2017北海中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
2017北海中考數(shù)學(xué)模擬試題參考答案
一、選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分)
1.﹣5的倒數(shù)是( )
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【考點(diǎn)】17:倒數(shù).
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可直接解答.
【解答】解:﹣5的倒數(shù)是﹣ .
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是倒數(shù)的定義,即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).
2.國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)在《2017年國(guó)務(wù)院政府工作報(bào)告》中提到,2016年新增第四代移動(dòng)通信用戶3.4億,數(shù)據(jù)“3.4億”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.3.4×106 B.3.4×108 C.34×107 D.3.4×109
【考點(diǎn)】1I:科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí),一般形式為a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),n的值取決于原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù),n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí),n是負(fù)數(shù).
【解答】解:3.4億=3.4×108.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù),一般形式為a×10﹣n,其中1≤|a|<10,確定a與n的值是解題的關(guān)鍵.
3.下列各圖中,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5:中心對(duì)稱圖形;P3:軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、是軸對(duì)稱圖形.不是中心對(duì)稱圖形,因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn),旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)正確;
D、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念:軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
4.下列運(yùn)算正確的是( )
A.2a2•a3=2a6 B.(3ab)2=6a2b2
C.2abc+ab=2 D.3a2b+ba2=4a2b
【考點(diǎn)】49:?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式;35:合并同類項(xiàng);47:冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案.
【解答】解:(A)原式=2a5,故A錯(cuò)誤;
(B)原式=9a2b2,故B錯(cuò)誤;
(C)2abc與ab不是同類項(xiàng),故C錯(cuò)誤;
故選(D)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則,本題屬于基礎(chǔ)題型.
5.如圖,直線AB∥CD,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),連接AE,若∠DCB=35°,∠EAB=23°,則∠AEC的度數(shù)是( )
A.58° B.45° C.23° D.60°
【考點(diǎn)】JA:平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C=35°,
∵∠A=23°,
∴∠AEC=∠A+∠B=58°,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的外角的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.深圳市統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2016年《深圳市氣候數(shù)據(jù)每日觀測(cè)記錄》顯示,2016年12月26日=﹣﹣31日這六天的平均相對(duì)濕度(百分?jǐn)?shù))分別是58,50,45,54,64,82,對(duì)于這組數(shù)據(jù),以下說(shuō)法正確的是( )
A.平均數(shù)是59 B.中位數(shù)是56 C.眾數(shù)是82 D.方差是37
【考點(diǎn)】W7:方差;W1:算術(shù)平均數(shù);W4:中位數(shù);W5:眾數(shù).
【分析】分別計(jì)算該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及方差后,選擇正確的答案即可.
【解答】解:A.平均數(shù)=(58+50+45+54+64+82)÷6=58.8;故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.∵6個(gè)數(shù)據(jù)按大小排列后為:45,50,54,58,64,82;
∴中位數(shù)為:(54+58)÷2=56;故此選項(xiàng)正確;
C.無(wú)眾數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D.方差不是整數(shù),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于基礎(chǔ)題,考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學(xué)生往往對(duì)這個(gè)概念掌握不清楚,計(jì)算方法不明確而誤選其它選項(xiàng).注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序,然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù),如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè),則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).
7.中國(guó)CBA籃球常規(guī)賽比賽中,每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分,負(fù)1場(chǎng)得1分,今年某隊(duì)在全部38場(chǎng)比賽中最少得到70分,那么這個(gè)隊(duì)今年勝的場(chǎng)次是( )
A.6場(chǎng) B.31場(chǎng) C.32場(chǎng) D.35場(chǎng)
【考點(diǎn)】8A:一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)勝了x場(chǎng),那么負(fù)了(38﹣x)場(chǎng),根據(jù)“在全部38場(chǎng)比賽中最少得到70分”可列方程并求解.
【解答】解:設(shè)勝了x場(chǎng),由題意得:
2x+(38﹣x)=70,
解得x=32.
答:這個(gè)隊(duì)今年勝的場(chǎng)次是32場(chǎng).
