2017赤峰中考數(shù)學(xué)模擬真題(2)
2017赤峰中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.
1.計算5+(﹣2)×3的結(jié)果等于( )
A.﹣11 B.﹣1 C.1 D.11
【考點(diǎn)】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和加法可以解答本題.
【解答】解：5+(﹣2)×3
=5+(﹣6)
=﹣1，
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計算方法.
2.計算 •tan 60°的值等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.
【解答】解：原式= × = ，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
3.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5：中心對稱圖形;P3：軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸;把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做對稱中心.進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確;
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
故選：B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
4.將0.0000026用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.2.6×106 B.0.26×10﹣5 C.2.6×10﹣6 D.2.6×10﹣7
【考點(diǎn)】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的方法可以表示題目中的數(shù)據(jù)，從而可以解答本題.
【解答】解：0.0000026=2.6×10﹣6，
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解答本題的關(guān)鍵是明確科學(xué)記數(shù)法的方法.
5.用5個完全相同的小正方體組合成如圖所示的立體圖形，它的俯視圖為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】U2：簡單組合體的三視圖.
【分析】從上面看：共分3列，從左往右分別有2，1，1個小正方形.據(jù)此可畫出圖形.
【解答】解：如圖所示的立體圖形的俯視圖為 .
故選：B.
【點(diǎn)評】考查簡單組合體的三視圖;用到的知識點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形.
6.計算2 ﹣ 的結(jié)果是( )
A.﹣ B.﹣2 C.﹣4 D.﹣8
【考點(diǎn)】78：二次根式的加減法.
【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)合并同類項的方法即可解答本題.
【解答】解：2 ﹣
=
=﹣2 ，
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查二次根式的減法，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式減法的計算方法.
7.化簡 ﹣ 等于( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考點(diǎn)】6B：分式的加減法.
【分析】原式第二項約分后兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式= + = + = = ，
故選B
【點(diǎn)評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
8.設(shè)ɑ，β是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩個根，則ɑβ的值是( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【考點(diǎn)】AB：根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
【解答】解：根據(jù)題意得αβ=﹣3.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=﹣ ，x1x2= .
9.拋物線y=2x2﹣2 x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù).
【解答】解：拋物線y=2x2﹣2 x+1，顯然拋物線與y軸有一個交點(diǎn)，
令y=0，得到2x2﹣2 x+1=0，
∵△=8﹣8=0，
∴拋物線與x軸有一個交點(diǎn)，
則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是2，
故選C
【點(diǎn)評】此題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線解析式中令一個未知數(shù)為0，求出另一個未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn).
10.如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過點(diǎn)C，若AC=BC= ，則圖中陰影部分的面積是( )
A. B. C. D. +
【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計算.
【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式計算圖中陰影部分的面積.
【解答】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= ，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA= AC=1，
∴S陰影部分=S扇形AOC= = .
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積的計算：圓面積公式：S=πr2，(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.求陰影面積常用的方法：①直接用公式法; ②和差法; ③割補(bǔ)法.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
11.下列命題為假命題的是( )
A.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等
B.面積之比為1：4的兩個相似三角形的周長之比是1：2
C.方程x2﹣x﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根
D.順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形
【考點(diǎn)】O1：命題與定理.
【分析】利用全等三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式及中點(diǎn)四邊形的知識分別判斷后即可確定正確的結(jié)論.
【解答】解：A、有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故錯誤，是假命題;
B、面積之比為1：4的兩個相似三角形的周長之比是1：2，正確，是真命題;
C、方程x2﹣x﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根，正確，是真命題;
D、順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式及中點(diǎn)四邊形的知識，難度不大.
12.如圖，己知點(diǎn)A是雙曲線y= (k>0)上的一個動點(diǎn)，連AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限.隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y= (m<0)上運(yùn)動，則m與k的關(guān)系是( )
A.m=﹣k B.m=﹣ k C.m=﹣2k D.m=﹣3k
【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;KK：等邊三角形的性質(zhì).
