在了數(shù)學(xué)上。
如今關(guān)于“天才神童”諾依曼的說法見諸許多傳記和報(bào)道，比如6歲時(shí)就能心算做8位數(shù)乘除法，8歲時(shí)已經(jīng)精通微積分，12歲就能讀懂并領(lǐng)會(huì)波萊爾(Emile Borel)的大作《函數(shù)論》。雖然傳說種種不可盡信，但我們可以確切地知道的是，諾依曼年輕時(shí)在數(shù)學(xué)上的成就非同一般。
1903年12月28日出生在匈牙利布達(dá)佩斯的少年諾依曼，11歲時(shí)就被建議從中學(xué)輟學(xué)回家，原因是老師認(rèn)為他的數(shù)學(xué)天賦驚人，在中學(xué)簡直浪費(fèi)。諾依曼的父親是一個(gè)富裕的猶太銀行家，請(qǐng)來了當(dāng)時(shí)在布達(dá)佩斯大學(xué)當(dāng)助教的菲克特對(duì)諾依曼進(jìn)行家庭輔導(dǎo)。
1921年，諾依曼通過高等教育升學(xué)考試時(shí)，已被人們當(dāng)作數(shù)學(xué)家了。他的第一篇論文是和老師菲克特合寫的，那時(shí)他還不到18歲。作為銀行家的父親希望諾依曼掌握一些“有實(shí)際用途”的科學(xué)，請(qǐng)人勸阻諾依曼不要專攻數(shù)學(xué)，后來父子倆達(dá)成妥協(xié)。諾依曼首先在布達(dá)佩斯大學(xué)注冊(cè)為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但并不聽課，只是每年按時(shí)參加考試。與此同時(shí)，他又進(jìn)入德國柏林大學(xué)，1923年轉(zhuǎn)入瑞士蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)學(xué)習(xí)化學(xué)。1926年他獲得了蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)化學(xué)學(xué)位，同時(shí)也獲得了布達(dá)佩斯大學(xué)的數(shù)學(xué)博士學(xué)位。、
在柏林和蘇黎世期間的諾依曼已經(jīng)決定投身于數(shù)學(xué)了，他并沒有常去拜訪大名鼎鼎的毒氣發(fā)明家哈伯教授，而是和希爾伯特的學(xué)生施密德(Erhard Schmidt)走得很近。1921年至1925年發(fā)表的兩篇論文《關(guān)于引入無窮序數(shù)》和《集合論的一種公理化》使這位年輕的本科生名聲大震，論文在當(dāng)時(shí)的重量級(jí)人物間傳閱過，希爾伯特傳記的作者認(rèn)為，從那時(shí)起，年輕的諾依曼就成了希爾伯特家的?？?。
1926年春，諾依曼來到哥廷根大學(xué)擔(dān)任希爾伯特的助手。此時(shí)德國已是量子力學(xué)興起的第一陣地，海森堡、薛定諤剛提出各自的“量子理論”，隨后狄拉克將相對(duì)論引入量子力學(xué)，完成了量子理論的統(tǒng)一。這片新天地對(duì)于置身其中的諾依曼來說，無疑是一種巨大的誘惑。1927年，諾依曼已經(jīng)投身于量子力學(xué)，他在希爾伯特的幫助下，發(fā)表了論文《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，將經(jīng)典力學(xué)中的精確函數(shù)關(guān)系用概率關(guān)系代替。這使得希爾伯特的元數(shù)學(xué)在量子力學(xué)這個(gè)生氣勃勃的領(lǐng)域里獲得了施展。
在量子力學(xué)發(fā)展史上，客觀地說，狄拉克對(duì)量子理論的數(shù)學(xué)處理是不夠嚴(yán)格的，而諾依曼通過對(duì)無界算子的研究，發(fā)展了希爾伯特算子理論，彌補(bǔ)了這個(gè)不足。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者維格納(Paul Wigner)曾作過如下評(píng)價(jià)：“對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)，就足以確保諾依曼在當(dāng)代物理學(xué)中的特殊地位。”
