摘要：數(shù)學語言具有科學性、簡潔性、相通性，所以，數(shù)學語言是一種特殊的語言。對數(shù)學語言的研究必將對數(shù)學本身及數(shù)學教育的發(fā)展，乃至對人類文明都會起到積極的促進作用。

關鍵詞：數(shù)學符號 數(shù)學語言 科學 簡潔 相通

我們天天接觸數(shù)學，但是很少有人對數(shù)學語言進行專門系統(tǒng)的研究。譬如數(shù)學語言的產生、發(fā)展和形成；數(shù)學語言與一般語言有哪些不同，具有哪些特殊性；數(shù)學語言在促進人類文明的過程中所起的作用；如何學好數(shù)學語言等等。從而使數(shù)學語言象漢語語言學那樣成為一門獨特的語言學科——數(shù)學語言學。本文只研究數(shù)學語言的特殊性。這種特殊性更多地是與一般語言（漢語語言）進行比較而言的。下面只從數(shù)學符號的科學性、數(shù)學語言的簡潔性、數(shù)學語言的相通性三個方面進行探討。

1、數(shù)學符號的科學性

數(shù)學符號是數(shù)學文字的主要形式，它是構成數(shù)學語言的基本成份。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，這十個符號是全世界普遍采用的，它們表示了全部的數(shù)，書寫、運算都十分方便。這10個符號常被稱為阿拉伯數(shù)字，實際上卻是印度人創(chuàng)造的，只是經過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對人類文明的一項重大貢獻，這一貢獻的意義也可能是今天的人們不易覺察的。但是，18世紀一位法國著名數(shù)學家曾說過：“用不多的記號表示全部的數(shù)的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義，它之如此絕妙非常，正是由于這種簡易得難以估量。”
關于“位置上的意義”，指的是數(shù)字的進位表達。比如說724，它實際上是7×100+2×10+4，可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題，假若有個數(shù)字是7×1000+2×100+4，那該怎么寫呢？現(xiàn)在我們是很容易回答了，不就寫為7204嗎？可是，在最初的數(shù)字符號系統(tǒng)中是沒有0這個符號的。有的用一個點來表示：72•4有的用一個方格來表示；有的干脆就拉開一點寫，表示空一位；……但這些寫法的不準確、不方便是顯而易見的。直到使用了 0這個符號，問題才得以解決。而0這個符號比其他符號的出現(xiàn)晚了好幾百年。如果年看72004這個數(shù)字，我們能更清楚地體會到0這個符號的特殊意義。
數(shù)學的簡潔不只表現(xiàn)在數(shù)字符號上，還表現(xiàn)在其他符號上，表現(xiàn)在命題的表述和論證上，表現(xiàn)在它的邏輯體系上，總之，表現(xiàn)在思維經濟上。
數(shù)學符號有許多種，除了前面提到的數(shù)字符號外，還有代數(shù)的符號，通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時代，以英文字母的開頭幾個表示已知數(shù)，如a、b、c、…，以英文字母的最后幾個代表未知數(shù)，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常數(shù)，以x、y、z代表變數(shù)。現(xiàn)在，這已不是固定的了，在某種約定之下，a、b、c、…也可代表未知數(shù)，也可以表變數(shù)，x、y、z也可以代表已知數(shù)，也可以代表常數(shù)。還有一些特殊的常數(shù)，如π,e。還有另一些表現(xiàn)數(shù)量的符號，往往是其他類型符號的組合。
數(shù)字研究的對象已不只限于數(shù)，還研究形，△表示三角形，□表示四邊形，⊙表示圓。
數(shù)學研究的最一般對象是集合，而表示集合的符號常常用英文字母的斜體，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號表示，例如，用N表示自然數(shù)集，而實數(shù)集則用R表示，N與nature(自然)一詞有關，R與real（實的）有關。特定的集合組成空間，空間有時用S表示，S與space(空間)一詞有關，但也用其他字母表示空間。這些符號的運用使得數(shù)學語言變得簡練。
還有一類符號是表示關系的，通過種種關系起聯(lián)結作用。常用的如等號=，近似等號≈，全等號≌或≡。還有不等號≠，＜，＞，<<?！伪硎酒叫嘘P系，⊥表示垂直關系， 與 表示元素與集合之間的關系， 表示集合與集合之間的關系， 表示蘊涵關系等等。
還有一大類是關于運算的符號。+，－，×，÷是四則運算符號。 是開方運算符號，sin, cos, tan是三角運算符號，lim是極限運算符號，d，是微積分運算符號。 表示若干項乃至無窮項求和， 表示連乘（若干因子或無窮個因子），！表示階乘， , 是集合論中的運算符號。映射是比運算更普遍的概念，f，g，h等常被運用作映射符號。
微積分是英國人牛頓和德國人萊布尼茨彼此獨立發(fā)現(xiàn)的，牛頓和萊布尼茨使用的微分符號卻是不同的。牛頓創(chuàng)立了微分符號，比如說 的微分用表示，可是牛頓的這一符號對于高階微分并不方便，并且不宜于表現(xiàn)微分與積分的關系，因而實質上并不十分科學。相比之下，萊布尼茨的符號在這兩方面都比牛頓的符號更加科學合理，它反映了事物最內在的本質，減輕了想象的任務。諸如這樣的優(yōu)美的式子，是在萊布尼茨符號下才能出現(xiàn)的。而英國人卻以牛頓為自豪，這是無可厚非的，但是，由于他們長時間固守牛頓的符號，使英國數(shù)學的發(fā)展受到了嚴重的損害。
所以，數(shù)學符號的科學性直接影響著數(shù)學語言的質量，影響著數(shù)學及數(shù)學教育的發(fā)展。