故選C
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意,找到關(guān)鍵描述語(yǔ),找到所求的量的等量關(guān)系.
8.定義一種新運(yùn)算:a♣b=a(a﹣b),例如,4♣3=4×(4﹣3)=4,若x♣2=3,則x的值是( )
A.x=3 B.x=﹣1 C.x1=3,x2=1 D.x1=3,x2=﹣1
【考點(diǎn)】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】先根據(jù)新定義得到x(x﹣2)=3,再把方程化為一般式,然后利用因式分解法解方程.
【解答】解:∵x♣2=3,
∴x(x﹣2)=3,
整理得x2﹣2x﹣3=0,
(x﹣3)(x+1)=0,
x﹣3=0或x+1=0,
所以x1=3,x2=﹣1.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡(jiǎn)便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
9.若方程mx+ny=6的兩個(gè)解是 , ,則m,n的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】92:二元一次方程的解.
【分析】把x與y的兩對(duì)值代入方程求出m與n的值即可.
【解答】解:根據(jù)題意得: ,
?、?②得:3m=12,
解得:m=4,
把m=4代入①得:n=2,
則方程組的解為 ,
故選A
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.
10.如何求tan75°的值?按下列方法作圖可解決問(wèn)題,如圖,在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,在射線BN上截取線段BD,使BD=AB,連接AD,依據(jù)此圖可求得tan75°的值為( )
A.2 B.2+ C.1+ D.
【考點(diǎn)】T7:解直角三角形.
【分析】在直角三角形ABC中,利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出AB的長(zhǎng),再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng),由CB+BD求出CD的長(zhǎng),在直角三角形ACD中,利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,BC= k,
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°,
在Rt△ACD中,CD=CB+BD= k+2k,
則tan75°=tan∠CAD= = =2+ ,
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形,涉及的知識(shí)有:勾股定理,含30度直角三角形的性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
11.如圖,點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心,連接OB,若∠1=37°,則∠2的度數(shù)是( )
A.52° B.51° C.53° D.50°
【考點(diǎn)】MA:三角形的外接圓與外心.
【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理可得出∠BOC的度數(shù),再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【解答】解:連接OC,
∵∠1=37°,
∴∠BOC=2∠1=74°.
∵OB=OC,
∴∠2= =53°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵.
12.如圖,直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,交雙曲線y= (x>0)于點(diǎn)C,若AB:AC=1:3,且S△AOB= ,則k的值為( )
A. B.2 C. D.
【考點(diǎn)】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線,由三角形的相似知識(shí)可以求得△ADC的面積,進(jìn)而求得△ODC的面積,從而可以解答本題.
【解答】解:作CD⊥x軸于點(diǎn)D,
則△AOB∽△ADC,
∴ ,
∵AB:AC=1:3,且S△AOB= ,OD
∴ ,
解得, ,
連接OC,
∵S△AOC+S△COD=S△ADC,AO:OD=AB:BC=1:2,
∴S△OCD= ,
∴k=2× = ,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問(wèn)題需要的條件,利用三角形相似的知識(shí)解答.
二、填空題(本大題共4小題,每小題3分,共12分)
13.分解因式:m3﹣2m2+m= m(m﹣1)2 .
【考點(diǎn)】55:提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式m,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.完全平方公式:a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2.
【解答】解:m3﹣2m2+m=m(m2﹣2m+1)=m(m﹣1)2.
故答案為m(m﹣1)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解,注意分解要徹底.
14.在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,隨機(jī)摸出一個(gè)小球然后放回,再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,則兩次取出的小球標(biāo)號(hào)相同的概率為 .
【考點(diǎn)】X6:列表法與樹狀圖法.
【分析】根據(jù)題意畫出數(shù)形圖,兩次取的小球的標(biāo)號(hào)相同的情況有4種,再計(jì)算概率即可.
【解答】解:如圖:
兩次取的小球的標(biāo)號(hào)相同的情況有4種,
概率為P= = .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
15.如圖所示,每一個(gè)圖形都是由形狀相同的五角星按一定規(guī)律組成的,其中第①個(gè)圖形中一共有9個(gè)五角星,第②個(gè)圖形中一共有17個(gè)五角星,第③個(gè)圖形中一共有25個(gè)五角星,…,按此規(guī)律排列,則第n個(gè)圖形中五角星的顆數(shù)為 8n+1 .
