2017內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題(2)
【解答】解：原式=1﹣ ﹣3+2×
=1﹣ ﹣3+
=﹣2.
20.先化簡，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面的通分相減，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，化簡后代入x的值即可求解.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•
= •
= ，
當(dāng)x= ﹣2時(shí)，
原式= = =2 .
21.解不等式組： ，并把解集在數(shù)軸上表示出來.
【考點(diǎn)】解一元一次不等式;在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式的解集.
【解答】解：由①得x≥4，
由②得x<1，
∴原不等式組無解，
22.國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動，為了解足球知識的普及情況，隨機(jī)抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
獲獎等次 頻數(shù) 頻率
一等獎 10 0.05
二等獎 20 0.10
三等獎 30 b
優(yōu)勝獎 a 0.30
鼓勵獎 80 0.40
請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
(1)a= 60 ，b= 0.15 ，且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來描述獲獎分布情況，問獲得優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎，若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽，請用樹狀圖或列表的方法，計(jì)算恰好選中甲、乙二人的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;頻數(shù)(率)分布表;頻數(shù)(率)分布直方圖;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)公式頻率=頻數(shù)÷樣本總數(shù)，求得樣本總數(shù)，再根據(jù)公式得出a，b的值即可;
(2)根據(jù)公式優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)=優(yōu)勝獎的頻率×360°計(jì)算即可;
(3)畫樹狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可.
【解答】解：(1)樣本總數(shù)為10÷0.05=200人，
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案為200，0.15;
(2)優(yōu)勝獎所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;
(3)列表：甲乙丙丁分別用ABCD表示，
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中A、B的有2種，
畫樹狀圖如下：
∴P(選中A、B)= = .
23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的邊AB垂直與x軸，垂足為點(diǎn)B，反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB相交于點(diǎn)D，OB=4，AD=3，
(1)求反比例函數(shù)y= 的解析式;
(2)求cos∠OAB的值;
(3)求經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，m)(m>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3+m)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)C、D點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論;
(2)由m的值，可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可得出線段OB、AB的長度，通過解直角三角形即可得出結(jié)論;
(3)由m的值，可找出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)出過點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，m)(m>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3+m)，
∵點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2， ).
∵點(diǎn)C、點(diǎn)D均在反比例函數(shù)y= 的函數(shù)圖象上，
∴ ，解得： .
∴反比例函數(shù)的解析式為y= .
(2)∵m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，4)，
∴OB=4，AB=4.
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA= =4 ，cos∠OAB= = = .
(3))∵m=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1).
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，
則有 ，解得： .
∴經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=﹣ x+3.
24.如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F.
(1)求證：△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2，∠BAC=45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長.
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可;
(2)根據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD﹣DF求出BF的長即可.
【解答】解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB(SAS);
(2)∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由(1)得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=2 ，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2.
25.“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò)，騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛，各種品牌的山地自行車相繼投放市場.順風(fēng)車行經(jīng)營的A型車2015年6月份銷售總額為3.2萬元，今年經(jīng)過改造升級后A型車每輛銷售價(jià)比去年增加400元，若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同，則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%.
(1)求今年6月份A型車每輛銷售價(jià)多少元(用列方程的方法解答);
(2)該車行計(jì)劃7月份新進(jìn)一批A型車和B型車共50輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多?
A、B兩種型號車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表：
A型車 B型車
進(jìn)貨價(jià)格(元/輛) 1100 1400
銷售價(jià)格(元/輛) 今年的銷售價(jià)格 2400
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛(x+400)元，列出方程即可解決問題.
(2)設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車(50﹣m)輛，獲得的總利潤為y元，先求出m的范圍，構(gòu)建一次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.
【解答】解：(1)設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛(x+400)元，
根據(jù)題意得 ，
解之得x=1600，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是方程的解.
答：今年A型車每輛2000元.
(2)設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車(50﹣m)輛，獲得的總利潤為y元，
根據(jù)題意得50﹣m≤2m
解之得m≥ ，
∵y=m+(50﹣m)=﹣100m+50000，
∴y隨m 的增大而減小，
∴當(dāng)m=17時(shí)，可以獲得最大利潤.
