2017年濟(jì)南數(shù)學(xué)中考模擬真題及答案(2)
【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.
16.，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為 2 ﹣2 .
【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì);KI：等腰三角形的判定;KK：等邊三角形的性質(zhì).
【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PC為底.③若以邊PB為底.分別求出PD的最小值，即可判斷.
【解答】解：①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上(在菱形的邊及其內(nèi)部)的點(diǎn)滿足題意，此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短“，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PD值最小，為2;
②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點(diǎn)，則弧AC(除點(diǎn)C外)上的所有點(diǎn)都滿足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，PD最小，最小值為2√3﹣2;
?、廴粢赃匬B為底，∠PCB為頂角，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在;
綜上所述，PD的最小值為2 ﹣2.
【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17.(10分)(2017•呼和浩特一模)計(jì)算、求值：
(1)計(jì)算：| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1);
(2)已知單項(xiàng)式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項(xiàng)，求m，n的值.
【考點(diǎn)】79：二次根式的混合運(yùn)算;34：同類項(xiàng);6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】(1)利用絕對值的定義結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案;
(2)直接利用同類項(xiàng)的定義分析得出答案.
【解答】解：(1)| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1)
=2﹣ +2﹣(5﹣1)
=﹣ ;
(2)∵單項(xiàng)式2xm﹣1yn+3與﹣xny2m是同類項(xiàng)，
∴ ，
解得： .
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算以及同類項(xiàng)定義，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.
18.，DE是△ABC的中位線，過點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長線于點(diǎn)F
(1)求證：EF=DE;
(2)若AC=BC，判斷四邊形ADCF的形狀.
【考點(diǎn)】LC：矩形的判定;KD：全等三角形的判定與性質(zhì);KX：三角形中位線定理.
【分析】(1)首先根據(jù)三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據(jù)CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據(jù)AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出EF=DE;
(2)首先證得四邊形ADCF是平行四邊形、四邊形DBCF也為平行四邊形，從而得到BC=DF，然后根據(jù)AC=BC得到AC=DE，從而得到四邊形ADCF是矩形.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位線，
∴E為AC中點(diǎn)，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴DE=FE.
(2)解：四邊形ADCF是矩形.
∵DE=FE，AE=AC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四邊形ADCF是正方形.
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理的知識，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，難度不大.
19.(10分)(2017•呼和浩特一模)為了解“足球進(jìn)校園”活動(dòng)開展情況，某中學(xué)利用體育課進(jìn)行了定點(diǎn)射門測試，每人射門5次，所有班級測試結(jié)束后，隨機(jī)抽取了某班學(xué)生的射門情況作為樣本，對進(jìn)球的人數(shù)進(jìn)行整理后，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，該班女生有22人，女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3.
女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)表
進(jìn)球數(shù)(個(gè)) 人數(shù)
0 1
1 2
2 x
3 y
4 4
5 2
(1)求這個(gè)班級的男生人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中進(jìn)2個(gè)球的扇形的圓心角度數(shù);
(2)寫出女生進(jìn)球個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)表中x，y的值;
(3)若該校共有學(xué)生1880人，請你估計(jì)全校進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的學(xué)生大約多少人?
【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計(jì)圖;V5：用樣本估計(jì)總體;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖;W4：中位數(shù);W5：眾數(shù).
【分析】(1)根據(jù)進(jìn)球數(shù)為3個(gè)的人數(shù)除以占的百分比求出男生總?cè)藬?shù)即可;求出進(jìn)球數(shù)為4個(gè)的人數(shù)，以及進(jìn)球數(shù)為2個(gè)的圓心角度數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可;
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，由于女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3，于是得到結(jié)論;
(3)求出進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的百分比，乘以1880即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)這個(gè)班級的男生人數(shù)為6÷24%=25(人)，
則這個(gè)班級的男生人數(shù)為25人;男生進(jìn)球數(shù)為4個(gè)的人數(shù)為25﹣(1+2+5+6+4)=7(人)，進(jìn)2個(gè)球的扇形圓心角度數(shù)為360°× =72°;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，所示：
(2)由題意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，
∵n女生進(jìn)球個(gè)數(shù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3，
∴x=7，y=6;
(3)根據(jù)題意得：47個(gè)學(xué)生中女生進(jìn)球個(gè)數(shù)為6+4+2=12;男生進(jìn)球數(shù)為6+7+4=17，
∴1880× =1160(人)，
則全校進(jìn)球數(shù)不低于3個(gè)的學(xué)生大約有1160人.