【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a， )，連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)A(a， )，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC= AO，
∵AO= ，
∴CO= ，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則可得∠AOD=∠OCD(都是∠COD的余角)，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則tan∠AOD=tan∠OCD，即 =
解得y=﹣ .
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+ ，將y=﹣ 代入得，x2= ，
∴x= ，y=﹣ =﹣ • =﹣ a，
∴m=xy= •(﹣ a)=﹣3k.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.計算(﹣3m3n)2的結(jié)果等于 9m6n2 .
【考點(diǎn)】47：冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方，即可解答.
【解答】解：(﹣3m3n)2=(﹣3)2•(m3)2•n2=9m6n2.
答案為：9m6n2.
【點(diǎn)評】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是熟記冪的乘方和積的乘方.
14.分解因式：ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) .
【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】應(yīng)先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解：ax2﹣ay2，
=a(x2﹣y2)，
=a(x+y)(x﹣y).
故答案為：a(x+y)(x﹣y).
【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要徹底.
15.己知一次函數(shù)y=kx﹣5和y=k′x+3，假設(shè)k>0，k′<0，則這兩個一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在第 一或四 象限.
【考點(diǎn)】FF：兩條直線相交或平行問題;F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合圖形即可得出結(jié)論.
【解答】解：分別作出一次函數(shù)y=kx﹣5和y=k′x+3的圖象，如圖所示.
∵在一次函數(shù)y=kx﹣5中，k>0，﹣5<0，
∴該一次函數(shù)圖象過第一、三、四象限;
∵在一次函數(shù)y=k′x+3中，k′<0，3>0，
∴該一次函數(shù)圖象過第一、二、四象限.
∴這兩個一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)可能在第一或第四象限.
故答案為：一或四.
【點(diǎn)評】本題考查了兩條直線相交或平行問題以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.
16.荊楚學(xué)校為了了解九年級學(xué)生“一分鐘內(nèi)跳繩次數(shù)”的情況，隨機(jī)選取了3名女生和2名男生，則從這5名學(xué)生中，選取2名同時跳繩，恰好選中一男一女的概率是 .
【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與剛好抽到一男一女的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有20種等可能性結(jié)果，其中抽到一男一女的情況有12種，
所以抽到一男一女的概率為P(一男一女)= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
17.如圖，正五邊形的邊長為2，連對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N，則MN= 3﹣ .
【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓.
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換得到AN2=AM•AD，列方程得到MN=3﹣ .
【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴ ，
∴AE2=AM•AD
∴AN2=AM•AD;
∴22=(2﹣MN)(4﹣MN)，
∴MN=3﹣ ;
故答案為：3﹣ .
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
18.如圖.六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，AB是其中一個小長方形對角線，請在大長方形中完成下列畫圖，要求：(1)僅用無刻度直尺;(2)保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖(1)中畫一個45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個角的頂點(diǎn)，且AB為這個角的一邊;
(2)在圖(2)中畫出線段AB的垂直平分線，并簡要說明畫圖的方法(不要求證明) 點(diǎn)M是長方形AFBE是對角線交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線 .
【考點(diǎn)】N4：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖;KG：線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題.
(2)根據(jù)正方形、長方形的性質(zhì)對角線相等且互相平分，即可解決問題.
【解答】解：(1)如圖所示，∠ABC=45°.(AB、AC是小長方形的對角線).
(2)線段AB的垂直平分線如圖所示，
故答案為：點(diǎn)M是長方形AFBE是對角線交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線.
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用設(shè)計、正方形、長方形、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.
三、解答題：本大題共7小題，共66分.
19.解不等式組 .
【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.
【分析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可.
【解答】解：由①得：1﹣2x+2≤5
∴2x≥﹣2
即x≥﹣1
由②得：3x﹣2<2x+1
∴x<3.
∴原不等式組的解集為：﹣1≤x<3.
【點(diǎn)評】解不等式組應(yīng)遵循的原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.
