不定方程(丟番圖方程)是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等)的方程或方程組。以下是學習啦小編為你精心整理的不定方程的發(fā)明介紹，希望你喜歡。

　　不定方程簡介

　　不定方程(indeterminate equation)是數(shù)論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個數(shù)通常多于方程的個數(shù)。

　　古希臘數(shù)學家丟番圖于三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數(shù)學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系。1969年，莫德爾較系統(tǒng)地總結了這方面的研究成果。

　　不定方程歷史

　　不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一。

　　古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。Diophantus，古代希臘人，被譽為代數(shù)學的鼻祖，流傳下來關于他的生平事跡并不多。今天我們稱整系數(shù)的不定方程為「Diophantus方程」，內容主要是探討其整數(shù)解或有理數(shù)解。他有三本著作，其中最有名的是《算術》，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組(變量的個數(shù)大于方程的個數(shù))或不定方程式(兩個變數(shù)以上)。丟番圖只考慮正有理數(shù)解，而不定方程通常有無窮多解的。

　　研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數(shù)。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何?”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負整數(shù)解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。

　　不定方程常見類型

　　⑴求不定方程的整數(shù)解;

　?、婆卸ú欢ǚ匠淌欠裼薪?

　　⑶判定不定方程的解的個數(shù)(有限個還是無限個)。

　　一次不定方程

　　二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數(shù)，ab ≠ 0。此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a、b的最大公約數(shù)整除c。設、是該方程的一組整數(shù)解，那么該方程的所有整數(shù)解可表示為.

　　S(≥2)元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n為整數(shù)，且a1…as≠0。此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a1，…，as的最大公約數(shù)整除n。

　　埃拉托塞尼篩法產(chǎn)生的素數(shù)普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希臘數(shù)學家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質是素數(shù)，他自己證明了有無窮多個素數(shù)，公元前250年古希臘數(shù)學家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法：

　　一“要得到不大于某個自然數(shù)N的所有素數(shù)，只要在2---N不大于√N的素數(shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。

　　二后來人們將上面的內容等價轉換：“如果N是合數(shù)，則它有一個因子d滿足1上海科技出版社)..

　　三再將二的內容等價轉換：“若自然數(shù)N不能被不大于(根號)√N的任何素數(shù)整除，則N是一個素數(shù)”。見(代數(shù)學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁)。

　　四上面這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：

　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。⑴

　　其中p1，p2，.....，pk表示順序素數(shù)2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N

　　字母后面的數(shù)字或者i與k都是腳標] ，則N是一個素數(shù)。

　　五可以把(1)等價轉換成為用同余式組表示：

　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。⑵

　　例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數(shù)2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一個素數(shù)。

　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

　　由于⑵的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據(jù)孫子定理(中國剩余定理)知，⑵在p1p2.....pk范圍內有唯一解。

　　例如k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了(3，3*)區(qū)間的全部素數(shù)。

　　k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19; N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了(5，5*)區(qū)間的全部素數(shù)。

　　k=3時，

　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

　　---------------------|---------|----------|--------|---------|

　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----|

　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

　　------------------------------------------------------------

　　求得了(7，7*)區(qū)間的全部素數(shù)。仿此下去可以求得任意大的數(shù)以內的全部素數(shù)。

　　多元一次

　　關于整數(shù)多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程序設計等相關方法輔助求解。

　　二次

　　二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線(即圓錐曲線)的有理點或整點問題。

　　一類特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整數(shù)解稱商高數(shù)或勾股數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)，中國《周髀算經(jīng)》中有“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”之說，已經(jīng)知道 (3，4，5)是一個解。劉徽在注《九章算術》中又給出了(5，12，13)，(8，15，17)， (7，24，25)，(20，21，29)幾組勾股數(shù)。它的全部正整數(shù)解已在16世紀前得到。這類方程本質上就是求橢圓上的有理點。

　　另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2-Dy2=1，D是非平方的正整數(shù)。利用連分數(shù)理論知此方程永遠有解。這類方程就是求雙曲線上的有理點。

　　最后一類就是平方剩余問題， 即求x^2-py=q的整數(shù)解， 用高斯的同余理論來描述，就是求x^2≡q(mod p)的剩余類解。高斯發(fā)現(xiàn)的著名二次互反律給出了次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當于求拋物線上的整點。

　　圓錐曲線對應的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術性質的一種特例。

　　高次

　　對高于二次的不定方程，相當復雜。當n>2時，x^n+y^n=z^n沒有非平凡的整數(shù)解 ，即著名的費馬大定理，歷經(jīng)3個世紀 ，已由英國數(shù)學家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。

　　有一些高次方程同樣無解：

　　多元高次不定方程

　　多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次

　　域來討論一些特殊的不定方程的整數(shù)解.常用的解法

　?、糯鷶?shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等;

　　⑵不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解;

　?、峭喾ǎ簩Φ仁絻蛇吶√厥獾哪?如奇偶分析)，縮小變量的范圍或性質，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解;

　　⑷構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解;

　　⑸無窮遞推法。

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