2、數(shù)學語言的簡潔性

數(shù)學語言非常簡潔精確，它具有獨特的價值，它是科學語言的基礎。
從宏觀來說，人們常以“成千上萬”來研究多，再多就是“百萬”、“千萬”了，更多則是“億萬”?？墒?，數(shù)學能作出更簡潔也更明確、更有力的表示，比如說，1025、286243這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不太清楚了。
從微觀來說，日常語言之中，“失之毫厘，廖以千里”，用一毫一厘來形容微小，還有形容體積之小的，時間之短的，距離之近的。但是，沒有比10-15，10-45這樣一些表達更能說明問題，它也更簡潔、更明了。
[a, b]僅由a、b、[ ]這三個數(shù)學符號表出，但如果比用一般語言描述就成為“大于或等于a，小于或等于b的一切實數(shù)的集合。”除去標點還得需要20個符號，其中18個漢字。
若對任何 使得對任何n,m>N，有 ，則數(shù)列 有極限。這是著名的柯西判別準則。如果要用一般語言是無論如何也表示不清的，
作為有理數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)之間關系之一的式子 ，是各種數(shù)的大統(tǒng)一。用數(shù)學語言來表達是這樣的簡潔、明晰。
數(shù)學語言有其獨特之處，有其獨特的價值，它不僅是普通語言無法替代的，而且它構成了科學語言的基礎。越來越多的科學門類用數(shù)學語言表述自己，這不僅是因為數(shù)學語言的簡潔，而且是因為數(shù)學語言的精確及其思想的普遍性與深刻性。
我們看看下面幾個式子，就能明白物理學是如何用數(shù)學語言來表述的。
F=0
F=
F=
第一、二兩個式子分別表達的是牛頓第一定律和第二定律，第三個式子說的是萬有引力定律。
慣性定律說的是，在沒有外力的條件下，物體保持原有的運動（或靜止）狀態(tài)，然而簡潔的數(shù)學式F=0 （C是常數(shù)）表達了定律的實質。
第二定律說的是，力與質量和加速成正比，數(shù)學式子F= 表達了這一點。當質量是常數(shù)的時候，式子可寫為F= ，又可用a表示加速度，因此牛頓第二定律又可以表示為人所共知的形式F=ma。
萬有引力定律說的是，任何兩個物體之間都有引力存在，其大小與兩物體質量之積成正比，與距離的平方成反比，式子F= 又是多么有力地刻畫了這一思想。