20.某校開展體育活動中，根據(jù)學(xué)校的實際情況，決定主要開設(shè)A：乒乓球;B：籃球;C：跑步;D：跳繩.這四種運(yùn)動項目.為了解學(xué)生喜歡哪一種項目，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖甲、乙所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題：
(1)樣本中喜歡B項目的人數(shù)百分比是 20% ，其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)是 72° ;
(2)把條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)已知該校有1000人，根據(jù)樣本估計全校喜歡乒乓球的人數(shù)是多少?
【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計圖;V5：用樣本估計總體;VB：扇形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)利用1減去A、C、D所占百分比即可得到喜歡B項目的人數(shù)百分比;利用百分比乘以360°可得圓心角的度數(shù);
(2)首先計算出抽取的學(xué)生總數(shù)，再計算出喜歡B項目的人數(shù)，然后再補(bǔ)圖即可;
(3)利用1000乘以樣本中喜歡乒乓球的人數(shù)所占百分比即可.
【解答】解：(1)樣本中喜歡B項目的人數(shù)百分比=1﹣44%﹣8%﹣28%=20%;
其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)=360°×20%=72°;
故答案為20%，72°;
(2)所抽取的學(xué)生數(shù)=88÷44%=200，
所以喜歡B項目的人數(shù)=200×20%=40;
(3)1000×44%=440，所以估計全校喜歡乒乓球的人數(shù)為440人.
【點(diǎn)評】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.
21.(10分)(2015•安順)如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證：直線EF是⊙O的切線;
(2)求cos∠E的值.
【考點(diǎn)】MD：切線的判定;KQ：勾股定理.
【分析】(1)求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可;
(2)根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題.
【解答】(1)證明：如圖，
方法1：連接OD、CD.
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB.
∵AC=BC.
∴D是AB的中點(diǎn).
∵O為CB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF.
∴EF是圓O的切線.
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是圓O的切線.
(2)解：連BG.
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°.
∴CD= =8.
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，
∴BG= = = .
∴CG= = .
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF.
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG= = .
【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.
22.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖，某漁船航行至B處時，側(cè)得一海島位于B處的正北方向20(1+ )海里的C處，為了防止意外，漁船請求A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位子B的北偏西300的方向上，求A，C之間的距離.
【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題.
【分析】作AD⊥BC，設(shè)CD=x，根據(jù)正切的概念用x表示出AD、BD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.
【解答】解：作AD⊥BC，垂足為D，
由題意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，
設(shè)CD=x，
在Rt△ACD中，AD=CD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= = x，
∵BC=20，
∴x+ x=20(1+ )，
解得：x=10，
∴AC=10 ，
答：A、C之間的距離為10 海里.
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
23.(10分)(2016•南寧)在南寧市地鐵1號線某段工程建設(shè)中，甲隊單獨(dú)完成這項工程需要150天，甲隊單獨(dú)施工30天后增加乙隊，兩隊又共同工作了15天，共完成總工程的 .
(1)求乙隊單獨(dú)完成這項工程需要多少天?
(2)為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是 ，甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2)，若兩隊合作40天完成剩余的工程，請寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍?
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;B7：分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)乙隊單獨(dú)完成這項工程需要x天，根據(jù)題意得方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，即可得到a=60m+60，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到 = ，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)乙隊單獨(dú)完成這項工程需要x天，
根據(jù)題意得 ×(30+15)+ ×15= ，
解得：x=450，
經(jīng)檢驗x=450是方程的根，
答：乙隊單獨(dú)完成這項工程需要450天;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，
∴a=60m+60，
∵60>0，
∴a隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=1時， 最大，
∴ = ，
∴ ÷ = 倍，
答：乙隊的最大工作效率是原來的 倍
【點(diǎn)評】此題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用.分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
24.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)D(0，1)，連AB，AC，BD.
(Ⅰ)求證：BD⊥AC;
(Ⅱ)如圖②，將△BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，當(dāng)點(diǎn)D′落在AC上時，求AB′的長;
(Ⅲ)試直接寫出(Ⅱ)中點(diǎn)B′的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】KY：三角形綜合題.
