。隨著社會的進步，數(shù)學(xué)能力不斷有新的理解。這是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的數(shù)學(xué)論文，僅供參考!

　　數(shù)學(xué)論文怎么寫篇一

　　論數(shù)學(xué)

　　討論任意領(lǐng)域中智力活動的性質(zhì)是一件困難的任務(wù)，對處于人類智能中心領(lǐng)域的數(shù)學(xué)就更是如此。對人類智能的性質(zhì)作一般的討論，從本質(zhì)上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機的結(jié)構(gòu)和升力、推力的力學(xué)原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更為困難。在沒有以直觀的和 經(jīng)驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預(yù)先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。

　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種討論如果以一種非數(shù)學(xué)的方式進行的話，限制將更為苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準(zhǔn)備表述的觀點，也完全可能不為許多其他數(shù)學(xué)家所贊同。你可能獲得一個人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數(shù)學(xué)特點的最有力的事實，是它和 自然 科學(xué) 的特有 聯(lián)系?；蛘吒话愕卣f，它和任何一類比處于純粹描述水準(zhǔn)更高級一些的、能對經(jīng)驗作出解釋的科學(xué)的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué)家將會同意，數(shù)學(xué)不是一門經(jīng)驗科學(xué)，或者至少可以說它不是以某種來自經(jīng)驗科學(xué)技術(shù)的 方法 實現(xiàn)的，但是它的 發(fā)展 和自然科學(xué)卻緊密相聯(lián)。它的一個主要分支幾何學(xué)，買際上起源于自然科學(xué)、經(jīng)驗科學(xué)。某些 現(xiàn)代 科學(xué)中最大的靈感(我認(rèn)為是最大的)清楚地來源于自然科學(xué)，數(shù)學(xué)方法滲透和支配著自然科學(xué)的許多“ 理論 ”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物 理學(xué) 方法，已愈來愈成為該學(xué)科成功與否的主要標(biāo)準(zhǔn)。確實，整個自然科學(xué)一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學(xué)的標(biāo)志，幾乎和科學(xué)進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學(xué)變得更受到化學(xué)和物理滲透，這些化學(xué)是實驗和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學(xué)化的理論物理。

　　有一個甚為特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學(xué)的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質(zhì)，就可能簡化和單一化對事物的看法。

　　因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數(shù)學(xué)所具有的多重現(xiàn)象。無可否認(rèn)，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學(xué)中，某些最為激動人心的靈感來自自然科學(xué)，我將提及兩個最值得紀(jì)念的事實。

　　第一個例子是幾何學(xué)。幾何學(xué)是古代數(shù)學(xué)中的一個主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗的，它開始成為一門學(xué)科并不像當(dāng)今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學(xué)”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學(xué)脫離經(jīng)驗向前跨出一大步的標(biāo)志，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現(xiàn)代絕對的公理化對嚴(yán)格性的要求，當(dāng)然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無疑是經(jīng)驗的學(xué)科，如力學(xué)和熱力學(xué)，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們 時代 的經(jīng)典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質(zhì)部分都是很像Euclid的。當(dāng)然在所有這些例子中，提到的公設(shè)都是以支持這些定理的物理考察、實驗論證作為后盾的。但是人們可以論證：在幾何學(xué)獲得兩干多年的穩(wěn)定和權(quán)威之前(這種權(quán)威是理論物理的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)所缺乏的)，特別從古代的觀點來看，提出一種類似于Euclid的解釋是可能的.

　　盡管自Euclid以來，在使幾何學(xué)與經(jīng)驗脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學(xué)的討論提供了這方面的一個好的說明。它也對數(shù)學(xué)思想的矛盾狀態(tài)提供了一種說明，盡管這種討論大部分發(fā)生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設(shè)”是否為其他公設(shè)的推論的純粹邏輯 問題 ;形式上的論戰(zhàn)由Kl Ein的純粹數(shù)學(xué)的典范作品所 總結(jié) 。他證明了一歐氏平面，可以通過形式地重新定義某些基本概念而成為非歐平面。這里從開始到結(jié)束，都還是由經(jīng)驗促進的。所有歐氏公設(shè)的原始根據(jù)顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經(jīng)驗的刻畫，為什么只有第五公設(shè)會有問題呢?這種撇開所有數(shù)學(xué)的邏輯 分析 ，堅持必須由經(jīng)驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數(shù)學(xué)家高斯提出的，后來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Kl EIn把它變得更為抽象。然而我們今天所考察的關(guān)于最初爭論的形式上結(jié)果，不管是經(jīng)驗的或者物理學(xué)的，都已有定論。廣義相對論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對關(guān)于幾何學(xué)相互關(guān)系的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學(xué)家處理成為完全非經(jīng)驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學(xué)思想;因此，Hilbert在公理幾何學(xué)和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數(shù)學(xué)分析。微積分是近代數(shù)學(xué)的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認(rèn)為是過高的。盡管我認(rèn)為它的確定比現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術(shù)上的進步。

