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高考數(shù)學圓的方程練習題附答案

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  圓的標準方程(x-a)²+(y-b)²=r²中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定。今天,學習啦小編為大家整理了高考數(shù)學圓的方程練習題附答案,歡迎閱讀。

  高考數(shù)學圓的方程練習題

  1.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是________.

  [解析] 設(shè)圓心C(a,b)(a>0,b>0),由題意得b=1.

  又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1,

  解得a=2或a=-(舍).

  所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.

  [答案] (x-2)2+(y-1)2=1

  2.(2014·南京質(zhì)檢)已知點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上,則圓C的圓心坐標為________.

  [解析] 因為點P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點也在圓上,

  該直線過圓心,即圓心滿足方程x+y-1=0,

  因此-+1-1=0,解得a=0,所以圓心坐標為(0,1).

  [答案] (0,1)

  3.已知圓心在直線y=-4x上,且圓與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2),則該圓的方程是________.

  [解析] 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1,-4).

  半徑r=2,所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.

  [答案] (x-1)2+(y+4)2=8

  4.(2014·江蘇常州模擬)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+6y+12=0,則|2x-y|的最小值為________.

  [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令x=2+cos α,

  y=-3+sin α,則|2x-y|=|4+2cos α+3-sin α|

  =|7-sin (α-φ)|≥7-(tan φ=2).

  [答案] 7-

  5.已知圓x2+y2+4x-8y+1=0關(guān)于直線2ax-by+8=0(a>0,b>0)對稱,則+的最小值是________.

  [解析] 由圓的對稱性可得,直線2ax-by+8=0必過圓心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++5≥2+5=9,由=,則a2=4b2,又由a+b=2,故當且僅當a=,b=時取等號.

  [答案] 9

  6.(2014·南京市、鹽城市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中,若圓x2+(y-1)2=4上存在A,B兩點關(guān)于點P(1,2)成中心對稱,則直線AB的方程為________.

  [解析] 由題意得圓心與P點連線垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1,

  而直線AB過P點,所以直線AB的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

  [答案] x+y-3=0

  7.(2014·泰州質(zhì)檢)若a,且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a=________.

  [解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-20)關(guān)于直線x+y+2=0對稱.

  (1)求圓C的方程;

  (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點,求·的最小值.

  [解] (1)設(shè)圓心C(a,b),

  由題意得解得

  則圓C的方程為x2+y2=r2,

  將點P的坐標代入得r2=2,

  故圓C的方程為x2+y2=2.

  (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,

  ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)

  =x2+y2+x+y-4=x+y-2.

  令x=cos θ,y=sin θ,

  ·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2

  =2sin-2,

  所以·的最小值為-4.

  10.已知圓的圓心為坐標原點,且經(jīng)過點(-1,).

  (1)求圓的方程;

  (2)若直線l1:x-y+b=0與此圓有且只有一個公共點,求b的值;

  (3)求直線l2:x-y+2=0被此圓截得的弦長.

  [解] (1)已知圓心為(0,0),半徑r==2,所以圓的方程為x2+y2=4.

  (2)由已知得l1與圓相切,則圓心(0,0)到l1的距離等于半徑2,即=2,解得b=±4.

  (3)l2與圓x2+y2=4相交,圓心(0,0)到l2的距離d==,所截弦長l=2=2=2.

  曲線與方程練習題

  1.(2014·徐州調(diào)研)若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標為2,則k=________.

  [解析] 由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0,由題意得Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0解得k>-1,且x1+x2==4解得k=-1或k=2,故k=2.

  [答案] 2

  2.點P是圓(x-4)2+(y-1)2=4上的動點,O是坐標原點,則線段OP的中點Q的軌跡方程是________.

  [解析] 設(shè)P(x0,y0),Q(x,y),則x=,y=,x0=2x,y0=2y,(x0,y0)是圓上的動點,

  (x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.

  [答案] (x-2)2+2=1

  3.(2014·宿遷質(zhì)檢)設(shè)拋物線的頂點在原點,其焦點F在x軸上,拋物線上的點P(2,k)與點F的距離為3,則拋物線方程為________.

  [解析] xP=2>0,設(shè)拋物線方程為y2=2px,則|PF|=2+=3,=1,p=2.

  [答案] y2=4x

  4.動點P到兩坐標軸的距離之和等于2,則點P的軌跡所圍成的圖形面積是________.

  [解析] 設(shè)P(x,y),則|x|+|y|=2.它的圖形是一個以2為邊長的正方形,故S=(2)2=8.

  [答案] 8

  5.已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.則求動圓圓心的軌跡C的方程為________.

  [解析] 如圖,設(shè)動圓圓心為O1(x,y),由題意,|O1A|=|O1M|,

  當O1不在y軸上時,過O1作O1HMN交MN于H,則H是MN的中點.

  |O1M|=,

  又|O1A|=,

  = ,

  化簡得y2=8x(x≠0).

  當O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標(0,0)

  也滿足方程y2=8x,

  動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.

  [答案] y2=8x

  圖8­8­3

  6.(2014·鹽城調(diào)研)如圖8­8­3所示,已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點A(,0),P是圓上的動點,點Q在直線CP上,且·=0,=2.當點P在圓上運動時,則點Q的軌跡方程為________.

  [解析] 圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-,0),半徑r=2,·=0,=2,MQ⊥AP,點M是線段AP的中點,即MQ是AP的中垂線,連接AQ,則|AQ|=|QP|,

  ||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2,

  又|AC|=2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線,由c=,a=1,得b2=1,因此點Q的軌跡方程為x2-y2=1.

  [答案] x2-y2=1

  7.已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,經(jīng)過點F的直線l交拋物線于A、B兩點,過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)兩切線的交點為M.則點M的軌跡方程為________.

  [解析] 設(shè)M(x,y),A,B,顯然x1≠x2,由x2=4y,得y=x2,y′=x,于是過A、B兩點的切線方程分別為y-=(x-x1),即y=x- ,y-=(x-x2),即y=x- ,由解得 ,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,由,得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4 ,代入得,即M(2k,-1),故點M的軌跡方程是y=-1.

  [答案] y=-1

  8.(2014·江蘇泰州中學期末)若橢圓C1:+=1(a1>b1>0)和C2:+=1(a2>b2>0)是焦點相同且a1>a2的兩個橢圓,有以下幾個命題:C1,C2一定沒有公共點;>;a-a=b-b;a1-a2a2,所以b1>b2,C1,C2一定沒有公共點;因為a1>a2,b1>b2,所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2),因為a1+a2>b1+b2,所以a1-a2b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4,曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C2.

  (1)求橢圓C2的標準方程;

  (2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線M是l上的點(與O不重合).

  若|MO|=2|OA|,當點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;

  若M是l與橢圓C2的交點,求AMB面積的最小值.

  [解] (1)由題意得又a>b>0,解得a2=8,b2=1,因此所求橢圓的標準方程為+y2=1.

  (2)設(shè)M(x,y),A(m,n),則由題設(shè)知||=2||,·=0,

  即解得

  因為點A(m,n)在橢圓C2上,所以+n2=1.

  即+x2=1,亦即+=1,

  所以點M的軌跡方程為+=1.

  設(shè)M(x,y),則A(λy,-λx)(λR,λ≠0),

  因為點A在橢圓C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,

  即y2+8x2=,()

  又x2+8y2=8,()

  (ⅰ)+()得x2+y2=,

  所以SAMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)=·≥.

  當且僅當λ=±1時,(SAMB)min=.


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