2017年全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽獲獎(jiǎng)優(yōu)秀論文
2017年全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽獲獎(jiǎng)優(yōu)秀論文
數(shù)學(xué)建模就是通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于2017年全國(guó)數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文的范文，歡迎大家閱讀參考!
2017年全國(guó)數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇1
基于EXCEL的層次分析法模型設(shè)計(jì)
摘要：層次分析法是美國(guó)學(xué)者T.L.Satty于20世紀(jì)70年代提出了以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析解決問(wèn)題的方法，簡(jiǎn)稱AHP。傳統(tǒng)的層次分析法算法具有構(gòu)造判斷矩陣不容易、計(jì)算繁多重復(fù)且易出錯(cuò)、一致性調(diào)整比較麻煩等缺點(diǎn)。本文利用微軟的Excel電子表格的強(qiáng)大的函數(shù)運(yùn)算功能，設(shè)置了簡(jiǎn)明易懂的計(jì)算表格和步驟，使得判斷矩陣的構(gòu)造、層次單排序和層次總排序的計(jì)算以及一致性檢驗(yàn)和檢驗(yàn)之后對(duì)判斷矩陣的調(diào)整變得十分簡(jiǎn)單。
關(guān)鍵詞：Excel 層次分析法 模型
一、層次分析法的基本原理
層次分析法是解決定性事件定量化或定性與定量相結(jié)合問(wèn)題的有力決策分析方法。它主要是將人們的思維過(guò)程層次化、，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供較具說(shuō)服力的定量依據(jù)。層次分析法不僅可用于確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的權(quán)重，而且還可用于直接評(píng)價(jià)決策問(wèn)題，對(duì)研究對(duì)象排序，實(shí)施評(píng)價(jià)排序的評(píng)價(jià)內(nèi)容。
用AHP分析問(wèn)題大體要經(jīng)過(guò)以下七個(gè)步驟：
?、沤哟谓Y(jié)構(gòu)模型;
首先要將所包含的因素分組，每一組作為一個(gè)層次，按照最高層、若干有關(guān)的中間層和最低層的形式排列起來(lái)。對(duì)于決策問(wèn)題，通?？梢詫⑵鋭澐殖蓪哟谓Y(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。
其中，最高層：表示解決問(wèn)題的目的，即應(yīng)用AHP所要達(dá)到的目標(biāo)。
中間層：它表示采用某種措施和政策來(lái)實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、約束層、準(zhǔn)則層等。
最低層：表示解決問(wèn)題的措施或政策(即方案)。
⑵構(gòu)造判斷矩陣;
設(shè)有某層有n個(gè)元素，X={Xx1,x2,x3……xn}要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則(或目標(biāo))的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。(即把n個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1~9尺度。
用表示第i個(gè)因素相對(duì)于第j個(gè)因素的比較結(jié)果，則
A則稱為成對(duì)比較矩陣
比較尺度：(1~9尺度的含義)
如果數(shù)值為2,4,6,8表示第i個(gè)因素相對(duì)于第j個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。
倒數(shù)：若j因素和i因素比較，得到的判斷值為
?、怯煤头e法或方根法等求得特征向量 W(向量 W 的分量 Wi 即為層次單排序)并計(jì)算最大特征根λmax;
⑷計(jì)算一致性指標(biāo) CI、RI、CR 并判斷是否具有滿意的一致性。其中RI是
其中
平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：
矩陣階數(shù) 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616 1.49 1.51
CR=CI/RI,一般地當(dāng)一致性比率CR<0.1時(shí)，認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì)A加以調(diào)整。 ⑸層次總排序，如表1所示。