【分析】(Ⅰ)延長BD交AC于M，由SAS證明△AOC≌△BOD，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性質(zhì)得出OF=AE，求出點(diǎn)B(﹣3，0)，得出OB=OA=OB′，證出AE=EB′，由勾股定理得出AC= = ，由三角形的面積求出OF= ，得出AB'=2AE=2OF= 即可;
(Ⅲ)由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣3x+3，得出直線OE的解析式為y=﹣3x，直線AB'的解析式為y= x+3，解方程組 得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)B'(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出答案.
【解答】(Ⅰ)證明：延長BD交AC于M，如圖①所示：
∵點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)D(0，1)，
∴OA=OB=3，OC=OD=1，
在△AOC和△BOD中， ，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OBD+∠ACO=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BD⊥AC;
(Ⅱ)解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如圖②所示：
∵將△BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，∠BOD=90°，
∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，
∴四邊形OFAE是矩形，
∴OF=AE，
∵點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，
∴OB=OA=OB′，
∵OE⊥AB′，
∴AE=EB′，
由勾股定理得：AC= = ，
由三角形的面積得：AC•OF=OA•OC，
∴OF= = = ，
∴AB'=2AE=2OF= ;
(Ⅲ)解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得： ，
解得： ，
∴直線AC的解析式為y=﹣3x+3，
∵OE∥AC，AB'⊥AC，
∴直線OE的解析式為y=﹣3x，直線AB'的解析式為y= x+3，
解方程組 得： ，
即E(﹣ ， )，
設(shè)B'(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得： =﹣ ， ，
解得：a=﹣ ，b= ，
∴B'(﹣ ， ).
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算方法、一次函數(shù)解析式的求法、兩條直線的位置關(guān)系等知識;本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.
25.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖，己知拋物線y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)以(﹣1，0)，B(0，﹣3)，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C.
(1)求這個拋物線的解析式：
(2)若拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)D，且△BCD為等腰三角形(CB≠CD)，試求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是直線BC上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q也在直線BC上，且PQ= ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將(﹣1，0)，B(0，﹣3)代入拋物線的解析式可求得b、c的值;
(2)拋物線的對稱軸為x=1，然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，a)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求得BD、BC、CD的長，然后分為BD=BC和DC=DB兩種情況列方程求解即可;
(3)先求得∠MPN=45°，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得BC的解析式，當(dāng)t<0時點(diǎn)P在線段CB的延長線上，過點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣3t，然后依據(jù)MN=sin45°•MP可表示出MN的長，最后依據(jù)三角形的面積公式可求得S與t的關(guān)系式，同理可求得點(diǎn)P在線段BC上和點(diǎn)P在線段BC的延長線上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式.
【解答】解：(1)將(﹣1，0)，B(0，﹣3)，代入拋物線的解析式得： ，
解得：b=﹣2，c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)拋物線的對稱性為x=﹣ =1，
令y=0得：x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴C(3，0).
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，a).
當(dāng)BD=BC時，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：12+(a+3)2=32+32，解得：x=﹣3+ 或x=﹣3﹣ .
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣3+ )，(1，﹣3﹣ ).
當(dāng)DC=DB時，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：22+a2=12+(a+3)2，解得：a=﹣1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣1).
(3)∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠MPN=45°.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線BC的解析式得： ，解得：k=1，b=﹣3.
∴直線BC的解析式為y=x﹣3.
如圖1所示：當(dāng)t<0時點(diǎn)P在線段CB的延長線上，過點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)=t2﹣3t.
∴MN=sin45°•MP= t2﹣ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×( t2﹣ t)= t2﹣ t.
∴當(dāng)t<0時，S= t2﹣ t.
如圖所示：當(dāng)0
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t.
∴MN=sin45°•MP=﹣ t2+ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×(﹣ t2+ t)=﹣ t2+ t.
∴當(dāng)0
如圖3所示，當(dāng)t>3時，點(diǎn)P在BC的延長線上，過點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為C.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)=t2﹣3t.
∴MN=sin45°•MP= t2﹣ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×( t2﹣ t)= t2﹣ t.
∴當(dāng)t>3時，S= t2﹣ t.
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S= .
【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.
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