3、數(shù)學語言的通用性

數(shù)學語言與一般語言相比，它具有無民族性、無區(qū)域性，它世界上唯一的通用語言。
數(shù)學語言是人類語言的組成部分，它與一般語言是相通的，而且可以說是以一般語言為基礎的。一般語言掌握得如何，直接會影響數(shù)學語言的學習。但是，一般語言學得很好的人也不一定能掌握好數(shù)學語言，它們畢竟有差別。
一般語言具有民族性、地區(qū)性，一般語言與民族、地區(qū)文化有極密切的聯(lián)系。不同地區(qū)語言的差別可以很大，這種差別主要指符號及法則體系的不同。例如，英語與俄語，不僅符號表示的差別很大，而且語言規(guī)則的差別也很大；至于漢語，它與英語、俄語的差別更大，從書寫來看，漢語是方塊字，從讀音來看，英語、俄語是拼讀法，語法的差別也特別大。
就是同一民族，書面語言完全相同而發(fā)音很不相同的情形更多，例如同講漢語，北方與南方就有很大不同，北京話與廣大話很不相同。而且，目前世界上的語言就多達2500—3000種，其中僅美洲語言即有1000多種，非洲語言也近1000種。100萬以上人口使用的文字則只有140種。這140 種之中，以漢語為母語的人最多，約占世界人口的20%；其次是英語，約占6%；再次是俄語、西班牙語、法語，使用這五種語言的人占世界人口的40%以上。
但數(shù)學語言沒有地區(qū)性、民族性。全世界因為地區(qū)之不同、民族之不同而有二、三千種語言（遠遠超過全世界國家的數(shù)目），可是，全世界的數(shù)學語言只有一種。
這種語言符號，全世界的中學生大學生們都認識，同一種書寫、同一個含義，只是讀音一般有所不同而已。
從以上的探討中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于構成數(shù)學語言的數(shù)學符號科學、簡潔，而導致數(shù)學語言具有不同一般語言的特殊性，也就是具有科學性、簡潔性、相通性。對數(shù)學語言的研究，不僅能促進數(shù)學及數(shù)學教育的發(fā)展，而且也能對人類精神文明和物質文明的進步起到積極作用。
正因為數(shù)學語言是一種特殊的語言,那它在數(shù)學教育中也具有重要的作用:
1、掌握數(shù)學語言是學習數(shù)學知識的基矗一方面，數(shù)學語言既是數(shù)學知識的重要組成部分，又是數(shù)學知識的載體。各種定義、定理、公式、法則和性質等無不是通過數(shù)學語言來表述的。離開了數(shù)學語言，數(shù)學知識就成了“水中月，鏡中花”。另一方面，數(shù)學知識是數(shù)學語言的內涵，學生對數(shù)學知識的理解、掌握，實質是對數(shù)學語言的理解、掌握。一個對數(shù)學語言不能理解的人是絕對談不上對數(shù)學知識有什么理解的。因此，從一定意義上講。掌握數(shù)學語言是學習數(shù)學知識的基礎，數(shù)學語言教學是數(shù)學教學的關鍵。
2、掌握數(shù)學語言，有助于發(fā)展邏輯思維能力。
邏輯思維是思維的高級形式。在各種能力中，邏輯思維能力處于核心地位。
因此，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力是數(shù)學教學的中心任務。語言是思維的物質外殼，什么樣的思維依賴于什么樣的語言。具體形象語言有助于具體形象思維的形成；嚴謹縝密、具有高度邏輯性的數(shù)學語言則是發(fā)展邏輯思維的“培養(yǎng)液”。
3、掌握數(shù)學語言是解決數(shù)學問題的前提。
培養(yǎng)學生運用所學知識解決數(shù)學問題的能力，是數(shù)學教學的最終目的。“對一個問題能清楚地說一遍，等于解決了問題的一半。”解決問題的過程是一個嚴密的推理和論證的過程，正確地理解題意，畫出符合要求的圖形。尋找已知條件，分析條件與結論之間的關系，有關知識的映象，解題判斷的形成，直至解答過程的表述等，處處離不開數(shù)學語言。

4、掌握數(shù)學語言，有利于思維品質的形成。

數(shù)學語言的特點決定了數(shù)學語言對思維品質的形成有重要作用。嚴謹、準確是培養(yǎng)思維的邏輯性、周密性與批判性的“良方”；清晰、精練對培養(yǎng)思維的獨立性與深刻性有特效。