在諾依曼早年發(fā)表的論文中，希爾伯特空間算子環(huán)理論方面的文章大約占了1/3。這也足以看出，他花費(fèi)了大部分的精力在這個(gè)領(lǐng)域。依托算子環(huán)理論，諾依曼發(fā)展出了一種新的代數(shù)和幾何，分別被命名為“諾依曼算子代數(shù)”和 “連續(xù)幾何”，后者是一個(gè)嶄新的領(lǐng)域，普通幾何學(xué)的維數(shù)為整數(shù)1、2、3等，而諾依曼提出決定一個(gè)空間的維數(shù)結(jié)構(gòu)的，實(shí)際上是它所容許的旋轉(zhuǎn)群。因而維數(shù)可以不再是整數(shù)，現(xiàn)在人們可以提到3.75維，而不是第4維。
1932年，即將到達(dá)30歲的諾依曼，做出了對(duì)純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最后一個(gè)重要貢獻(xiàn)：解決了遍歷定理的證明。它是20世紀(jì)數(shù)學(xué)分析研究領(lǐng)域中最有影響的成就之一，解決了希爾伯特在1900年那次著名的演說中提出的所謂“緊群的第五問題”。
轉(zhuǎn)變
20世紀(jì)30年代，年輕的諾依曼由于才華出眾，在學(xué)術(shù)界越來越引人注目。他先后在柏林大學(xué)、漢堡大學(xué)擔(dān)任編外教授，但一直沒有正式教授的職位。1930年，諾依曼與瑪利埃塔·科維茜結(jié)婚，成家立業(yè)的壓力隨之而來，而此時(shí)恰逢美國數(shù)學(xué)家韋伯倫在普林斯頓廣羅英才，諾依曼欣然前往，橫渡大西洋，應(yīng)邀來到美國普林斯頓大學(xué)擔(dān)任客座講師。1933年，普林斯頓成立高級(jí)研究院，一共設(shè)6個(gè)高級(jí)教授的名額，諾依曼是其中最年輕的一位，物理學(xué)家愛因斯坦是他的同事。
由于納粹迫害猶太血統(tǒng)的科學(xué)家，諾依曼無法再回德國，因而終生在美國定居，并加入了美國國籍。差不多正是從這時(shí)候起，諾依曼的科學(xué)生涯發(fā)生了一個(gè)重大轉(zhuǎn)變。在此之前，他是一位通曉物理學(xué)的登峰造極的純粹數(shù)學(xué)家，此后，則成了一位牢固掌握純粹數(shù)學(xué)的出神入化的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他的興趣轉(zhuǎn)移到了兩個(gè)新領(lǐng)域：博弈論和計(jì)算機(jī)。
早在20世紀(jì)20年代，撲克和國際象棋就引起了哥廷根的數(shù)學(xué)家們的興趣，諾依曼在1928年發(fā)表論文《團(tuán)體博弈論》，第一次對(duì)博弈做出了完整的數(shù)學(xué)描述，宣告了博弈論的誕生。在這篇文章中，他證明了“極小極大定理”，這個(gè)定理用于處理最基本的二人博弈問題：如果博弈雙方中的任何一方，對(duì)每種可能的策略，考慮了可能遭到的最大損失，從而選擇“最大損失”最小的一種為“最優(yōu)”策略，那么從統(tǒng)計(jì)角度來看，他就能夠確保方案是最佳的。
不過在那時(shí)，關(guān)于這個(gè)理論的討論還是局限在數(shù)學(xué)的范疇里，針對(duì)的也還只是類似象棋與撲克這樣的問題，一直到1938年，諾依曼在普林斯頓遇到了同是移民的摩根斯特恩，這個(gè)理論與經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系才逐漸加強(qiáng)。