　　微積分的起源顯然是 經(jīng)驗的，Kepler嘗試著做的最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗的幾何學(xué)，而不是Euclid以后的那種幾何學(xué)，Kepler是完全知道這些的。Newton和L Eibniz的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實起源于物 理學(xué) 。Newton發(fā)明的“流數(shù)”運算，本質(zhì)上是為了力學(xué)。事實上，這兩門學(xué)科，微積分和力學(xué)，是由它們或多或少地結(jié)合在一齊而得到 發(fā)展 的。微積分的最初的一些陳述，數(shù)學(xué)上甚至可以是不嚴(yán)格的。一個不精確的半物理的陳述，是Newton以后一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述!這一時期數(shù)學(xué) 分析 取得了某些最重要的進步,而這種不精確性不能適應(yīng)于基礎(chǔ)!這時期的某些主導(dǎo)的數(shù)學(xué)精神顯然是不嚴(yán)格的，如Euler;但是另外一些數(shù)學(xué)家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。這種發(fā)展極為含混和模糊，它和經(jīng)驗的關(guān)系，確實不是按照我們(或Euclid)提出的抽象的和嚴(yán)格的想法那樣。但是并沒有數(shù)學(xué)家想排斥它。那個時期確實也產(chǎn)生了第一流的數(shù)學(xué)。即使在本質(zhì)上是由Cauchy重建的嚴(yán)格性盛行之后，一種特殊的半物理 方法 在Riemann那里仍然得到了復(fù)萌。Riemann的 科學(xué) 的個性本身就是一個數(shù)學(xué)的兩重性的光輝榜樣，這些可以在Riemann和W EIerstrass的爭論中見到，如果我詳細地列出這些，恐怕會使技術(shù)細節(jié)敘述得過分多了。自Weierstrass以來，分析數(shù)學(xué)似乎變得完全抽象、嚴(yán)格和非經(jīng)驗了，其實這也不是絕對真實的。在最近兩代人中發(fā)生的有關(guān)數(shù)學(xué)和邏輯的“基礎(chǔ)”的爭論，驅(qū)散了許多關(guān)于這方面的錯誤的幻想。

　　這為我?guī)砹说谌齻€例子，它和上述爭論的判斷是有關(guān)的，但是這個例子更多地是論述數(shù)學(xué)與 哲學(xué) 或認(rèn)識的關(guān)系，而不是數(shù)學(xué)與 自然 科學(xué)的關(guān)系，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念并不是不可改變的。嚴(yán)格性概念的可變性表明：在數(shù)學(xué)抽象之外的某些事物，作為補償不足必須進入數(shù)學(xué)。在分析關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭論時，我一直不能使自己確信：這種說法一定有利于外部成分的經(jīng)驗性質(zhì)，盡管在討論的某些言詞上，對這樣一種說明的支持是十分強有力的，但是我并沒有把它看作是絕對地不可爭議的。然而有兩件事是清楚的。第一，已經(jīng)引入某些非數(shù)學(xué)事物，這是本質(zhì)的，不管它與經(jīng)驗科學(xué)或者哲學(xué)或者與兩者如何 聯(lián)系，它的非經(jīng)驗的特點，僅當(dāng)人們假設(shè)哲學(xué)(更為專門的認(rèn)識論)能夠獨立于經(jīng)驗而存在時才能使人注意(這個假設(shè)僅是必要的而不是充分的)。第二，不顧關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭論可能作出的最好解釋，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗來源是受到如我們較早提到的例子(幾何學(xué)和微積分)的強有力地支持的。在分析數(shù)學(xué)嚴(yán)格性概念的可變性時，我希望主要強調(diào)的是上面已談及的“基礎(chǔ)”的論爭。但是，我喜歡首先簡要地考察 問題 的第二方面。盡管這方面也能加強我的論證，但是我把它看作第二位的，因為它的結(jié)論的終極性比“基礎(chǔ)”論證的分析要少，我正在把這個歸諸于數(shù)學(xué)“風(fēng)格”的改變。大家知道，寫出的數(shù)學(xué)證明的風(fēng)格已經(jīng)經(jīng)歷了相當(dāng)大的起落，說起落比趨向要好一點，因為在某些方面，當(dāng)代作者和18世紀(jì)或19世紀(jì)的某些作者之間的差別比當(dāng)代的作者和Euclid之間的差別要更為大一些。此外，另一方面，它們有著值得注意的經(jīng)久不變的東西。在有些呈現(xiàn)了某些差別的領(lǐng)域，無需引進任何新的思想，它們的主要差別，就可能消除。但是在許多場合，這些差別是如此的廣泛，以致使人開始懷疑：在這種分歧的道路上，差別是否能僅僅由作者的風(fēng)格、試驗和 教育 上的差別來說明呢?他們實際上在構(gòu)成數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性方面是否具有同樣的思想呢?最后，在極端的情況下(例如：上面所說的18世紀(jì)后期分析方面的許多 工作)，差別既是本質(zhì)的，如果完全只是為了有助于新的和意義深遠的已經(jīng)發(fā)展了一百多年的 理論 的話，它又是可以補救的，有些按此種不嚴(yán)格方式工作著的數(shù)學(xué)家(或者他們的某些對此持批評態(tài)度的同輩人)是意識到它們?nèi)狈?yán)格性的。或者更為客觀地說：他們關(guān)于什么是數(shù)學(xué)程序的想法是愿意遵循我們提出的觀點的，但他們的行動卻并非如此。但是另一些人，例如：這時期的最偉大的學(xué)者Euler似乎堅定地持有自己的標(biāo)準(zhǔn)，并且一直在按他自己標(biāo)準(zhǔn)行事。