?、蕦哟慰偱判蛞恢滦詸z驗(yàn)，如前所述。
⑺根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整 對(duì)于層次單排序結(jié)果和層次總排序結(jié)果，只要符合滿意一致性即隨機(jī)一致性比例 CR≤ 0.10 就可以結(jié)束計(jì)算并認(rèn)同排序結(jié)果，否則就要返回調(diào)整不符合一致性的判斷矩陣。
二、層次分析法 Excel 模型設(shè)計(jì)過(guò)程 案例：某人欲到蘇州、杭州、桂林三地旅游，選擇要考慮的因素包括四個(gè)方面：景色、費(fèi)用、居住和飲食，用層次分析法選一個(gè)適合自己情況的旅游點(diǎn)。
?、备鶕?jù)題意可以建立層次結(jié)構(gòu)模型。
⒉Excel實(shí)現(xiàn)過(guò)程
?、艑?zhǔn)則層的各因素對(duì)目標(biāo)層的影響兩兩比較結(jié)果輸入Excel表格中，進(jìn)行單排序及一致性檢驗(yàn)。
其中：F4=PRODUCT(B4:E4)，表示B4、C4、D4、E4各單元格連乘，復(fù)制公式至F7單元格。 G4=POWER(F4,1/4)，表示將F4單元格的值開(kāi)4次方，復(fù)制公式至G7單元格 G8=SUM(G4:G7)，表示求和 H4=G4/$G，復(fù)制公式至H7單元格 I4= B4*H+C4*H+D4*H+E4*H，復(fù)制公式至I7單元格 J4= I4/H4 λmax= AVERAGE(J4:J7)。 CI=(J8-4)/(4-1)，CR=CI/0.8931=0.0080101<0.1，即通過(guò)一致性檢驗(yàn)。
?、瓢赐瑯拥姆椒ǚ謩e計(jì)算出方案層對(duì)景色、費(fèi)用、居住、飲食的判斷矩陣及一致性檢驗(yàn)，。
?、菍哟慰偱判颍捎谔K州數(shù)值最高，故選擇的旅游地為蘇州。 其中：C44=K14，G44=$C*C44，H48={SUM($C:$F*C48:F48)}，注意：這是一個(gè)數(shù)組函數(shù)需按ctrl+shift+enter三鍵確定。
三、基于Excel的層次分析法模型設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)
?、艑哟畏治龇?Excel 算法以廣泛使用的辦公軟件 Excel 作為運(yùn)算平臺(tái)，無(wú)需掌握深?yuàn)W的計(jì)算機(jī)專業(yè)知識(shí)和術(shù)語(yǔ)，有很好的推廣應(yīng)用基礎(chǔ)。
?、茖哟畏治龇?Excel算法的所有計(jì)算結(jié)果和數(shù)據(jù)均保留最高位數(shù)的精確度，可以不在任何環(huán)節(jié)進(jìn)行四舍五入，當(dāng)然也可以根據(jù)需要設(shè)置小數(shù)位，從而最大限度地減少了誤差。
?、菍哟畏治龇?Excel 算法的計(jì)算步驟設(shè)計(jì)成環(huán)環(huán)相扣、步步跟蹤，步驟設(shè)計(jì)完畢后，可以按需要填充或變更，其余數(shù)據(jù)和結(jié)果均可以在填充或變更判斷矩陣之后立即得出，使得整個(gè)運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)捷、輕松。另外，相似的矩陣區(qū)和計(jì)算區(qū)可以通過(guò)復(fù)制完成，只需改動(dòng)少量單元格。
?、葘哟畏治龇?Excel 算法將一致性檢驗(yàn)也同時(shí)計(jì)算出來(lái)，決策者和判斷者可以即時(shí)知道自己的判斷是否具有滿意的一致性并可以隨時(shí)和簡(jiǎn)單地進(jìn)行調(diào)整直到符合滿意一致性。
⑸如果一致性指標(biāo)不能令人滿意，用本方法可以比較容易地實(shí)現(xiàn)對(duì)判斷矩陣的調(diào)整，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)判斷的“微調(diào)” ，使得逼近最大程度的“滿意一致性”甚至“完全一致性”而又不必進(jìn)行繁重運(yùn)算成為可能。
2017年全國(guó)數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇2
試論數(shù)學(xué)建模
【摘 要】本文以“減肥問(wèn)題的研究”為例，介紹了數(shù)學(xué)建?；痉椒ê筒襟E，希望它能對(duì)初次參加數(shù)學(xué)建模的同學(xué)有所幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;基本方法;步驟