【考點(diǎn)】38:規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形有8個(gè)五角星,第二個(gè)圖形有8+7=15個(gè)五角星,第三個(gè)圖形有8+7×2=22個(gè)五角星,以此類推,得到通項(xiàng)公式代入求解即可.
【解答】解:觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形有9個(gè)五角星,
第二個(gè)圖形有9+8=17個(gè)五角星,
第三個(gè)圖形有9+8×2=25個(gè)五角星,
…
第n個(gè)圖形有9+8(n﹣1)=8n+1個(gè)五角星,
故答案為:8n+1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并發(fā)現(xiàn)圖形變化的通項(xiàng)公式,利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
16.如圖,在邊長(zhǎng)為2 的正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使得CF=CE,連接BE,DF,將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E恰好落在DF上的點(diǎn)H處時(shí),連接AG,DG,BG,則AG的長(zhǎng)是 2 .
【考點(diǎn)】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);LE:正方形的性質(zhì).
【分析】作輔助線,構(gòu)建三角形高線,先利用勾股定理求DF的長(zhǎng),由三角函數(shù)得:FK=1,則CK= =2,
由等腰三角形三線合一得:HF=2,由面積法求得:HM= ,從而得:CM的長(zhǎng),設(shè)HM=4x,CM=3x,則CH=5x,由同角的三角函數(shù)列式:cos∠CGN=cos∠HCF= = ,求出GN的長(zhǎng),依次求PG、AP的長(zhǎng),最后利用勾股定理得結(jié)論.
【解答】解:如圖,過(guò)C作CK⊥DF于K,過(guò)H作HM⊥CF于M,過(guò)G作PN⊥BC,交AD于P,交BC于N,
∵CD=2 ,CE=CF= ,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠BCF=90°,
由勾股定理得:DF= =5,
∵CK⊥DF,DC⊥CF,
∴∠FCK=∠CDF,
sin∠FCK=sin∠CDF= ,
∴ ,
FK=1,
∴CK= =2,
由旋轉(zhuǎn)得:CH=CE=CF,
∵CK⊥FH,
∴HF=KF=1,
∴HF=2,
∴S△CHF= CF•HM= HF•CK,
HM=2×2,
HM= ,
∴CM= = ,
∴tan∠HCF= = = ,
設(shè)HM=4x,CM=3x,則CH=5x,
∵∠HCF=∠GCD=∠CGN,
∴cos∠CGN=cos∠HCF= = ,
∴GN= CG,
∵CG=BC=2 ,
∴GN= × = ,
∴NC= = = ,
∴GP=2 ﹣ = ,
∴AP=BN=BC﹣NC=2 ﹣ = ,
由勾股定理得:AG= = =2;
故答案為:2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì),本題主要運(yùn)用勾股定理和同角的三角函數(shù)求線段的長(zhǎng),同時(shí)還運(yùn)用了面積法求線段的長(zhǎng),本題比較復(fù)雜,有難度.
三、解答題(本大題共7小題,共52分)
17.計(jì)算: cos45°+( )﹣1+ ﹣4sin60°.
【考點(diǎn)】2C:實(shí)數(shù)的運(yùn)算;6F:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;T5:特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí),要從高級(jí)到低級(jí),即先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的,同級(jí)運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.
【解答】解: cos45°+( )﹣1+ ﹣4sin60°
= × +4+2 ﹣4×
=1+4+2 ﹣2
=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,解題時(shí)注意:實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算,又可以進(jìn)行開方運(yùn)算,其中正實(shí)數(shù)可以開平方.
18.先化簡(jiǎn)分式:( )÷ ,再?gòu)牟坏仁浇M 的解集中選出合適的整數(shù)作為a的值,代入求值.
【考點(diǎn)】6D:分式的化簡(jiǎn)求值;CC:一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】首先化簡(jiǎn)分式進(jìn)而解不等式組,再把a(bǔ)的值代入求出答案.