　　但是我不想進一步強調(diào)這件事。我將回到剛才停下的關(guān)于“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)"的論爭方面去。在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，抽象數(shù)學(xué)的一個新分支，G.Cantor的集合論，引出了困難。即某些推理引向了矛盾;當(dāng)這些推理并不處于集合論的中心的和“普適”的地位時，總比較容易根據(jù)某些形式的標(biāo)準(zhǔn)消除它，但是為什么集合論的后繼部分比集合論自身更可信這是不清楚的。除了事后看到它們事實上引向災(zāi)難之外，對什么是先驗的動因，什么是與之一致的 哲學(xué) 特征，人們?nèi)绾螐南胍鉀Q的集合論中去分離出它們也是不清楚的。緊接著對這種情況進行 研究 的主要是Russell和Weyl，后來由Brouwer作出結(jié)論，這些研究表明：不僅集合論，而且大部分 現(xiàn)代 數(shù)學(xué)所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲學(xué)上是要引起異議的。一個較少地具有這種不可預(yù)料的特點的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)”是“直覺主義”，它是由Brouwer 發(fā)展 的。但是按這種方式，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，特別是在 分析 數(shù)學(xué)中，百分之五十以上的最有生機的部分或者要被“清除”掉，或者將變得無效了，或者必須補加某些更為復(fù)雜的考察來進行論證。后一過程，常常使有效性的一般性和推導(dǎo)的漂亮方面會有所減色。但是Brouwer和Weyl認(rèn)為：根據(jù)這些思想去修正數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念是必要的。

　　不可能過高地估計這些事情的意義。在20世紀(jì)30年代，有兩位持第一種態(tài)度的數(shù)學(xué)家實際上提出了：數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性概念和怎樣構(gòu)成一個精確證明的觀念應(yīng)該是可以改變的!下列的展開是值得注意的：

　　1.僅有很少的數(shù)學(xué)家，在他們自己日常 工作中，愿意接受新的，苛刻的標(biāo)準(zhǔn)。盡管很多數(shù)學(xué)家稱頌Weyl和Brouwer的基本想法是正確的，但是他們自身繼續(xù)不受干涉地工作著，即按“老”的容易的方式搞他們自己的數(shù)學(xué)。

　　2.Hilbert追隨著下面這個天才的思想去論證“經(jīng)典”的(即直覺主義以前的)數(shù)學(xué)：即使在直覺主義系統(tǒng)中，也可以對經(jīng)典數(shù)學(xué)是如何運算的給出嚴(yán)格的說明。也就是說人們可以描述經(jīng)典系統(tǒng)是如何工作的，盡管人們不能論證這種工作。因此有可能直覺主義地證明：經(jīng)典的程序決不可能引向矛盾。顯然這樣的證明是很困難的，但是對于怎樣才能達到它，有著某些啟示。按這個方案進行工作，有可能提供一個在與直覺主義系統(tǒng)相反的基礎(chǔ)下證明經(jīng)典數(shù)學(xué)的最為值得重視的證明。至少，這個解釋在大多數(shù)數(shù)學(xué)家愿意接受的數(shù)學(xué)哲學(xué)系統(tǒng)中將是合法的!