摩根斯特恩是一個(gè)來自維也納的經(jīng)濟(jì)評(píng)論家，他的第一部作品《經(jīng)濟(jì)預(yù)測》提出了一個(gè)悲觀的論點(diǎn)：通過已有的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，來預(yù)測經(jīng)濟(jì)興衰起伏是一種徒勞的行為，因?yàn)樗雎粤私?jīng)濟(jì)行為的參與者之間的依賴性。而博弈論解決的恰恰是合作與競爭關(guān)系中的問題。摩根斯特恩說服諾依曼與他合寫一部論著，證明博弈論才是一切經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的正確基礎(chǔ)。摩根斯特恩本人并不懂?dāng)?shù)學(xué)，因此幾乎是諾依曼獨(dú)立完成了這部1200多頁的論著，最后由摩根斯特恩執(zhí)筆寫出了具有煽動(dòng)性的緒論。
《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》在1944年出版時(shí)，諾依曼在普林斯頓的聲望也達(dá)到了頂峰。有些科學(xué)家甚至頌揚(yáng)它 “可能是20世紀(jì)前半期最偉大的科學(xué)貢獻(xiàn)之一”，它也啟迪了1994年諾貝爾獎(jiǎng)獲得者約翰·納什發(fā)展出現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)里著名的“均衡理論”。
改變世界的邂逅
1936年9月，英國數(shù)學(xué)家阿蘭·麥席森·圖靈應(yīng)邀來到普林斯頓高等研究院學(xué)習(xí)，成為了諾依曼的研究助手。這或許是計(jì)算機(jī)科學(xué)史上一次未被記載的偉大邂逅。圖靈帶來的關(guān)于一種萬能計(jì)算機(jī)器“圖靈機(jī)”的設(shè)想，在當(dāng)時(shí)已經(jīng)引起了諾依曼的興趣。不過這種興趣并沒有直接引導(dǎo)他去研制計(jì)算機(jī)，因?yàn)椴痪煤蠖?zhàn)便爆發(fā)了。
諾依曼作為普林斯頓高級(jí)教授之一，應(yīng)召參與了許多美國軍方的科學(xué)研究項(xiàng)目，其中便包括研制原子彈的“曼哈頓工程”。從1943年開始，諾依曼成為奧本海默的中央實(shí)驗(yàn)室中身居要職的數(shù)學(xué)家，他對(duì)原子彈的最大貢獻(xiàn)就是提出了一個(gè)引發(fā)核燃料爆炸的內(nèi)爆方法，這個(gè)方法將研制出原子彈的時(shí)間縮短了大約一年。
1944年夏天，“曼哈頓工程”進(jìn)入了收尾階段。在美國東部的馬里蘭州阿伯丁火車站站臺(tái)上，諾依曼和一位年輕軍官不期而遇，后者是美軍彈道實(shí)驗(yàn)室的赫爾曼·哥爾斯廷上尉，原是一位數(shù)學(xué)家。哥爾斯廷出于對(duì)諾依曼的景仰，上前和他攀談。當(dāng)上尉告訴諾依曼，目前他正從事一項(xiàng)科研，研制一臺(tái)每秒鐘能進(jìn)行333次乘法運(yùn)算的電子計(jì)算機(jī)時(shí)，諾依曼頓時(shí)來了興趣，連連追問。哥爾斯廷被問得汗流浹背，用他后來的話說，“簡直像一場數(shù)學(xué)博士論文的答辯”。
原來，早在“曼哈頓工程”時(shí)，諾依曼就參與了原子核裂變的數(shù)據(jù)計(jì)算工作，龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算全靠手工所花費(fèi)的時(shí)間與精力是令人難以容忍的，而一臺(tái)高速計(jì)算機(jī)正好派上用場。
這次談話之后不久，諾依曼就趕往賓夕法尼亞大學(xué)的摩爾學(xué)院，去看哥爾斯廷所講的那臺(tái)機(jī)器。這臺(tái)名為“愛尼亞克”(ENIAC)的機(jī)器，在當(dāng)時(shí)已研制到一半，正在程序存儲(chǔ)問題上遇到瓶頸，對(duì)于諾依曼來說，這真是“天將降大任于斯人也”!他立即請(qǐng)求加入研究小組，并大膽地提出“實(shí)現(xiàn)程序由外存儲(chǔ)向內(nèi)存儲(chǔ)的轉(zhuǎn)化，所有程序指令必須用二進(jìn)制的方式存儲(chǔ)在磁帶上。”
