2017遼寧丹東中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
2017遼寧丹東中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1.在﹣2，﹣5，5，0這四個數(shù)中，最小的數(shù)是( )
A.﹣2 B.﹣5 C.5 D.0
【考點】有理數(shù)大小比較.
【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0;②負(fù)數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.
【解答】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得
﹣5<﹣2<0<5，
∴在﹣2，﹣5，5，0這四個數(shù)中，最小的數(shù)是﹣5.
故選：B.
2.據(jù)統(tǒng)計2014年我國高新技術(shù)產(chǎn)品出口總額40570億元，將數(shù)據(jù)40570億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.4.0570×109 B.0.40570×1010 C.40.570×1011 D.4.0570×1012
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).本題中40570億，有13位整數(shù)，n=13﹣1=12.
【解答】解：40570億=4057000000000=4.057×1012，
故選D.
3.如圖，直線l1∥l2，CD⊥AB于點D，∠1=50°，則∠BCD的度數(shù)為( )
A.50° B.45° C.40° D.30°
【考點】平行線的性質(zhì).
【分析】先依據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠ABC的度數(shù)，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度數(shù).
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°.
∵CD⊥AB于點D，
∴∠CDB=90°.
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°.
∴∠BCD=40°.
故選：C.
4.不等式組﹣2≤x+1<1的解集，在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組.
【分析】先求出不等式組的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可.
【解答】解：∵由題意可得 ，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x<0，
∴﹣3≤x<0，
在數(shù)軸上表示為：
.
故選：B.
5.過正方體上底面的對角線和下底面一頂點的平面截去一個三棱錐所得到的幾何體如圖所示，它的俯視圖為( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】俯視圖是從上向下看得到的視圖，結(jié)合選項即可作出判斷.
【解答】解：所給圖形的俯視圖是B選項所給的圖形.
故選B.
6.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為( )
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB.
【解答】解：過C點作CD⊥AB，垂足為D.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B.
在Rt△BCD中，tanB= = ，
∴tanB′=tanB= .
故選B.
7.下表是某校合唱團(tuán)成員的年齡分布
年齡/歲 13 14 15 16
頻數(shù) 5 15 x 10﹣x
對于不同的x，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是( )
A.平均數(shù)、中位數(shù) B.眾數(shù)、中位數(shù)
C.平均數(shù)、方差 D.中位數(shù)、方差
【考點】統(tǒng)計量的選擇;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.
【解答】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10﹣x=10，
則總?cè)藬?shù)為：5+15+10=30，
故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為： =14歲，
即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，
故選：B.
8.已知一個函數(shù)圖象經(jīng)過(1，﹣4)，(2，﹣2)兩點，在自變量x的某個取值范圍內(nèi)，都有函數(shù)值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數(shù)可能是( )
A.正比例函數(shù) B.一次函數(shù) C.反比例函數(shù) D.二次函數(shù)
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì);一次函數(shù)的性質(zhì);正比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
由題意得， ，
解得， ，
∵k>0，
∴y隨x的增大而增大，
∴A、B錯誤，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y= ，
由題意得，k=﹣4，
k<0，
∴在每個象限，y隨x的增大而增大，
∴C錯誤，
當(dāng)拋物線開口向上，x>1時，y隨x的增大而減小.
故選：D.
9.某工廠二月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長了x%，三月份的產(chǎn)值又比二月份的產(chǎn)值增長了x%，則三月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長了( )
A.2x% B.1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x%
【考點】列代數(shù)式.
【分析】直接利用已知表示出三月份的產(chǎn)值，進(jìn)而表示出增長率，即可得出答案.
【解答】解：設(shè)一月份的產(chǎn)值為a，則二月份的產(chǎn)值為：a(1+x%)，
故三月份的產(chǎn)值為：a(1+x%)2，
則三月份的產(chǎn)值比一月份的產(chǎn)值增長了 ﹣1=(2+x%)x%.
故選：D.
10.如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b(a>b).在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE.則EF等于( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的知識，可得出EF的長度.
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴ = ， = ， = ， = ，
∵AB=AC，
∴CD=CE，
解得：CD=CE= ，DE= ，EF= .
故選C.
二、填空題(每小題5分，共20分)
11.分解因式：m3n﹣4mn= mn(m﹣2)(m+2) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可.
【解答】解：m3n﹣4mn
=mn(m2﹣4)
=mn(m﹣2)(m+2).
故答案為：mn(m﹣2)(m+2).
12.若函數(shù)y= 與y=x﹣2圖象的一個交點坐標(biāo)(a，b)，則 ﹣ 的值為 ﹣2 .