　　3. 在試圖建立這個規(guī)劃的大約十年之后，G6del作出了最為值得銘記的結(jié)果。這個結(jié)果，如果沒有某些附加的不引起誤解的說明，那是不能作絕對精確的陳述的。它的基本 內(nèi)容 是這樣的：如果一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)并不引向矛盾，那么這件事實，使用該系統(tǒng)的程序是不可證明的。GOdel的證明滿足數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的最嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)——直覺主義的標(biāo)準(zhǔn)。它對Hilbert綱領(lǐng)的 影響 作用引起了某些爭論，不過說理太技術(shù)化了。我現(xiàn)在的觀點也和許多人一樣，認(rèn)為G6del已經(jīng)證明了Hilbert的綱領(lǐng)本質(zhì)上是無用的。

　　4.在Hilbert或Brouwer意義之下論證經(jīng)典數(shù)學(xué)的主要想法已經(jīng)過去了。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家決定使用任意的系統(tǒng)?？傊?jīng)典數(shù)學(xué)過去曾產(chǎn)生的結(jié)果既是雅致的又是有用的。即使人們不能絕對地確定它的現(xiàn)實性，但是把它作為基礎(chǔ)還是穩(wěn)妥的，如像 電子 的存在那樣。因此，如果人們愿意接受 科學(xué) ，人們就同樣能接受經(jīng)典的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，甚至對直覺主義的某些最初的擁護者來說，這樣的觀點也成為可接受了。當(dāng)前關(guān)于“基礎(chǔ)”的論爭，確實不太緊湊了，但是，經(jīng)典系統(tǒng)將被大多數(shù)人而不是少數(shù)人拋棄的想法，似乎最不受歡迎。

　　我對這個論爭的沿革，已經(jīng)作了如此詳細介紹，因為我想這是最謹(jǐn)慎的對數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性是不可改變的說法的異議。這發(fā)生在我們自身的 時代 ，我慚愧地知道自己關(guān)于絕對的數(shù)學(xué)真理性看法，在這一時期是怎樣容易地改變的，并且是怎樣相繼地改變了三次的。

　　我希望上述占了我文章一半篇幅的三個例子已足以說明許多最好的靈感來自于 經(jīng)驗。很難相信，存在著與人類所有經(jīng)驗相聯(lián)的、絕對的、不可變動的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念。關(guān)于這個 問題 ，我企圖采取一種低姿態(tài)，不管你對 哲學(xué) 或認(rèn)識論持何種偏愛，任何一個了解數(shù)學(xué)的人，都會實際感受到一種經(jīng)驗，它很少會支持這樣的假設(shè)：存在一個先驗的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念。然而，我的文章還有另外一事，現(xiàn)在我試圖轉(zhuǎn)向這部分。

　　對任何數(shù)學(xué)家來說，很難相信數(shù)學(xué)是一門純粹經(jīng)驗 科學(xué) ，或者說，所有數(shù)學(xué)概念都起源于經(jīng)驗主體。首先讓我們來考察陳述的第二部分。 現(xiàn)代 數(shù)學(xué)中有各種各樣重要部分，它的經(jīng)驗來源是不可追溯的?；蛘哒f，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經(jīng)驗根源之后，就面貌全非了。代數(shù)符號是為了數(shù)學(xué)本身的使用而發(fā)明的。當(dāng)然也可以合理地斷言：它加強了與經(jīng)驗的 聯(lián)系，但是，現(xiàn)代的抽象代數(shù)，已經(jīng)愈來愈朝著與經(jīng)驗很少相聯(lián)的方向 發(fā)展 。關(guān)于拓?fù)湟部梢赃@樣講。在所有這些領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家主觀上的成功標(biāo)準(zhǔn)和作用價值，是自身相容、符合美學(xué)和脫離(或幾乎脫離)經(jīng)驗(關(guān)于這些，我將進一步敘述)。在集合論中，這更為明顯，一個無窮的“冪”和“序”，可以是有限數(shù)概念的推廣，但是在他們的無限形式中(特別是“冪”)，它們和這個世界很難有任何聯(lián)系。如果我不想避免某些技巧，我能夠用數(shù)集 理論 作為例子來詳細地敘述這一點。“選擇公理”問題，無限“冪”的“可比較性”，“連續(xù)統(tǒng)”問題等等，也是如此。同樣的評述可以 應(yīng)用 到實函數(shù)論和實點集論：盡管它們可以被設(shè)想成是抽象的，不可應(yīng)用的學(xué)科，并且按這種精神來看，幾乎總是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一個世紀(jì)之后，卻變得對物 理學(xué) 十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應(yīng)用的精神。