【解答】解:原式=[ ﹣ ]÷
=( ﹣ )•
= ,
∵ 的解集是:﹣1
其整數(shù)解為:0,1,2,由于a≠0,±2,
∴a只能取1,故當(dāng)a=1時(shí),
原式= = = .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及不等式組的解法,正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵.
19.深圳市教育局在全市中小學(xué)開展“四點(diǎn)半活動(dòng)”試點(diǎn)工作,某校為了了解學(xué)生參與“四點(diǎn)半活動(dòng)”項(xiàng)目的情況,對(duì)初中的部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,調(diào)查項(xiàng)目分為“科技創(chuàng)新”類,“體育活動(dòng)”類,“藝術(shù)表演”類,“植物種植”類及“其它”類共五大類別,并根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下面的問(wèn)題.
(1)請(qǐng)求出此次被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù) 200 人;
(2)根據(jù)以上信息,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“體育活動(dòng)”α的圓心角等于 108 度;
(4)如果本校初中部有1800名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)參與“藝術(shù)表演”類項(xiàng)目的學(xué)生大約多少人?
【考點(diǎn)】V8:頻數(shù)(率)分布直方圖;V5:用樣本估計(jì)總體;VB:扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)題意列式即可得到結(jié)果;
(2)根據(jù)題意作出圖形即可;
(3)用360°乘以體育活動(dòng)”所占的百分比即可得到結(jié)論;
(4)根據(jù)題意列式即可即可.
【解答】解:(1)此次被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為22÷11%=200(人);
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示,
(3)體育活動(dòng)”α的圓心角=360°× =108度;
(4)1800× ×100%=360(人),
答:參與“藝術(shù)表演”類項(xiàng)目的學(xué)生大約360人.
故答案為:200,108.
【點(diǎn)評(píng)】題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖:條形統(tǒng)計(jì)圖是用線段長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的矩形直條,然后按順序把這些直條排列起來(lái);從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小,便于比較.也考查了用樣本估計(jì)總體和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
20.如圖,在樓房MN前有兩棵樹與樓房在同一直線上,且垂直于地面,為了測(cè)量樹AB、CD的高度,小明爬到樓房頂部M處,光線恰好可以經(jīng)過(guò)樹CD的頂站C點(diǎn)到達(dá)樹AB的底部B點(diǎn),俯角為45°,此時(shí)小亮測(cè)得太陽(yáng)光線恰好經(jīng)過(guò)樹CD的頂部C點(diǎn)到達(dá)樓房的底部N點(diǎn),與地面的夾角為30°,樹CD的影長(zhǎng)DN為15米,請(qǐng)求出樹AB、CD的高度.(結(jié)果保留根號(hào))
【考點(diǎn)】TA:解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題;U5:平行投影.
【分析】在Rt△CDN中,由于tan30°= ,得到CD=tan30°•DN=5 于是得到BD=CD=5 ,在Rt△ABN中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
【解答】解:在Rt△CDN中,
∵tan30°= ,
∴CD=tan30°•DN=5 ,
∵∠CBD=∠EMB=45°,
∴BD=CD=5 ,
∴BN=DN+BD=15+5 ,
在Rt△ABN中,tan30°= ,
∴AB=tan30°•BN=5+5 ,
∴樹高AB是(5+5 )米,樹高CD是5 米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是借助俯角構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.
21.某科技公司研發(fā)出一款多型號(hào)的智能手表,一家代理商出售該公司的A型智能手表,去年銷售總額為80000元,今年A型智能手表的售價(jià)每只比去年降了600元,若售出的數(shù)量與去年相同,銷售總額將比去年減少25%.
A型智能手表 B型智能手表
進(jìn)價(jià) 1300元/只 1500元/只
售價(jià) 今年的售價(jià) 2300元/只
(1)請(qǐng)問(wèn)今年A型智能手表每只售價(jià)多少元?