數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的方法，也就是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題作抽象、簡(jiǎn)化、確定變量和參數(shù)并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立含變量和參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題并驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決實(shí)際問(wèn)題的這種多次循環(huán)，不斷深化的過(guò)程。數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生下列能力：
(1)洞察能力，許多提出的問(wèn)題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模者善于從實(shí)際工作提供的原形中;抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時(shí)有些數(shù)學(xué)模型又可以有許多現(xiàn)實(shí)意義，這使得建模者不得不具有很強(qiáng)的洞察以及多種思維方式進(jìn)行橫向、縱向的研究;
(2)數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯能力即把經(jīng)過(guò)一定抽象和簡(jiǎn)化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，形成數(shù)學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在此基礎(chǔ)上提出解決某一問(wèn)題的方案或建議;
(3)綜合應(yīng)用分析能力，用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一些新的知識(shí);(4)聯(lián)想能力，對(duì)于不少的實(shí)際問(wèn)題，看起來(lái)完全不同，但在一定的簡(jiǎn)化層次下它們的數(shù)學(xué)建模是相同的或相似的，這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就要培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)地學(xué)習(xí)，通過(guò)熟能生巧達(dá)到觸類旁通地境界。因此，目前有越來(lái)越多的高等院校自己組織或參加全國(guó)乃至國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模竟賽。
然而，有部分學(xué)生特別是初次參加數(shù)學(xué)建模的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模感到很茫然，本人多次承擔(dān)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)老師，撰寫(xiě)該論文，希望對(duì)初次參加數(shù)學(xué)建模的同學(xué)有所幫助。
1.建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟
1.1 使問(wèn)題理想化
在眾多因素中孤立出所研究的問(wèn)題是科學(xué)研究的經(jīng)典方法。按照辯證唯物主義觀點(diǎn)，世界上一切事物都是相互依賴、相互依存的，要精細(xì)地研究一個(gè)問(wèn)題常常無(wú)從下手，就是因?yàn)樗伎枷嚓P(guān)問(wèn)題太多所致。因此，對(duì)初學(xué)者最好的方法就是使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、理想化，在特殊或極端情況下進(jìn)入課題，然后加入相關(guān)因素，修正結(jié)果，使問(wèn)題深化。這一步的核心思想就是在復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)中孤立我們所關(guān)心的事物與什么有直接因果關(guān)系，把這些孤立出來(lái)的事物用符號(hào)、算式及相關(guān)學(xué)科的理論進(jìn)行數(shù)學(xué)分析處理的全過(guò)程，就可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程了。
1.2 假定及符號(hào)認(rèn)定
在比較理想的情況下建立數(shù)學(xué)模型還是很容易的。所謂理想就是通過(guò)假設(shè)條件把所研究的問(wèn)題進(jìn)一步明確，哪些條件先不慮，哪些條件應(yīng)設(shè)為變量，哪些變量與時(shí)間(路程、費(fèi)用等等)有關(guān)。這樣就為下一步建立數(shù)學(xué)模型打下了良好的基礎(chǔ)。
1.3 數(shù)據(jù)處理與模型建立