　　所有這種情況，以及它們的各種組合的事例可以不斷重復(fù)，但 是，我想轉(zhuǎn)到我前面指出過的第一方面去：數(shù)學(xué)是一門經(jīng)驗科學(xué)嗎?或者更精確地說，數(shù)學(xué)真的是按經(jīng)驗科學(xué)那樣 實踐的嗎?或者， 更一般地說：數(shù)學(xué)家和他的課題的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系是什么?他向往的成功標(biāo)準(zhǔn)是什么?什么 影響 、什么考慮在控制和指引著他的努力呢?

　　然后，讓我們來看，數(shù)學(xué)家常規(guī)的 工作 方法 和 自然 科學(xué)家工作方法的差別在哪里。這種差別的持續(xù)，顯然影響了從理論學(xué)科到實驗學(xué)科，繼而從實驗學(xué)科到描述學(xué)科之間的差別。因而讓我們把數(shù)學(xué)與最相近于數(shù)學(xué)范疇的學(xué)科——理論學(xué)科作一比較。讓我們在這里選取一個與數(shù)學(xué)最相近的學(xué)科——理論物理。數(shù)學(xué)和理論物理實際上有著許多共同之處。正如我前面已說過的，Euclid幾何系統(tǒng)是經(jīng)典力學(xué)公理描述的原型。類似的現(xiàn)象是熱力學(xué)的陳述，充滿著如同Maxwell的描述電動力學(xué)系統(tǒng)，以及狹義相對論的句子。此外認(rèn)為理論物理不管是分類的還是綜合的，都不是解釋現(xiàn)象的態(tài)度，今天已為大多數(shù)理論物理學(xué)家所接受。這意味著，這理論成功的標(biāo)準(zhǔn)，只需看一看它是否能建立一個簡單的和雅致的，分類的或綜合的能概括許多現(xiàn)象的框架;這些現(xiàn)象如果沒有這個框架將會顯得復(fù)雜和參差不齊的，進而看它是否能概括沒有考察到的或者提出框架 時尚 不知曉的現(xiàn)象(這后面兩種說法代表一個理論的統(tǒng)一性和預(yù)見力)。現(xiàn)在展示在這里的標(biāo)準(zhǔn)——顯然極大地擴充了美學(xué)的性質(zhì)，由于這個理由，它和你將要看到的對數(shù)學(xué)來說幾乎完全是美學(xué)的成功的標(biāo)準(zhǔn)是很密切相聯(lián)的。因此，我們現(xiàn)在可以把數(shù)學(xué)和與它最相近的自然科學(xué)作比較，與我想我已說明了的和數(shù)學(xué)有許多共同之處的理論物理相比較。然而在實際的慣用的方法中差別是巨大的和基本的，理論物理的目標(biāo)主要來自“外界”，大部分是由于實驗物理學(xué)的需要。他們幾乎總是起因于想解決某一難題，預(yù)見和協(xié)調(diào)的成功通常會跟著到來。這看來是相似的，進展(預(yù)見和協(xié)調(diào))來自 研究 過程，這種研究對解決某些原先存在的難題是必然要經(jīng)歷的。理論物理中的一部分工作是為了探索某種障礙，這種障礙的“突破”提供了發(fā)展，如我已提及的，這些難題通常源于實驗;但是有時它們卻是可接受的理論本身中各部分之間的不協(xié)調(diào)之處，當(dāng)然，例子也是不少的。

　　Michelson實驗導(dǎo)致狹義相對論，某些電離電位和光譜結(jié)構(gòu)的難題導(dǎo)致量子力學(xué)，這些就是第一種情況的例子;狹義相對論和Newton引力 理論 之間的沖突導(dǎo)致廣義相對論，這是第二種情況的例子，這里從任何方面看，理論物理的 問題 都是客觀地給定的，而作為衡量成功的標(biāo)準(zhǔn)，如我在上面所指出的，主要是美學(xué)的。但是也有一部分，我們上面提及過的具有基本的“突破”的問題，很難說它起源于客觀實在。據(jù)此可見，理論物理的課題幾乎各個時期都是非常集中的，一切物 理學(xué) 家的最重要的努力都集中在一、二個十分尖銳的領(lǐng)域，1920年代和1930年代初，集中在量子理論，1930年代后半期集中在基本粒子和核結(jié)構(gòu)方面就是一些例子。