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得b= ，b=a﹣2，進(jìn)而得出ab=1，b﹣a=﹣2，即可求得 ﹣ = = =﹣2.
【解答】解：∵函數(shù)y= 與y=x﹣2圖象的一個交點坐標(biāo)(a，b)，
∴b= ，b=a﹣2，
∴ab=1，b﹣a=﹣2，
∴ ﹣ = = =﹣2
故答案為﹣2.
13.一組數(shù)：2，1，3，x，7，y，23，…，滿足“從第三個數(shù)起，前兩個數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b”，例如這組數(shù)中的第三個數(shù)“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為 ﹣9 .
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】根據(jù)“從第三個數(shù)起，前兩個數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，進(jìn)一步利用此規(guī)定求得y即可.
【解答】解：
解法一：常規(guī)解法
∵從第三個數(shù)起，前兩個數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b
∴2×3﹣x=7
∴x=﹣1
則2×(﹣1)﹣7=y
解得y=﹣9.
解法二：技巧型
∵從第三個數(shù)起，前兩個數(shù)依次為a、b，緊隨其后的數(shù)就是2a﹣b
∴7×2﹣y=23
∴y=﹣9
故答案為：﹣9.
14.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：
①四邊形CFHE是菱形;②線段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
?、跡C平分∠DCH;④當(dāng)點H與點A重合時，EF=2
以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有?、佗冖堋?(填序號)
【考點】翻折變換(折疊問題);菱形的判定;矩形的性質(zhì).
【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確;
?、邳cH與點A重合時，設(shè)BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出②正確;
③根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出③錯誤;
④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確.
【解答】解：①∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
由翻折的性質(zhì)得，CF=FH，
∴四邊形CFHE是菱形，
故①正確;
?、邳cH與點A重合時，設(shè)BF=x，則AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=(8﹣x)2，
解得x=3，
點G與點D重合時，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，
故②正確;
③∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，
故③錯誤;
過點F作FM⊥AD于M，
則ME=(8﹣3)﹣3=2，
由勾股定理得，
EF= =2 ，
故④正確.
綜上所述，結(jié)論正確的有①②④.
故答案為：①②④.
三、解答題(本大題共2小題，每小題8分，共16分)
15.計算：﹣22﹣ +2cos45°+|1﹣ |
【考點】實數(shù)的運算;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】原式利用乘方的意義，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=﹣4﹣2 +2× + ﹣1=﹣5.
16.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(2，0)和(0，﹣4)，根據(jù)圖象求 的值.
【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.
【分析】先根據(jù)題意得出一次函數(shù)的解析式，求出k、b的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可.
【解答】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(2，0)和(0，﹣4)，
∴ ，解得 .
∵k2﹣2kb+b2=(k﹣b)2=(2+4)2=36，
∴ = =6.
四、解答題(本大題共2小題，每小題8分，共16分)
17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(﹣4，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，3).
(1)請按下列要求畫圖：
①將△ABC先向右平移4個單位長度、再向上平移2個單位長度，得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1;
?、凇鰽2B2C2與△ABC關(guān)于原點O成中心對稱，畫出△A2B2C2.
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點M成中心對稱，請直接寫出對稱中心M點的坐標(biāo).
【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;作圖﹣平移變換.
【分析】(1)①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C平移后的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可;
②根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出A、B、C關(guān)于原點O的中心對稱點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可;
(2)連接B1B2，C1C2，交點就是對稱中心M.
【解答】解：(1)①△A1B1C1如圖所示;
?、凇鰽2B2C2如圖所示;
(2)連接B1B2，C1C2，得到對稱中心M的坐標(biāo)為(2，1).
18.有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子中裝有3張卡片，卡片上分別寫著3cm、7cm、9cm;乙盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫著2cm、4cm、6cm、8cm;盒子外有一張寫著5cm的卡片.所有卡片的形狀、大小都完全相同.現(xiàn)隨機(jī)從甲、乙兩個盒子中各取出一張卡片，與盒子外的卡片放在一起，用卡片上標(biāo)明的數(shù)量分別作為一條線段的長度.
(1)請用樹狀圖或列表的方法求這三條線段能組成三角形的概率;
(2)求這三條線段能組成直角三角形的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;勾股定理的逆定理.
【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這三條線段能組成三角形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先由樹狀圖求得這三條線段能組成直角三角形的情況，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：(1)畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，這三條線段能組成三角形的有7種情況，
∴這三條線段能組成三角形的概率為： ;
(2)∵這三條線段能組成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm;
∴這三條線段能組成直角三角形的概率為： .
五、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)
19.已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長AP為26米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角為76°.求：
(1)坡頂A到地面PQ的距離;
(2)古塔BC的高度(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題;解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題.