1945年6月，諾依曼將自己的思想撰寫成文，題為《關(guān)于離散變量自動(dòng)電子計(jì)算機(jī)的草案》，提出了在數(shù)字計(jì)算機(jī)內(nèi)部的存儲(chǔ)器中存放程序的概念。這是所有現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的范式，被稱為“馮·諾依曼結(jié)構(gòu)”，按這一結(jié)構(gòu)建造的電腦稱為通用計(jì)算機(jī)。長達(dá)101頁的EDVAC方案是計(jì)算機(jī)發(fā)展史上的一個(gè)劃時(shí)代的文獻(xiàn)，它向世界宣告：電子計(jì)算機(jī)時(shí)代開始了。
然而這篇文章的出現(xiàn)卻使得“愛尼亞克”的研制者艾克特、莫齊利與諾依曼鬧翻了。原來這篇?jiǎng)潟r(shí)代文獻(xiàn)，只單獨(dú)署了諾依曼的大名。諾依曼是半道插進(jìn)來的，卻把辛辛苦苦做了一大半研制工作的艾克特和莫齊利拋到了腦后。這不能不讓艾克特和莫齊利心存不滿。由于此種原因，諾依曼的設(shè)想沒能在“愛尼亞克”上第一次實(shí)現(xiàn)。
1949年5月6日，英國劍橋大學(xué)的莫里斯·威爾克斯研制成功第一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)，名為“愛達(dá)賽克”(EDSAC)。威爾克斯僅用了一個(gè)晚上就將諾依曼的《關(guān)于離散變量自動(dòng)電子計(jì)算機(jī)的草案》通讀，并做了詳盡的筆記。威爾克斯把他設(shè)計(jì)的機(jī)器命名為“機(jī)電存儲(chǔ)自動(dòng)電子計(jì)算器”，表明他的基本設(shè)計(jì)思想來自諾依曼。
鮮明的個(gè)性
諾依曼在45歲那年，就已經(jīng)成為全球公認(rèn)的“20世紀(jì)最具世界性、最多才多藝、最才思敏捷的數(shù)學(xué)家”。無論在數(shù)學(xué)還是在經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)、量子力學(xué)方面，諾依曼都展示了卓越的才能，取得了影響深遠(yuǎn)的重大成果。
而這顆數(shù)學(xué)界耀眼的星星，其個(gè)人生活也常成為媒體報(bào)道的熱詞、猛料。與簡樸、超凡脫俗、富于正義感的英國數(shù)學(xué)家哈代(那一代數(shù)學(xué)家的偶像)不同，諾依曼是凡夫俗子。哈代是個(gè)純粹數(shù)學(xué)家，痛恨政治，厭惡工程學(xué)，而諾依曼恰恰興趣廣泛，對(duì)數(shù)學(xué)以外的一切并不排斥。
二戰(zhàn)中的諾依曼屬于首批乘飛機(jī)穿梭于紐約、洛杉磯、華盛頓的學(xué)術(shù)顧問，他的名字頻繁出現(xiàn)在政治新聞報(bào)道中。他是告訴美國人應(yīng)該如何考慮原子彈和蘇聯(lián)人，以及如何和平利用原子能的人之一。據(jù)說1963年庫伯里克(Kubrick)導(dǎo)演的影片中那個(gè)核戰(zhàn)爭狂(Dr. Strangelove)就是以他作為原型。他是一個(gè)激進(jìn)的冷戰(zhàn)斗士，主張向蘇聯(lián)發(fā)動(dòng)一次先發(fā)制人的攻擊，并且為核試驗(yàn)進(jìn)行辯護(hù)。奧本海默在目睹第一顆原子彈的威力時(shí)說“現(xiàn)在我成了死神，世界的毀滅者”，卻被諾依曼譏諷為“有些人的事后懺悔，不過是為了擺脫自己的罪名。”
諾依曼結(jié)過兩次婚，非常富有。他喜歡昂貴的衣服、烈酒、高速汽車和色情笑話。他是一個(gè)工作狂，舉止粗魯，有時(shí)甚至冷酷無情。長期流傳在普林斯頓的一個(gè)笑話說，“馮·諾依曼其實(shí)是一個(gè)懂得怎樣完美模仿人類的外星人”。不過，在公開場合，他卻洋溢著匈牙利人的魅力與才智。他的住宅位于普林斯頓時(shí)髦的圖書館區(qū)，他常在家里舉辦長時(shí)間的晚會(huì)，接待各界名流。他精通七種語言，談話時(shí)可以旁征博引，從歷史、政治到股市無所不知。