　　總的說來，數(shù)學(xué)的情況就不同了。由于在特點、風(fēng)格、目標(biāo)和 影響 方面相互之間廣泛的差別，數(shù)學(xué)被分成許多分支。它顯得和理論物理極為集中的情況十分相反。今天大多數(shù)物理學(xué)家仍然需要具備有關(guān)他的課題的有用知識一半以上，我懷疑，任何一個現(xiàn)在在世數(shù)學(xué)家會具備四分之一以上與他的課題有關(guān)的有用知識。在一個數(shù)學(xué)分支中“客觀地”給出的“重要”問題可以相去甚遠。數(shù)學(xué)家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的，然而理論物理的一個“重要”問題常常是一種必須加以解決的一個沖突、矛盾。數(shù)學(xué)家有廣泛的領(lǐng)域供他轉(zhuǎn)換選題，他在選題方面可以有適當(dāng)?shù)淖杂?，而對于決定選題，選題的標(biāo)準(zhǔn)和成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要是美學(xué)的說法是正確的。我感到這個斷言是會引起爭論的，這是不可能“證明”的。有充分的理由可以說，這里的美學(xué)特點甚至比我們前面討論理論物理時所提到的例子還要更為突出。人們期待一條數(shù)學(xué)定理或者理論，不僅要能用簡單的和雅致的方式去描述而且還要能去劃分大量的原先根本不同的各別情況。人們也期待它的構(gòu)造在“美學(xué)上”的“雅致性”和在敘述問題時的自如性，如果你能自如地敘述問題，把握它和企圖解決它，那么某些使人驚奇的探索過程中遇到的曲折會變得容易了等等。如果推導(dǎo)是冗長的或者復(fù)雜的，應(yīng)該存在某些簡單的一般原則，可以用來“說明”復(fù)雜性和曲折性，這些標(biāo)準(zhǔn)顯然就是對任何創(chuàng)造性 藝術(shù) 所提的標(biāo)準(zhǔn)。所有這些和 經(jīng)驗 科學(xué) 相比，在藝術(shù)氣氛方面將更會純粹和簡單。

　　你將會注意到，我不曾提到數(shù)學(xué)與實驗科學(xué)和技術(shù)科學(xué)之間的比較。這里， 方法 上的和一般氣氛上的差別是太明顯了。

　　數(shù)學(xué)概念來源于經(jīng)驗，盡管有時系譜是長遠的曲折的，這種說法是一個適當(dāng)?shù)膶φ胬淼谋平?。真理是太?fù)雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設(shè)想出來后，這個主題開始按它自己特有的活力生長，并且在幾乎完全按美學(xué)動機給出的創(chuàng)造物方面;它將比任何事物，特別是經(jīng)驗科學(xué)來得好。但是，我相信還有問題需要進一步強調(diào)，因為一門數(shù)學(xué)學(xué)科遠離它的經(jīng)驗來源，或者說，如果僅是簡接地來自“現(xiàn)實性”，是由現(xiàn)實激勵生成的第二和第三代學(xué)科的話，這是一個最大的危險。它將變得愈來愈美學(xué)化，愈來愈藝術(shù)化。如果這個領(lǐng)域是由相關(guān)聯(lián)的仍然與經(jīng)驗緊密相聯(lián)的學(xué)科圍繞著的話，或者說，如果這些學(xué)科處于受到特殊的、訓(xùn)練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但是也有一種重大的危險，學(xué)科只沿著遠離根源的流一直持續(xù)展開下去，并且分割成多種沒有意義的分支，學(xué)科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠離經(jīng)驗來源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門數(shù)學(xué)學(xué)科將有退化的危險。開始時，風(fēng)格是古典的，當(dāng)它顯示出怪異時，危險就來了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿著一些特殊進展進入怪異的，以至高度奇異的狀態(tài)，但是細說這些就太技術(shù)化了。

　　在任何事件中，不管它已達到什么樣的階段，對我來說僅有的補救是回復(fù)到源泉去：把它或多或少地重新對應(yīng)到經(jīng)驗概念中去。我相信，這些要求過去是保持學(xué)科的生氣勃勃和有效性的必要條件，今后，它同樣將仍然是正確的。

　　數(shù)學(xué)論文怎么寫篇二

　　數(shù)學(xué)好"玩"