【分析】(1)過點A作AH⊥PQ，垂足為點H，利用斜坡AP的坡度為1：2.4，得出AH，PH，AP的關(guān)系求出即可;
(2)利用矩形性質(zhì)求出設(shè)BC=x，則x+10=24+DH，再利用tan76°= ，求出即可.
【解答】解：(1)過點A作AH⊥PQ，垂足為點H.
∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴ = ，
設(shè)AH=5km，則PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km.
∴13k=26m. 解得k=2.
∴AH=10m.
答：坡頂A到地面PQ的距離為10m.
(2)延長BC交PQ于點D.
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ.
∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH.
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD.
設(shè)BC=x，則x+10=24+DH.∴AC=DH=x﹣14.
在Rt△ABC中，tan76°= ，即 ≈4.0，
解得x= ，即x≈19，
答：古塔BC的高度約為19米.
20.如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 .
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
【考點】切線的判定;扇形面積的計算.
【分析】(1)連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案.
【解答】(1)證明：連接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B= ∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線;
(2)解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE= BD= ，
∵sin∠COD= ，
∴OD=2，
在Rt△ACO中，tan∠COA= ，
∴AC=2 ，
∴S陰影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ .
六、解答題(本題滿分12分)
21.如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”.
(1)證明：AB•CD=PB•PD.
(2)如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結(jié)論成立嗎?請說明理由.
(3)已知拋物線與x軸交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(0，﹣3)，頂點為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點，使得∠QAP=90°，求Q點坐標(biāo).
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得證;
(2)與(1)的證明思路相同;
(3)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線解析式求出點P的坐標(biāo)，再過點P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據(jù)(2)的結(jié)論求出OD的長，從而得到點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點Q的坐標(biāo).
【解答】(1)證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=PB•PD;
(2)AB•CD=PB•PD仍然成立.
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=PB•PD;
(3)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵拋物線與x軸交于點A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(0，﹣3)，
∴ ，
解得 ，
所以，y=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴頂點P的坐標(biāo)為(1，﹣4)，
過點P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，
則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根據(jù)(2)的結(jié)論，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD= ，
∴點D的坐標(biāo)為(0， )，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0)，
則 ，
解得 ，
所以，y= x+ ，
聯(lián)立 ，
解得 ， (為點A坐標(biāo)，舍去)，
所以，點Q的坐標(biāo)為( ， ).
七、解答題(本題滿分12分)
22.某網(wǎng)店打出促銷廣告：最潮新款服裝50件，每件售價300元，若一次性購買不超過10件時，售價不變;若一次性購買超過10件時，每多買1件，所買的每件服裝的售價均降低2元.已知該服裝成本是每件200元，設(shè)顧客一次性購買服裝x件時，該網(wǎng)店從中獲利y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;
(2)顧客一次性購買多少件時，該網(wǎng)店從中獲利最多?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可得出銷量乘以每臺利潤進(jìn)而得出總利潤，進(jìn)而得出答案;
(2)根據(jù)銷量乘以每臺利潤進(jìn)而得出總利潤，即可求出即可.
【解答】解：(1)y= ;
(2)在0≤x≤10時，y=100x，當(dāng)x=10時，y有最大值1000;
在10
當(dāng)x=30時，y取得最大值=1400，
∴顧客一次購買30件時，該網(wǎng)站從中獲利最多.
八、解答題(本題滿分14分)
23.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A(﹣2，0)，點B(0，2)，點E，點F分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α.
(Ⅰ)如圖①，當(dāng)α=90°時，求AE′，BF′的長;
(Ⅱ)如圖②，當(dāng)α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)果即可).
【考點】幾何變換綜合題;三角形的外角性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】(1)利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長.
(2)運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題.
(3)首先找到使點P的縱坐標(biāo)最大時點P的位置(點P與點D′重合時)，然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標(biāo)的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)α=90°時，點E′與點F重合，如圖①.
∵點A(﹣2，0)點B(0，2)，
∴OA=OB=2.
∵點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中，
AE′= .
在Rt△BOF′中，
BF′= .
∴AE′，BF′的長都等于 .
(Ⅱ)當(dāng)α=135°時，如圖②.
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點P、B、A、O四點共圓，
∴當(dāng)點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大.
∵OE′=1，∴點E′在以點O為圓心，1為半徑的圓O上運動，
∴當(dāng)AP與⊙O相切時，∠E′AO(即∠PAO)最大，
此時∠AE′O=90°，點D′與點P重合，點P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大.
過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示.
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′= .
∴AP= +1.
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH= AP= .
∴點P的縱坐標(biāo)的最大值為 .
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