(2)今年這家代理商準(zhǔn)備新進(jìn)一批A型智能手表和B型智能手表共100只,它們的進(jìn)貨價(jià)與銷售價(jià)格如右表,若B型智能手表進(jìn)貨量不超過(guò)A型智能手表數(shù)量的3倍,所進(jìn)智能手表可全部售完,請(qǐng)你設(shè)計(jì)出進(jìn)貨方案,使這批智能手表獲利最多,并求出最大利潤(rùn)是多少元?
【考點(diǎn)】FH:一次函數(shù)的應(yīng)用;B7:分式方程的應(yīng)用;CE:一元一次不等式組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)今年A型智能手表每只售價(jià)x元,則去年售價(jià)每只為(x+600)元,由賣出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可;
(2)設(shè)今年新進(jìn)A型a只,則B型(100﹣a)只,獲利y元,由條件表示出W與a之間的關(guān)系式,由a的取值范圍就可以求出W的最大值.
【解答】解:(1)今年A型智能手表每只售價(jià)x元,去年售價(jià)每只為(x+600)元,
根據(jù)題意得, = ,
解得:x=1800,
經(jīng)檢驗(yàn),x=1800是原方程的根,
答:今年A型智能手表每只售價(jià)1800元;
(2)設(shè)新進(jìn)A型手表a只,全部售完利潤(rùn)是W元,則新進(jìn)B型手表(100﹣a)只,
根據(jù)題意得,W=(1800﹣1300)a+92300﹣1500)(100﹣a)=﹣300a+80000,
∵100﹣a≤3a,
∴a≥5,
∵﹣300<0,W隨a的增大而減小,
∴當(dāng)a=25時(shí),W增大=﹣300×25+80000=72500元,
此時(shí),進(jìn)貨方案為新進(jìn)A型手表25只,新進(jìn)B型手表75只,
答:進(jìn)貨方案為新進(jìn)A型手表25只,新進(jìn)B型手表75只,這批智能手表獲利最多,并求出最大利潤(rùn)是72500元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用,分式方程的解法的運(yùn)用、一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用,解答時(shí)由銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
22.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(﹣ ,0),B(3 ,0),以AB為直徑的⊙G交y軸于C、D兩點(diǎn).
(1)填空:請(qǐng)直接寫出⊙G的半徑r、圓心G的坐標(biāo):r= 2 ;G( , 0 );
(2)如圖2,直線y=﹣ x+5與x,y軸分別交于F,E兩點(diǎn),且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)T(2 ,m),求證:直線EF是⊙G的切線.
(3)在(2)的條件下,如圖3,點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括A、T兩點(diǎn)),連接AT、CM、TM,CM交AT于點(diǎn)N.試問(wèn),是否存在一個(gè)常數(shù)k,始終滿足CN•CM=k?如果存在,求出k的值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】MR:圓的綜合題.
【分析】(1)求出直徑AB,即可解決問(wèn)題;
(2)如圖2中,連接GT,過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于H,根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出∠GTH,∠HTF即可解決問(wèn)題;
(3)如圖3中,連接CG、TG、TC.首先證明△GCT是等邊三角形,由△CNT∽△CTM,推出 = ,推出CN•CM=CT2,即可解決問(wèn)題;
【解答】解:(1)∵A(﹣ ,0),B(3 ,0),AB是直徑,
∵AB=4 ,
∴⊙G的半徑為2 ,G( ,0),
故答案為r=2 , ,0.
(2)如圖2中,連接GT,過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于H,
∵直線y=﹣ x+5與x、y軸交于E、F兩點(diǎn),則E(0,5),F(xiàn)(5 ,0),
∵直線y=﹣ x+5經(jīng)過(guò)T(2 ,m),則m=﹣ ×2 +5=3,
∴T(2 ,3),
故TH=3.GH= ,HF=3 ,
在Rt△HGT中,GT=r=2 ,
∴GH= GT,
∴∠GTH=30°,
在Rt△THF中,tan∠FTH= = = ,
∴∠FTH=60°,
∴∠GTF=∠GTH+∠HTF=30°+60°=90°,
∴GT⊥EF,
∴直線EF是⊙G的切線.
(3)如圖3中,連接CG、TG、TC.