　　摘要：快樂的學(xué)習(xí)是人不斷發(fā)展的前提和基礎(chǔ)。在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)童趣情境，讓課堂生活化;利用童趣語言，讓氛圍活躍化;開發(fā)童趣游戲，讓練習(xí)趣味化。讓孩子擁有快樂、童趣的數(shù)學(xué)課堂。

　　關(guān)鍵詞：童趣;童言;生活化;活躍化

　　中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578(2013)12-0196-01

　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)以學(xué)生的發(fā)展為本，促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展?？鞓返膶W(xué)習(xí)是人不斷發(fā)展的前提和基礎(chǔ)。新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一就是要喚起學(xué)生要學(xué)習(xí)的需求，只有那些符合兒童"玩"的天性的教學(xué)，才能喚起學(xué)生的探究欲，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機。

　　低年級學(xué)生的直觀形象思維強，有意注意時間短，而故事是他們喜聞樂見的，玩游戲又是他們的所好，豐富多彩的活動可以增強數(shù)學(xué)內(nèi)容的趣味性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。因而，在教學(xué)中，可以創(chuàng)設(shè)富有童趣的學(xué)習(xí)情境、采用童趣的語言、加入童趣的游戲"串聯(lián)"和組織"包裝"數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生在玩中學(xué)，學(xué)中玩。這樣，孩子們學(xué)得有趣，學(xué)得愉快，學(xué)得輕松，從而更愿意去親近數(shù)學(xué)。我們應(yīng)當(dāng)不斷探索，讓孩子們在數(shù)學(xué)課堂中遨游，不僅僅是學(xué)數(shù)學(xué)，而是"玩"數(shù)學(xué)，只有讓兒童在課堂上真正活躍起來，覺得數(shù)學(xué)好"玩"，才能以旺盛和高昂的精神狀態(tài)去積極參與學(xué)習(xí)過程。

　　1.創(chuàng)設(shè)童趣情境，讓課堂生活化

　　創(chuàng)設(shè)有趣、有效的教學(xué)情境，可使數(shù)學(xué)變得更鮮活、更有吸引力。課堂教學(xué)中，以學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，熟悉的生活為素材，創(chuàng)設(shè)一種模擬生活的情境，讓學(xué)生在生動、具體、現(xiàn)實的情境中去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、玩數(shù)學(xué)，使他們感到數(shù)學(xué)是可親可近的，變得喜學(xué)、樂學(xué)，更容易掌握數(shù)學(xué)知識和技能，而且可以更好地體驗教學(xué)內(nèi)容中的情感，讓他們感到數(shù)學(xué)就在我們身邊，在不知不覺的情景中展開對數(shù)學(xué)問題的探索，在玩中產(chǎn)生求知的欲望。這樣課堂教學(xué)效率大大提高。

　　例如教學(xué)北師大版二年級下冊《買衣服》時，問：昨天我們一起逛了文具店，知道今天咱們要去哪轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)嗎?今天咱們一起去服裝店看看吧?學(xué)生們一聽，逛街，來了興趣……

　　又如在教學(xué)《小小商店》一課時，課前讓學(xué)生準(zhǔn)備好各種學(xué)習(xí)用品，并在上面貼好價格。在班級里創(chuàng)設(shè)了一個小小商店，讓小朋友自己來當(dāng)營業(yè)員、顧客，充分體驗了如何取幣、付幣、找?guī)?，學(xué)會與人合作，分別體驗1元、5元和10元錢可以購買不同的商品，在這樣的生活情景中，同學(xué)們不僅積極主動地參與，而且培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和解決實際問題的能力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