5、掌握數(shù)學語言，能激起學習數(shù)學的興趣。

數(shù)學的語言美具有自己的特點，它是一種內在的美，表面顯得枯燥乏味，其實卻蘊藏著豐富的內涵。充分理解、掌握它，就能領略其中的微妙之處，感受其中的美的意境，從而激起學習、探究的興趣。
數(shù)學語言作為一種表達科學思想的通用語言和數(shù)學思維的最佳載體，包含著多方面的內容；其中較為突出的是敘述語言、符號語言及圖形語言，其特點是準確、嚴密、簡明。由于數(shù)學語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng)，因此，它常成為數(shù)學教學的難點。一些學生之所以害怕數(shù)學，一方面在于數(shù)學語言難懂難學，另一方面是教師對數(shù)學語言的教學不夠重視，缺少訓練，以致不能準確、熟練地駕馭數(shù)學語言。
接下來根據(jù)數(shù)學語言的特點及數(shù)學要求，談談教學中的實踐與認識。
首先，注重普通語言與數(shù)學語言的互譯普通語言即日常生活中所用語言，這是學生熟悉的，用它來表達的事物，學生感到親切，也容易理解。其他任何一種語言的學習，都必須以普通語言為解釋系統(tǒng)。數(shù)學語言也是如此，通過兩種語言的互譯，就可以使抽象的數(shù)學語言在現(xiàn)實生活中找到借鑒，從而能透徹理解，運用自如。“互譯”含有兩方面的意思：一是將普通語言譯為數(shù)學符號語言，也就是通常所說的“數(shù)學化”，例如方程是把文字表達的條件改用數(shù)學符號，這是利用數(shù)學知識來解決實際問題的必要程序。二是將數(shù)學語言譯為普通語言。數(shù)學實踐告訴我們，凡是學生能用普通語言復述概念的定義和解釋概念所揭示的本質屬性，那么他們對概念的理解就深刻。由于數(shù)學語言是一種抽象的人工符號系統(tǒng)，不適于口頭表達，因此也只有翻譯成普通語言使之“通俗化”才便于交流。
其次，注重數(shù)學語言學習的過程，合理安排教學
數(shù)學概念和數(shù)學符號的形成一般包括邏輯過程、心理過程和教學過程三個環(huán)節(jié)。邏輯過程能夠揭示概念之間的各種邏輯關系，便于對數(shù)學結構從整體上理解，有助于學生對數(shù)學本質的理解與認識。心理過程是指學生從學習數(shù)學語言到掌握數(shù)學語言的過程，這種過程往往是因人而異。數(shù)學符號和規(guī)則從現(xiàn)實世界得到其意義，又在更大的范圍內作用于現(xiàn)實。學生只有在理解數(shù)學語言的來龍去脈及意義，而且熟練地掌握他們的各種用法，從而得到理性的認識之后，在數(shù)學學習中才能靈活地對它們進行各種等價敘述，并在一個抽象的符號系統(tǒng)中正確應用，從而達到對數(shù)學符號語言學習的最高水平。教學過程則是教師具體對某個數(shù)學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程，教師在教學中要善于駕馭數(shù)學語言。
１．善于推敲敘述語言的關鍵詞句。
敘述語言是介紹數(shù)學概念的最基本的表達形式，其中每一個關鍵的字和詞都有確切的意義，須仔細推敲，明確關鍵詞句之間的依存和制約關系。例如平行線的概念“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”中的關鍵詞句有：“在同一平面內”，“不相交”，“兩條直線”。教學時要著重說明平行線是反映直線之間的相互位置關系的，不能孤立地說某一條直線是平行線；要強調“在同一平面內”這個前提，可讓學生觀察不在同一平面內的兩條直線也不相交；通過延長直線使學生理解“不相交”的正確含義。這樣通過對關鍵詞句的推敲、變更、刪簡，使學生認識到“在同一平面內”、“不相交的兩條直線”這些關鍵詞句不可欠缺，從而加深對平行線的理解。
２．深入探究符號語言的數(shù)學意義。
符號語言是敘述語言的符號化，在引進一個新的數(shù)學符號時，首先要向學生介紹各種有代表性的具體模型，形成一定的感性認識；然后再根據(jù)定義，離開具體的模型對符號的實質進行理性的分析，使學生在抽象的水平上真正掌握概念（內涵和外延）；最后又重新回到具體的模型，這里具體的模型在數(shù)學符號的教學中具有雙重意義：一是作為一般化的起點，為引進抽象符號作準備，二是作為特殊化的途徑，便于符號的應用。
數(shù)學符號語言，由于其高度的集約性、抽象性、內涵的豐富性，往往難以讀懂。這就要求學生對符號語言具有相當?shù)睦斫饽芰?，善于將簡約的符號語言譯成一般的數(shù)學語言，從而有利于問題的轉化與處理。
３．合理破譯圖形語言的數(shù)形關系。
圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點是直觀，便于觀察與聯(lián)想，觀察題設圖形的形狀、位置、范圍，聯(lián)想相關的數(shù)量或方程，這是“破譯”圖形語言的數(shù)形關系的基本思想。例如，長方體的表面積教學，學生初次接觸空間圖形的平面直觀圖———這種特殊的圖形語言，學生難于理解，教學時可采用以下步驟進行操作：①從模型到圖形，即根據(jù)具體的模型畫出直觀圖；②從圖形到模型，即根據(jù)所畫的直觀圖，用具體的模型表現(xiàn)出來，這樣的設計重在建立圖形與模型之間的視覺聯(lián)系，為學生提供充分的感性認識，并使它們熟悉直觀圖的畫法結構和特點；③從圖形到符號，即把已有的直觀圖中的各種位置關系用符號表示；④從符號到圖形，即根據(jù)符號所表示的條件，準確地畫出相應的直觀圖。這兩步設計是為了建立圖像語言與符號語言之間的對應關系，利用圖形語言來輔助思維，利用符號語言來表達思維。
總之，在數(shù)學教學中，教師應指導學生嚴謹準確地使用數(shù)學語言，善于發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學語言所描述的條件及其相互轉化，以加深對數(shù)學概念的理解和應用。

參考書目：
1.張楚廷 數(shù)學文化[M]，高等教育出版社.2000年；
2.鄧東皋.數(shù)學與文化[M]，北京大學出版社.1990年；
3.王慶人.數(shù)學家談數(shù)學本質[M]，北京大學出版社.1989年；
4.歐陽維誠.文學中的數(shù)學[M]，湖南人民出版社.1998年。