數(shù)學(xué)模型的建立一般有兩種情況。其一，問(wèn)題本身給出一些數(shù)據(jù)，建模的人應(yīng)從數(shù)據(jù)上找出一定的規(guī)律性，這時(shí)就應(yīng)通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法整理數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)。如使用最小二乘法、統(tǒng)計(jì)學(xué)方法等。對(duì)于沒(méi)有數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型的建立，一般要使用數(shù)學(xué)手段建立形式，如矩陣、微分方程、數(shù)學(xué)優(yōu)化形式等等，這些都可以視為數(shù)學(xué)模型的初創(chuàng)時(shí)期。在建模初期還必須注意使用其它學(xué)科的成果，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、電工、機(jī)械、光學(xué)等學(xué)科，把這些學(xué)科的現(xiàn)成結(jié)論直接拿來(lái)使用也是數(shù)學(xué)建模時(shí)必不可少的一環(huán)。
1.4 分析結(jié)果及修改模型
在比較理想的狀態(tài)下建立的數(shù)學(xué)模型一般都與實(shí)際原形有較大差距。為使數(shù)學(xué)模型更能反映原形，就必須按實(shí)際情況再修改、補(bǔ)充新條件，分析新結(jié)論，最終經(jīng)反復(fù)研究會(huì)得到一個(gè)令人滿意的結(jié)果。
2.以對(duì)“減肥問(wèn)題的研究”為例，探討數(shù)學(xué)建模方法和步驟
2.1 問(wèn)題的提出
對(duì)于人類來(lái)說(shuō)，肥胖癥或減肥問(wèn)題越來(lái)越引起人們的廣泛關(guān)注。目前各種減肥食品或藥物數(shù)不勝數(shù)，各種減肥新法也紛紛登場(chǎng)，如國(guó)氏全營(yíng)養(yǎng)素、減肥酥、soft海藻減肥香皂等。一時(shí)間，愛(ài)美的人，害怕肥胖的人面對(duì)如此多的食品、藥物或療法簡(jiǎn)直無(wú)所適從。這里不準(zhǔn)備也不可能去論證各種食品、藥物或療法的機(jī)理和有效性，只從數(shù)學(xué)上對(duì)減肥問(wèn)題作些討論，即科學(xué)減肥的數(shù)學(xué)。
2.2 合理假設(shè)
A1：不妨假設(shè)人體由脂肪構(gòu)成。(相對(duì)而言，成人是由骨骼、水分、脂肪組成，短時(shí)間內(nèi)人體的骨骼、內(nèi)臟等變化不大，可視為常數(shù)。)
A2：設(shè)時(shí)刻t，人的體重為W(t)千克，顯然W(t)可假設(shè)為t的連續(xù)函數(shù);
A3：假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)人食用食物產(chǎn)生的熱量為A大卡，同樣也假設(shè)A為常數(shù);
A4：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)維持新陳代謝的熱量為B大卡，同樣也假設(shè)為常數(shù);
A5：設(shè)單位時(shí)間內(nèi)因運(yùn)動(dòng)消耗的能量與體重成正比，即C・W(t)大卡(由于運(yùn)動(dòng)需要消耗能量，而且體重越大，能量越多);
A6：對(duì)于人體系統(tǒng)而言，能量守恒;
A7：過(guò)剩的熱量按1千克脂肪=D大卡熱量轉(zhuǎn)化為脂肪(D=4.2*10焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù));
A8：初始時(shí)刻t=0時(shí)，體重為W0千克。
注：1千克脂肪完全“然燒”相當(dāng)于釋放10000(即1D)大卡熱量。
2.3 模型的建立
由能量(熱量)守恒原理即任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)間的攝入的能量與消耗的能量之差。故在△t(或[t，t+△t]時(shí)間間隔內(nèi)，“增加”的熱量=△t[單位時(shí)間內(nèi)吸入熱量-單位時(shí)間內(nèi)消耗的熱量]，于是有：
3.總結(jié)
(1)一般方法只供參考，各步有機(jī)聯(lián)系但側(cè)重點(diǎn)不同。
(2)模型雖粗，但能定性說(shuō)明問(wèn)題，每步還有改進(jìn)的余地。
參考文獻(xiàn)：
[1]數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社.
[2]劉平.談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)通訊，2012(10).
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