　　2.利用童趣語言，讓氛圍活躍化

　　課堂教學(xué)離不開教師的語言，在課堂教學(xué)中，無論是數(shù)學(xué)知識的傳遞，還是學(xué)生接受知識情況的反饋，以及師生之間的情感交流等都必須依靠教學(xué)語言。而對低年級學(xué)生來說，讓學(xué)生弄懂一個抽象的數(shù)學(xué)問題，大多時候需要教師的"藝術(shù)"講解。讓看似枯燥無味的數(shù)學(xué)，變得生動有趣。因此，教師語言的處理就顯得非常重要。要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，教師就要用富有童趣化的語言結(jié)合兒童的認(rèn)知特點、興趣愛好，在不影響知識的前提下，對數(shù)學(xué)語言進行加工、修飾，使學(xué)生就易于理解接受。教學(xué)二年級上冊《動物聚會》一課時，教師以故事的形式引入：聽，什么聲音?(放一段聚會的音樂，讓學(xué)生欣賞)學(xué)生馬上來了興致，都認(rèn)真地聽著音樂。教師趁勢說："原來今天動物們在開Part呢!(讓學(xué)生邊聽音樂邊看圖)，請小朋友看看動物們都帶了些啥好吃的呀?"這時學(xué)生的興趣高漲，都爭著說。教師抓住時機又問："看到這么多好吃的，你想知道什么呢?"通過討論交流，有的學(xué)生說："我想知道松果有多少個?"有的學(xué)生說："我想知道小兔帶來了多少個蘿卜?"有的學(xué)生說："我想知道小猴子帶來了多少個桃子?"……教師由此引導(dǎo)孩子將這些問題一一解決。顯然，是由于學(xué)生非常熟悉情境中的生活，所以學(xué)生不僅學(xué)得主動，而且興致盎然。"我一定還會回來的!"這一句灰太狼的口頭禪，相信大家都不會陌生，但是如果在數(shù)學(xué)課堂中加入的話，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性也會跟著調(diào)動起來!例如，教學(xué)100以內(nèi)的加減法豎式計算中，出示錯誤的例題，說："灰太狼來考考大家了!"等學(xué)生把錯都糾正過來后，就學(xué)著灰太狼的語氣說："你們這么聰明啊!我一定還會回來的!"

　　3.開發(fā)童趣游戲，讓練習(xí)趣味化

　　當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受應(yīng)試教育的影響，機械重復(fù)的練習(xí)，枯燥乏味的練習(xí)，煩瑣的死記硬背，基本上無思維價值的練習(xí)還很多，加重了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，造成學(xué)生對數(shù)學(xué)練習(xí)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩情緒，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生生動活潑、自由地發(fā)展。要克服這些弊端，適應(yīng)素質(zhì)教育的需要，設(shè)計數(shù)學(xué)練習(xí)時首先應(yīng)考慮是否有利于促進學(xué)生的發(fā)展。在促進學(xué)生發(fā)展方面，趣味性和開放性的練習(xí)有著不可替代的作用。雖說練習(xí)不僅能檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，而且能進一步加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解和掌握，為日后學(xué)習(xí)打好扎實的基礎(chǔ)。一種獨特的練習(xí)形式，能達到事半功倍的效果，而且能使學(xué)生感到學(xué)習(xí)的快樂。例如，在鞏固學(xué)習(xí)加、減混算時，我就問學(xué)生： "同學(xué)們，坐過公共汽車嗎?"同學(xué)們齊聲回答："乘過。""好，下面我們來玩'乘汽車'的游戲。""瞧，嘀嘀，公交車來了!請6位學(xué)生上來乘汽車，到站后下去3人，又上來2人。"學(xué)生通過看到的情境，從中明白：上車了，車上的人就多了，下車了，而車上的人也就相應(yīng)地少了!馬上能順利地編出兩步計算的生活中的數(shù)學(xué)題，計算就更不在話下了。這樣的練習(xí)自然貼切，趣味猛增，牢牢吸引住學(xué)生的注意力，讓學(xué)生的思維活動同教師的講課交融在一起，在游戲活動中玩的輕松、愉快、有效地掌握了知識。

　　教學(xué)《小小養(yǎng)殖場》一課，為了讓學(xué)生更加深刻的領(lǐng)悟"多一些、少一些、多得多、少得多"的相對意義，我設(shè)計了猜數(shù)游戲，讓學(xué)生互相從同桌所敘述的描述語言中，依據(jù)多少比較的提示猜出數(shù)字。一人猜數(shù)，其他孩子語言提示。學(xué)生甲：我想了一個兩位數(shù)。學(xué)生乙：是20嗎?學(xué)生甲：不是，比20多得多。學(xué)生乙：是70吧。學(xué)生甲：比70少一些。……游戲場景為學(xué)生靈活的掌握和運用所學(xué)知識提供了良好空間，使學(xué)生無拘無束的從不同的立場中獲得廣泛的學(xué)活動經(jīng)驗。

　　總之，在數(shù)學(xué)課堂中我們要融入更多的富有童趣的教學(xué)情境、設(shè)計出與兒童喜聞樂見的教學(xué)游戲，讓孩子們在"玩"中學(xué)，"趣"中練，感受數(shù)學(xué)課堂的神奇魅力，對數(shù)學(xué)課產(chǎn)生興趣，并鼓勵和幫助他們學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握更多知識。