答：進(jìn)貨方案是A型車17輛，B型車33輛.
26.已知點(diǎn)P(x0，y0)和直線y=kx+b，則點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離證明可用公式d= 計(jì)算.
例如：求點(diǎn)P(﹣1，2)到直線y=3x+7的距離.
解：因?yàn)橹本€y=3x+7，其中k=3，b=7.
所以點(diǎn)P(﹣1，2)到直線y=3x+7的距離為：d= = = = .
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
(1)求點(diǎn)P(1，﹣1)到直線y=x﹣1的距離;
(2)已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為(0，5)，半徑r為2，判斷⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行，求這兩條直線之間的距離.
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離公式直接計(jì)算即可;
(2)先利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓心Q到直線y= x+9，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷⊙Q與直線y= x+9相切;
(3)利用兩平行線間的距離定義，在直線y=﹣2x+4上任意取一點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)點(diǎn)到直線y=﹣2x﹣6的距離即可.
【解答】解：(1)因?yàn)橹本€y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，
所以點(diǎn)P(1，﹣1)到直線y=x﹣1的距離為：d= = = = ;
(2)⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系為相切.
理由如下：
圓心Q(0，5)到直線y= x+9的距離為：d= = =2，
而⊙O的半徑r為2，即d=r，
所以⊙Q與直線y= x+9相切;
(3)當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2x+4=4，即點(diǎn)(0，4)在直線y=﹣2x+4，
因?yàn)辄c(diǎn)(0，4)到直線y=﹣2x﹣6的距離為：d= = =2 ，
因?yàn)橹本€y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行，
所以這兩條直線之間的距離為2 .
27.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C方向以 cm/s的速度運(yùn)動到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°(點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè)).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x(s)，△PQM與△ADC重疊部分的面積為y(cm2)
(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，x= 4 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，x= ;
(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.
【考點(diǎn)】三角形綜合題.
【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，由此即可解決問題.
(2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得 = = ，由此即可解決問題.
(3)分三種情形①當(dāng)0
【解答】解：(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，AP=CP=4 ，所以x= =4.
故答案為4.
(2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E.
∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴ = = ，∵AC=8 ，
∴PA= ，
∴x= ÷ = .
故答案為 .
(3)①當(dāng)0
∵AP= x，
∴EF=PE=x，
∴y=S△PEF= •PE•EF= x2.
?、诋?dāng)4
∵PQ=PC=8 ﹣ x，
∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，
∴y=S△PMQ﹣S△MEG= (8 ﹣ x)2﹣ (16﹣3x)2=﹣ x2+32x﹣64.
?、郛?dāng)
∴y=S△PMQ= PQ2= (8 ﹣ x)2=x2﹣16x+64.
綜上所述y= .
28.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.
(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動過程中所用時(shí)間最少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的解析式，接著求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式確定a的值;
(2)由于沒有明確說明相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，因此需要分情況討論：①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;
(3)作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可.
【解答】解：(1)∵y=a(x+3)(x﹣1)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1，0)，
∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過點(diǎn)A，
∴b=﹣3 ，
∴y=﹣ x﹣3 ，
當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣5 ，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，﹣5 )，
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ，
解得，a=﹣ ，
則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;
(2)如圖1中，作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)(m，n)，
當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣a(m﹣1)，
∴ 解得m=﹣4或1(舍棄)，
當(dāng)m=﹣4時(shí)，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴ = ，
∴AB2=AC•PB，
∴42= ，
解得a=﹣ 或 (舍棄)，
則n=5a=﹣ ，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣4，﹣ ).
當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，
∴n=﹣3a(m﹣1)，
∴ ，
解得m=﹣6或1(舍棄)，
當(dāng)m=﹣6時(shí)，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=BC•PB，
∴42= • ，
解得a=﹣ 或 (不合題意舍棄)，
則點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣6，﹣3 )，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(﹣4，﹣ )和(﹣6，﹣3 ).
(3)如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，
則tan∠DAN= = = ，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE= = EF，
∴Q的運(yùn)動時(shí)間t= + =BE+EF，
∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，
則BE⊥DM，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)(1，﹣4 ).
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