2017年赤峰數(shù)學(xué)中考練習(xí)真題(2)
∴CH=a，DH= a，
在Rt△DFH中，DF= = =2 a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG= a，GE= a，
在Rt△BEG中，BE= = = a，
∴ •AP•BE= •DF•AQ，
∴ = = ，
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用面積法求線段的長(zhǎng)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.
三、解答題：(本大題共7題，第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分)
19.計(jì)算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+ .
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行代入，然后再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算絕對(duì)值，然后合并同類二次根式即可.
【解答】解：原式=2× ﹣| 1|+ ，
= +1+ ，
=﹣2 ﹣3.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
20.將拋物線y=x2﹣4x+4沿y軸向下平移9個(gè)單位，所得新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.求：(1)點(diǎn)B、C、D坐標(biāo);(2)△BCD的面積.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】(1)首先求得拋物線y=x2﹣4x+4沿y軸向下平移9個(gè)單位后解析式，利用配方法求得D的坐標(biāo)，令y=0求得C的橫坐標(biāo)，令y=0，解方程求得B的橫坐標(biāo);
(2)過(guò)D作DA⊥y軸于點(diǎn)A，然后根據(jù)S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解.
【解答】解：(1)拋物線y=x2﹣4x+4沿y軸向下平移9個(gè)單位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5.
y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9，
則D的坐標(biāo)是(2，﹣9).
在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，則y=﹣5，
則C的坐標(biāo)是(0，﹣5)，
令y=0，則x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
則B的坐標(biāo)是(5，0);
(2)過(guò)D作DA⊥y軸于點(diǎn)A.
則S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC= (2+5)×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)的求法，正確求得拋物線y=x2﹣4x+4沿y軸向下平移9個(gè)單位后解析式是關(guān)鍵.
21.，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，過(guò)點(diǎn)DE∥AB，分別交AC、BC于F、E，設(shè) = ， = .求：
(1)向量 (用向量 、 表示);
(2)tanB的值.
【考點(diǎn)】*平面向量;梯形;解直角三角形.
【分析】(1)首先證明四邊形ABED是平行四邊形，推出DE=AB，推出 = = ， = = ， = + .
(2)由△DFC∽△BAC，推出 = = ，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根據(jù)AC= = =2 ，由tanB= ，即可解決問(wèn)題.
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴AF=CF，
∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴DE=AB，
∴ = = ， = = ，
∴ = + .
(2)∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴ = = ，
∵CD=AD=3，∴BC=6，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，
∴AC= = =2 ，
∴tanB= = = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
22.，一艘海輪位于小島C的南偏東60°方向，距離小島120海里的A處，該海輪從A處正北方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島C北偏東45°方向的B處.
(1)求該海輪從A處到B處的航行過(guò)程中與小島C之間的最短距離(記過(guò)保留根號(hào));
(2)如果該海輪以每小時(shí)20海里的速度從B處沿BC方向行駛，求它從B處到達(dá)小島C的航行時(shí)間(結(jié)果精確到0.1小時(shí)).(參考數(shù)據(jù)： =1.41， =1.73)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.
【分析】(1)首先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，構(gòu)建直角△ACD，通過(guò)解該直角三角形得到CD的長(zhǎng)度即可;
(2)通過(guò)解直角△BCD來(lái)求BC的長(zhǎng)度.
【解答】解：(1)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
由題意，得∠ACD=30°.
在直角△ACD中，∠ADC=90°，
∴cos∠ACD= ，
∴CD=AC•cos30°=120× =60 (海里);
(2)在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，
∴cos∠BCD= ，
∴BC= = =60 ≈60×2.44=146.4(海里)，
∴146.4÷20=7.32≈7.3(小時(shí)).
答：(1)求該海輪從A處到B處的航行過(guò)程中與小島C之間的最短距離是60 海里;
(2)如果該海輪以每小時(shí)20海里的速度從B處沿BC方向行駛，求它從B處到達(dá)小島C的航行時(shí)間約為7.3小時(shí).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問(wèn)題.此題難度適中，注意將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
23.，已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠DAB=∠B，點(diǎn)E在邊AC上，滿足AE•CD=AD•CE.
(1)求證：DE∥AB;
(2)如果點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，聯(lián)結(jié)AF.求證：DF=AF.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)已知條件得到 ，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代換即可得到結(jié)論;
(2)由BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，得到BD2=DF•AB，等量代換得到AD2=DF•AB，推出 = ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = =1，于是得到結(jié)論.
【解答】證明：(1)∵AE•CD=AD•CE，
∴ ，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴ ，
∴DE∥AB;
(2)∵BD是DF和AB的比例中項(xiàng)，
∴BD2=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD2=DF•AB，
∴ = ，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴ = =1，
∴DF=AF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
24.，已知拋物線y=﹣x2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，直線AC和BD交于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)聯(lián)結(jié)CD、BC，求∠DBC余切值;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段CA延長(zhǎng)線，如果△EBM和△ABC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DCB=90°，根據(jù)余切的定義計(jì)算即可;
(3)運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CA的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，3x+3)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠BME，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=BC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.
【解答】解：(1)∵已知拋物線y=﹣x2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(0，3)，
∵OB=OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(3，0)，
∴﹣9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4);
(2)1，作DH⊥y軸于H，
則CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC= = =3;
(3)﹣x2+2x+3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣1，0)，
∴ = ，又 = ，
∴ = ，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
設(shè)直線CA的解析式為：y=kx+b，
則 ，
解得， ，
則直線CA的解析式為：y=3x+3，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，3x+3)，
則(x﹣3)2+(3x+3)2=18，
解得，x1=0(舍去)，x2=﹣ ，
x2=﹣ 時(shí)，y=﹣ ，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ ，﹣ ).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵.
25.，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上的點(diǎn)，且QE=2DQ，連接BQ并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)P.設(shè)BD=x，AP=y.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)當(dāng)△PQE是等腰三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng);
(3)連接CQ，當(dāng)∠CQB和∠CBD互補(bǔ)時(shí)，求x的值.
【考點(diǎn)】三角形綜合題;等腰梯形的性質(zhì);平行線分線段成比例;相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BP于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，進(jìn)而根據(jù)DF∥AC，求得y= ，定義域?yàn)椋?
(2)當(dāng)△PEQ為等腰三角形時(shí)，△PBC也為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)PB=BC時(shí)，②當(dāng)PC=BC=2時(shí)，③當(dāng)PC=PB時(shí)，分別求得BD的長(zhǎng)即可;
(3)先根據(jù)已知條件判定四邊形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出 = ，即2DQ2=x2，再根據(jù)DE∥BC，得出 = ，即 = ，求得x的值即可.
【解答】解：(1)所示，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BP于F，則
根據(jù)QE=2DQ，可得
= = ，
又∵DE∥BC，
∴ = =1，
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，
∵DF∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴y= ，定義域?yàn)椋?
(2)∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴當(dāng)△PEQ為等腰三角形時(shí)，△PBC也為等腰三角形，
?、佼?dāng)PB=BC時(shí)，△ABC∽△BPC，
∴BC2=CP•AC，即4=3(3﹣y)，
解得y= ，
∴ = ，
解得x= =BD;
?、诋?dāng)PC=BC=2時(shí)，AP=y=1，
∴ =1，
解得x= =BD;
③當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不合題意;
(3)∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互補(bǔ)，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四邊形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴ = ，即2DQ2=x2，
∴DQ= ，DE= ，
∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得x= .
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解.在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.
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