計(jì)算機(jī)之父的思維運(yùn)轉(zhuǎn)速度驚人，也是被反復(fù)炒作的話題，在普林斯頓經(jīng)常可以聽到諾依曼在計(jì)算表演中擊敗計(jì)算機(jī)的故事。有人提出類似“右起第四位是7的最小的2的冪是多少”的問題，機(jī)器和諾依曼同時(shí)開始計(jì)算，結(jié)果他首先完成。
數(shù)學(xué)家的故事：天才的大數(shù)學(xué)家高斯
說起數(shù)學(xué)家中最出名的天才,那一定是高斯。
關(guān)于高斯的故事,最廣為流傳的是“5050”。老師本來想用一道難題,讓全班的同學(xué)安靜一節(jié)課的時(shí)間,卻沒有想到小高斯只用了一兩分鐘就說出了答案。他把1、2、3……分別和100、99、98結(jié)對(duì)子相加,就得到50個(gè)101,最后輕易就算出從1加到100的和是5050。
你知道嗎?小高斯在三歲時(shí),就已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算了。有一天他觀看父親在計(jì)算幫工們的工錢,當(dāng)他父親念叨了半天總算報(bào)出總數(shù)時(shí),身邊傳來微小的聲音,“爸爸!算錯(cuò)了,應(yīng)該是這樣……”父親驚異地再算一次,果然是算錯(cuò)了。雖然沒有人教過他,但小高斯靠平日的觀察,自己學(xué)會(huì)了計(jì)算。
小高斯家里很窮,冬天,爸爸總是要他早早地上床睡覺,好節(jié)省燃油?？墒歉咚购芟矚g看書,每次都帶著一棵蕪菁(像蘿卜的一種植物)。他把中心挖空,塞進(jìn)棉布卷當(dāng)燈芯,淋上油脂點(diǎn)火看書,一直到累了才鉆入被窩睡覺。
高斯的進(jìn)步很快,不久之后,老師就沒什么東西可以教他了。后來,高斯進(jìn)了高一級(jí)學(xué)校,可數(shù)學(xué)老師看了他的作業(yè)后,告訴他以后不必上數(shù)學(xué)課了。
值得一提的是,高斯不光數(shù)學(xué)好,語文也非常棒,當(dāng)他18歲時(shí),為自己將來到底是繼續(xù)研究古典文學(xué)還是數(shù)學(xué)而苦惱,正在這時(shí),他解決了一個(gè)困擾數(shù)學(xué)家兩千多年之久的問題“尺規(guī)作正十七邊形”,于是,他決定繼續(xù)讀數(shù)學(xué)系。
有一個(gè)比喻說得非常好。如果我們把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺,那么最后一個(gè)令人肅然起敬的巔峰就是高斯;如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河,那么其源頭就是高斯。
人們一直把高斯的成功歸功于他的“天才”,他自己卻說:“假如別人和我一樣深刻和持續(xù)地思考數(shù)學(xué)真理,他們會(huì)作出同樣的發(fā)現(xiàn)。”
數(shù)學(xué)家的故事：偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之
祖沖之祖籍河北，他的祖父和父親都曾在南朝做官，因而他出生于南方. 晉朝末年，由于北方連年混戰(zhàn)，中原地區(qū)的人口大量遷移到南方，促使長江流域的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)各方面都有迅速的發(fā)展，祖沖之正是誕生在這樣的時(shí)代環(huán)境里.祖家歷代對(duì)天文歷法都很有研究.在家庭的影響下，祖沖之從小便對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣.