【點(diǎn)評】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵.
20.所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測到河對岸水邊有一點(diǎn)C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行30米到達(dá)B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度.(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)
【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題.
【分析】作CE⊥AB于E.由題意可以假設(shè)CE=BE=x，在Rt△CAE中，求出AE，根據(jù)AB=AE﹣BE，列出方程即可解決問題.
【解答】解：作CE⊥AB于E.
由題意：∠CAE=31°，∠CBE=45°，AB=30，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，
∴可以假設(shè)CE=BE=x，
在Rt△CAE中，∵∠CEA=90°，
∴AE= = ，
∵AB=AE﹣BE= ﹣x=30，
∴x= ，
答：這條河的寬度為 m.
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形、方位角、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.
21.已知關(guān)于x的不等式組 有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并寫出該不等式組的解集.
【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.
【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式 (x﹣2)>3x+4，得：x<﹣2，
由題意得： <﹣2，
解得：a<﹣6，
∴不等式組的解集為 ≤x<﹣2.
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
22.在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1(k≠0)與雙曲線y= (x>0)相交于點(diǎn)P(1，m)
(1)求k的值;
(2)若雙曲線上存在一點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對稱，直線y=kx+1與x軸交于點(diǎn)A，求△APQ的面積.
【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】(1)將P的坐標(biāo)代入雙曲線中求出m的值，然后將P的坐標(biāo)代入直線解析式中求出k的值.
(2)求出P關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)Q，然后利用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用S△APQ=S△APB﹣S△AQB即可求出答案.
【解答】解：(1)將x=1代入y= ，
∴y=2，
∴P(1，2)
∴將P(1，2)代入y=kx+1
∴k=1，
(2)易知P(1，2)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為Q(2，1)
設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b，
將P、Q的坐標(biāo)代入上式，
∴
解得：
∴直線PQ的解析式為：y=﹣x+3
∴令y=0代入y=﹣x+3
∴x=3，
∴S△APQ=S△APB﹣S△AQB
= ×4×(2﹣1)
=2
【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，本題屬于中等題型.
23.春節(jié)期間，某商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購進(jìn)甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進(jìn)甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場需求，需購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，請你求出獲利最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤.
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;9A：二元一次方程組的應(yīng)用;C9：一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題;
(2)根據(jù)題意可以得到利潤與甲種商品的關(guān)系，由甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，可以得到甲種商品的取值范圍，從而可以求得獲利最大的進(jìn)貨方案，以及最大利潤.
【解答】解：(1)設(shè)甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是x元、y元，
，
解得， ，
即甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是30元、70元;
(2)設(shè)購買甲種商品a件，獲利為w元，
w=(40﹣30)a+(90﹣70)(100﹣a)=﹣10a+2000，
∵a≥4(100﹣a)，
解得，a≥80，
∴當(dāng)a=80時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=1200，
即獲利最大的進(jìn)貨方案是購買甲種商品80件，乙種商品20件，最大利潤是1200元.
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答問題.
24.，已知：AB是⊙O的弦，過點(diǎn)B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交DC的延長線于點(diǎn)F，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G.
求證：
(1)FC=FG;
(2)AB2=BC•BG.
【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);M2：垂徑定理;MC：切線的性質(zhì).
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論;
(2)連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論.
【解答】證明：(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG;
(2)連接AC，所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直徑，
∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ = ，
∴AB2=BC•BG.
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理等知識;熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題(2)的關(guān)鍵.
25.(10分)(2017•呼和浩特一模)拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方.
(1)1，若P(1，﹣3)，B(4，0).D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，且D與B分布位于直線OP的兩側(cè)，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)2，A，B是拋物線y=ax2+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是否為定值?若是，試求出該定值;若不是，請說明理由(記OA=OB=t)
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案;根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：(1)將P(1，﹣3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得
，
解得 ，
拋物線的解析式為y= x2﹣ .
∴C(0，﹣ )
1，
當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D與P關(guān)于y軸對稱，P(1，﹣3)，
得D(﹣1，﹣3);
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)， 是定值，定值為2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P(m，am2+c)，A(﹣t，0)，B(t，0)，則at2+c=0，c=﹣at2.
∵PQ∥OF，
∴ = ，
∴OF= =﹣ = =amt+at2.
同理OE=﹣amt+at2.
∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC.
∴ =2.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;②利用函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵;(2)利用待定系數(shù)法求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
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