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　　大學(xué)高數(shù)論文范文篇二：《第二型曲面積分化為二重積分計算》

　　摘要：第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分，在流體力學(xué)和電磁學(xué)等領(lǐng)域有極為廣泛的運用。所以，正確選擇計算第二型曲面積分的方法對解決問題有著很大的幫助。一般的書本都介紹的主要通過將其轉(zhuǎn)化為二重積分或利用高斯公式計算。第二型曲面積分和二重積分有著密切的關(guān)系，這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法。并且希望大學(xué)生能夠培養(yǎng)對高等數(shù)學(xué)的愛好，努力鉆研高等數(shù)學(xué)。

　　關(guān)鍵詞：第二型曲面積分、二重積分、轉(zhuǎn)換、計算、鉆研高等數(shù)學(xué)

　　正文：

　　1.第二型曲面積分定義：

　　設(shè)為光滑的有向曲面，函數(shù)R(x,y,z)在上有界，把任意分割成n塊小曲面Si(i1,2,,n)(Si同時表示第i小塊曲面的面積), Si在xoy坐標(biāo)面上的投影為(Si)xy,(i,i,i)Si ,若當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時，lim,Ri(i0i1niR(x,y,z)在有向曲面上對坐標(biāo)x,y的,S)(i存在。則稱此極限值為xy)

　　曲面積分(或第二型曲面積分).記作R(x,y,z)dxdy。

　　

　　2.將第二型曲面積分化為二重積分來計算的方法：

　　①第二型曲面積分P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy可化為三個第二型

　　

　　曲面積分來計算：I1P(x,y,z)dydz,I

　　2Q(x,y,z)dzdx,I3R(x,y,z)dxdy。 

　　這就必須把曲面分別投影到y(tǒng)Oz、zOx、xOy面上，再分別按照前側(cè)為正后側(cè)為負、右側(cè)為正左側(cè)為負、上側(cè)為正下側(cè)為負的規(guī)則再次分解。這樣一來就需要六個式子來計算一個第二型曲面積分，運算量相當(dāng)大且容易出錯。

　　例：.計算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區(qū)域 之邊界曲面  的外側(cè))：

　　xzdydz(x3y3)dzdx(x3y3)dxdy，其中

　　(x,y,z)|x2y21,x0,y0,0z1; 

　　解：在曲面上x0,y0,z0及z1部分的S上xzdydz

　　S0，所以

　　xzdydz

　　Dyz

　　

　　zydydzzdz

　　2

　　

　　3

　　11

　　y2dy

　　

　　8

　　.

　　在曲面上x0,z0及z1部分的S上

　　x

　　S

　　z3dzdx0，所以

　　

　　

　　

　　3

　　xydzdxxdzdxx1x2

　　DxzDxz

　　3

　　3

　　

　　

　　3

　　

　　3

　　2dzdx

　　

　　3

　　. 16

　　在曲面上x0,y0及x2y21部分的S上

　　x

　　S

　　3

　　y3dxdy0，所以

　　

　　x

　　

　　3

　　y3dxdy

　　5. 16

　　

　　Dxy

　　x

　　3

　　y3dxdy

　　

　　Dxy

　　x

　　3

　　y3dxdy0，

　　

　　 原式 

　　②先將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分：

　　AdS

　　

　　(PcosQcosRcos)dS

　　

　　cos

　　zx

　　22

　　zxzy

　　,cos

　　zy

　　22

　　zxzy

　　,cos

　　1

　　22

　　zxzy

　　再將第一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分： 若在xOy面：

　　

　　

　　fx,y,zdS

　　Dxy

　　

　　22

　　x,yzyx,ydxdy fx,y,zx,yzx

　　yOz，xOz面上以此類推。

　　最后利用二重積分計算得出結(jié)果。

　　較第一種方法，此方法更加靈活多變，在計算中可以省很多力氣。 例：計算曲面積分：

　　

　　S

　　z(x2y2)(dydzdxdz)，其中 S 為球面 x2y2z2R2

　　在第一、四卦限(x0，z0)的部分，積分沿S的上側(cè); 解：S的單位正法向為

　　xyzn,,

　　222

　　x2y2z2x2y2z2xyz

　　

　　01

　　x,y,z.

　　R

　　

　　22

　　dydzdxdzzxyS

　　

　　12222

　　zxy,zxy,0x,y,zdS RS

　　

　　

　　

　　1

　　zx2y2xydS. RS

　　

　　z

　　R2x2y2，zx

　　xRxyR

　　2

　　2

　　2

　　，zy

　　yRxy

　　2

　　2

　　2

　　.

　　22

　　dSzxzydxdy

　　Rxy

　　222

　　dxdy.

　　原式

　　1R

　　R2x2y2x2y2xydxdy RDxyR2x2y2

　　

　　

　　2d

　　2

　　R

　　2R5

　　. cossind5

　　3

　　總結(jié)：

　　利用向量形式計算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個二重積分計算,避免了傳統(tǒng)計算方法對曲面?zhèn)鹊呐卸ǎ滹@著優(yōu)點是物理意義明確,計算過程簡單,適用于所有的第二型曲面積分的計算。但是，計算時要不斷地總結(jié)，學(xué)會根據(jù)題型的變化來選擇方法，尋求更加簡便的方法，不能一味的追求某一種。

　　而且，高等數(shù)學(xué)這門科學(xué)是博大精深的，要不斷的學(xué)習(xí)研究才能領(lǐng)悟得更多。就自身而言，要抱著謙虛謹(jǐn)慎的態(tài)度，努力鉆研高數(shù)，希望能夠參透高等數(shù)學(xué)的一角。

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