在青年時(shí)代，他便對(duì)劉歆、張衡、王蕃、劉徽等人的工作進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，駁正了他們的錯(cuò)誤.以后他繼續(xù)鉆研，在科學(xué)技術(shù)方面作出極有價(jià)值的貢獻(xiàn).精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位數(shù)的圓周率，便是他其中最杰出的成就之一.在天文歷法方面，他曾將自古代到他生活年代為止所有可以搜羅到的文獻(xiàn)資料，全部整理了一遍，并且通過親自觀測和推算，做了深切的驗(yàn)證.他指出當(dāng)時(shí)所流行的何承天(公元370-447年)編定的歷法有許多嚴(yán)重的錯(cuò)誤.因此他便開始編制另一種新的歷法.
宋大明6年(公元462年)，33歲的祖沖之編好了新的歷法“大明歷”.這是一部最好的歷法，但是卻遭到了當(dāng)時(shí)朝廷中最得勢人物戴法興的反對(duì).許多官員懼怕戴法興的勢力，不敢對(duì)祖沖之新歷作公正的評(píng)定.祖沖之為了堅(jiān)持真理，勇敢地與戴法興展開了辯論，他寫了一篇有名的《駁議》，逐條駁斥了戴法興的無理責(zé)難.這場辯論，實(shí)際上反映了當(dāng)時(shí)科學(xué)發(fā)展過程中科學(xué)和反科學(xué)、進(jìn)步和保守之間的尖銳斗爭.戴法興等人認(rèn)為：歷代流傳下來的東西，都是古制，是不可革的，是“萬世不易”的，他們認(rèn)為天文歷法不是“凡人”可以修改的，他們說：“非沖之淺慮妄可穿鑿”，甚至進(jìn)一步責(zé)罵祖沖之是“誣天背經(jīng)”.祖沖之對(duì)他們提出了尖銳的反駁.他認(rèn)為日月五星的運(yùn)行“非出神怪”，“是有形可檢，有數(shù)可推”，只要進(jìn)行細(xì)心的觀測和推算.孟子早先所說“千年之日至(夏至、冬至)可生而致”的話是完全可以做到的.祖沖之在《駁議》中寫了兩句非常有名的話“愿聞顯據(jù)，以覆理實(shí)”，“浮詞虛貶，竊非所懼”.他希望雙方都拿出真實(shí)的證據(jù)，辨明真正的是非，至于造謠和誹謗，那是他絲毫不怕的.由于種種阻礙，大明歷一直到他死后十年，在梁朝才得以頒行(公元510年).
祖沖之除天文歷法和數(shù)學(xué)之外，對(duì)機(jī)械方面也有研究，他制造過“指南車”和“千里船”，此外，他對(duì)音律也很精通，對(duì)古代的許多書籍進(jìn)行過注釋，他還寫過十卷小說，他真稱得上是一個(gè)多才多藝的科學(xué)家.關(guān)于他在數(shù)學(xué)方面的著作，最著名的要算是《綴術(shù)》，此外還有《九章算術(shù)譯注》、《重差注》等等，但這些也都失傳了.
祖沖之的兒子祖暅也是一位杰出的數(shù)學(xué)家，他繼承了祖沖之在數(shù)學(xué)和天文歷法方面的工作，并進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)光大了他父親的成就.祖沖之的“大明歷”就是經(jīng)過祖暅三次建議之后才被梁朝采用的.關(guān)于球體體積的計(jì)算也是作為祖暅的工作流傳下來的.祖暅終生好學(xué)不倦.傳說他小的時(shí)候，專心讀書，連打雷也不覺得，走路時(shí)思考問題，曾經(jīng)撞到別人身上.
祖沖之父子的名字，不僅在國內(nèi)已是受到稱道，在世界上也受到了應(yīng)有的重視.
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