在Rt△COG中,OG= ,CG=r=2 ,
∴OC=3,∠CGO=60°.
∵C(0,3),T(2 ,3),
∴CT∥x軸,
∴CT=2 ,即CT=CG=GT=2 ,
∴△CGT是等邊三角形,
∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°,
∴∠CTA= ∠CGA=30°,∠M= ∠CGT=30°,
∴∠CTA=∠M,
在△CNT和△CTM中,
∵∠TCN=∠MTC,∠CTN=∠M,
∴△CNT∽△CTM,
∴ = ,
∴CN•CM=CT2=(2 )2=12.
∴k=CN•CM=12.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.
23.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OA.點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)D,連接PC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F,試問(wèn)△PDF的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,請(qǐng)求出其最大值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),將△CPD沿直線CP翻折,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,試問(wèn),四邊形CDPQ是否成為菱形?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】HF:二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)P(m,﹣ m2+ m+3),△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng),再利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式為:y=﹣ x+3,表示PD=﹣ ,證明△PFD∽△BOC,根據(jù)周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比得: ,代入得:L=﹣ (m﹣2)2+ ,求L的最大值即可;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí),四邊形CDPQ是菱形,根據(jù)翻折的性質(zhì)知:CD=CQ,PQ=PD,∠PCQ=∠PCD,又知Q落在y軸上時(shí),則CQ∥PD,由四邊相等:CD=DP=PQ=QC,得四邊形CDPQ是菱形,表示P(n,﹣ + n+3),則D(n,﹣ n+3),G(0,﹣ ),利用勾股定理表示PD和CD的長(zhǎng)并列式可得結(jié)論.
【解答】解:(1)由OC=3OA,有C(0,3),
將A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中,得:
,
解得: ,
故拋物線的解析式為:y=﹣ + x+3;
(2)如圖2,設(shè)P(m,﹣ m2+ m+3),△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng),
∵直線BC經(jīng)過(guò)B(4,0),C(0,3),
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,
則
解得:
∴直線BC的解析式為:y=﹣ x+3,
則D(m,﹣ ),PD=﹣ ,
∵PE⊥x軸,PE∥OC,
∴∠BDE=∠BCO,
∵∠BDE=∠PDF,
∴∠PDF=∠BCO,
∵∠PFD=∠BOC=90°,
∴△PFD∽△BOC,
∴ ,
由(1)得:OC=3,OB=4,BC=5,
故△BOC的周長(zhǎng)=12,
∴ ,
即L=﹣ (m﹣2)2+ ,
∴當(dāng)m=2時(shí),L最大= ;
(3)存在這樣的Q點(diǎn),使得四邊形CDPQ是菱形,如圖3,
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí),四邊形CDPQ是菱形,
理由是:由軸對(duì)稱的性質(zhì)知:CD=CQ,PQ=PD,∠PCQ=∠PCD,
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí),CQ∥PD,
∴∠PCQ=∠CPD,
∴∠PCD=∠CPD,
∴CD=PD,
∴CD=DP=PQ=QC,
∴四邊形CDPQ是菱形,
過(guò)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G,
設(shè)P(n,﹣ + n+3),則D(n,﹣ n+3),G(0,﹣ ),
在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=[(﹣ n+3)﹣3]2+n2= ,
而|PD|=|(﹣ )﹣(﹣ n+3)|=|﹣ +3n|,
∵PD=CD,
∴﹣ ①,
﹣ ,
解方程①得:n= 或0(不符合條件,舍去),
解方程②得:n= 或0(不符合條件,舍去),
當(dāng)n= 時(shí),P( , ),如圖3,
當(dāng)n= 時(shí),P( ,﹣ ),如圖4,
綜上所述,存在這樣的Q點(diǎn),使得四邊形CDPQ是菱形,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , )或( ,﹣ ).
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)和判定、三角形相似的性質(zhì)和判定,將周長(zhǎng)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,此類問(wèn)題要熟練掌握利用解析式表示線段的長(zhǎng),并利用相似比或勾股定理列方程解決問(wèn)題.
猜你喜歡: