如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力
內(nèi)容提要：逆向思維是一種重要的思維方式，掌握了這種思維方式，可以加深對(duì)知識(shí)的理解，發(fā)展學(xué)生的智力。初中數(shù)學(xué)教學(xué)要從概念、定理、公式、法則的教學(xué)和解題分析、解題運(yùn)算中，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的素質(zhì)。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);逆向思維;培養(yǎng)、訓(xùn)練。
初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，數(shù)學(xué)教學(xué)要著眼于學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，其中“數(shù)學(xué)思考”能力是四大教學(xué)目標(biāo)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的核心。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程不僅僅是知識(shí)的接收、存儲(chǔ)和應(yīng)用過程，更重要的是思維的訓(xùn)練和發(fā)展過程。然而對(duì)于思維問題，從技術(shù)層面上有很多的分類方法，通常可以分為常規(guī)思維和非常規(guī)思維兩大類。在實(shí)際的學(xué)習(xí)、工作和生活中，圍囿于問題情境和習(xí)慣，人們多習(xí)慣于常規(guī)思維。數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)非常規(guī)思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)也顯得相對(duì)薄弱，沒有形成基本的思維技能和習(xí)慣，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，不利于學(xué)生創(chuàng)造力的發(fā)展。而在非常規(guī)思維中，最基本、最重要的就是逆向思維。下面筆者結(jié)合自己數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，淺談一下逆向思維能力的培養(yǎng)，期以拋磚引，和同行們交流。
一、什么是逆向思維?
所謂逆向思維，就是從與常規(guī)思維相反的方向去認(rèn)識(shí)問題，從對(duì)立的角度去思考問題，尋求解題途徑，解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。利用逆向思維可以加深對(duì)概念、定義、定理、公式、法則、性質(zhì)的正確、深刻的理解和應(yīng)用，可以形成反思和換位思考的思維素質(zhì)，利于學(xué)生分析思維能力的培養(yǎng)和提高，發(fā)展學(xué)生的智力，有效地解決復(fù)雜的問題。
二、怎樣培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力?
初中數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)逆向思維的材料很多，如概念、定義、定理、公式、法則、運(yùn)算與逆運(yùn)算，分析與綜合等，都為逆向思維提供了豐富的素材，因此，對(duì)逆向思維的培養(yǎng)要貫穿于課堂教學(xué)的全部過程中，讓學(xué)生養(yǎng)成面對(duì)問題就會(huì)自覺進(jìn)行逆向思維的習(xí)慣，具體可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：
1、在概念、定義、定理、公式、法則的學(xué)習(xí)中進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練
在數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式、法則的學(xué)習(xí)中，要教學(xué)生善于逆向和從反面去理解思考概念、定義、定理的內(nèi)涵，重視互逆概念的比較，重視公式互逆使用，要形成逆向思考的習(xí)慣。
(1)、在概念、定義的應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維
數(shù)學(xué)中的很多概念都要教學(xué)生從正、逆兩方面去思考和理解，如絕對(duì)值的概念，“正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”除了從正向去理解計(jì)算，還要教學(xué)生逆向去理解，如“計(jì)算︱5︱=?︱-5︱=?”,這是從正向去理解計(jì)算，“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5，這個(gè)數(shù)是多少?”這是逆向去理解計(jì)算。又如對(duì)一元二次方程根的概念的理解，除了正向理解，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0;還要從反向理解，若ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,且x1≠x2,則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根。當(dāng)我們從正逆兩個(gè)方面理解了這個(gè)一元二次方程的根的定義后，再來做下面的這個(gè)題：
例1、 (1)、若m、n是方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根，求m2+n2的值。
(2)、若p2-3p+1=0，q2-3q+1=0，求p2+q2的值。
只需正用或逆用定義，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系便可以迎刃而解了。
初中數(shù)學(xué)中像這樣必須從正、逆兩方面去思考，才能準(zhǔn)確理解把握的定義、概念還有很多，如平方根定義;一次函數(shù)中k、b對(duì)圖像分布的影響，一元二次函數(shù)中a、b、c對(duì)圖像開口方向、與x軸、y軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸的影響。這里不再一一列舉。
(2)、在定理、推論、法則的應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維
在幾何教材中，有關(guān)圖形的性質(zhì)與判定的定理很多都是互為逆命題的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常常是把握不住題設(shè)與結(jié)論，導(dǎo)致不能正確的應(yīng)用定理來說理，教學(xué)時(shí)要給學(xué)生講清學(xué)習(xí)定理的方法，弄清定理的題設(shè)和結(jié)論，正確區(qū)分原命題和逆命題，要讓學(xué)生知道原命題正確，逆命題不一定正確。逆向思維對(duì)于定理的學(xué)習(xí)很重要，熟練地應(yīng)用逆向思維能很好的學(xué)習(xí)定理，能有效地進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練。初中數(shù)學(xué)中這樣的定理有很多如“勾股定理和它的逆定理”、“平行線的性質(zhì)定理和它的判定定理”、“角平分線性質(zhì)定理和判定定理”、“線段的中垂線性質(zhì)定理和判定定理”……尤其是在同一問題中反復(fù)應(yīng)用正、逆定理的情形更能訓(xùn)練逆向思維。
例2、已知：四邊形ABCD中， B
AB 、BC、CD、AD的長(zhǎng) C
分別為13、3、4和12，
∠BCD=900
求：四邊形ABCD的面積 A D
分析：本題連結(jié)BD后，在△BDC中應(yīng)用勾股定理可以求出BD的長(zhǎng)，這時(shí)候在△ABD中，再應(yīng)用勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則兩個(gè)直角三角形的面積和就是四邊形ABCD的面積了。 A
例3、已知：△ABC中，DE//BC，
∠B=∠DEN D E
求證：DB=EN
B N C
分析：在圖中DB和EN是一個(gè)四邊形的對(duì)邊，易想到去證明四邊形DBNE為平行四邊形，根據(jù)定義得出DB=EN。要這樣去證明，因?yàn)橐呀?jīng)有DE∥BC了，所以只需要證明BD//EN。要證明BD//EN，這又需要去證明∠B=∠ENC。而已知∠B=∠DEN ,因此，我們只需去證明∠DEN=∠ENC就可以了，這從已知DE∥BC便可以得出。
在這兩個(gè)例題中，就分別應(yīng)用了勾股定理和它的逆定理、平行線的性質(zhì)定理和判定定理，充分體現(xiàn)了互逆思維的應(yīng)用。
在代數(shù)教材中這樣的體現(xiàn)出互逆思維的定理也很多，如一元二次方程的判別式定理，根與系數(shù)的關(guān)系定理。教學(xué)中一定要體會(huì)出互逆思維的層次，讓學(xué)生切實(shí)感受到正向和逆向的兩種思維過程。
(3)、在公式的應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維
初中數(shù)學(xué)有很多公式，都必須要求學(xué)生能熟練的從正、逆兩方面去應(yīng)用，如二次根式中的公式( )2 = a與a = ( )2 ， = . 與 . = 等，指數(shù)中的公式am.an=am+n與am+n=am.an ，(ab)n=anbn與an.bn=(ab)n等，多項(xiàng)式乘法中的公式(a+b)(a-b)=a2-b2與a2-b2=(a+b)(a-b) ，(a±b)2=a2±2ab+b2與a2±2ab+b2=(a±b)2等，還有小學(xué)就開始學(xué)習(xí)接觸的加法交換律，結(jié)合律，乘法結(jié)合律，交換律、分配律等，這些公式應(yīng)用之廣之多。
例4、已知am=3,an=2，求a 2m+3n的值。
分析：本題只需逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)就可以解決。a2m+3n=(am)2.(an)3=32.23=72
例5、計(jì)算(a+b-c)2-(a-b+c)2
分析：本題按多項(xiàng)式乘法的常規(guī)思路，則要分別把(a+b-c)2和(a-b+c)2展開后再去括號(hào)相減，這樣做就比較繁瑣。如果逆向思考，先用平方差公式分解，則非常簡(jiǎn)單。
還有在三角形面積公式、圓面積公式、扇形面積、弧長(zhǎng)等公式的應(yīng)用中，已知一些量求另一些量，也體現(xiàn)著逆向思維，教學(xué)中除了通過向?qū)W生展示對(duì)公式的分析、理解、運(yùn)用，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，還可以編制題組進(jìn)行訓(xùn)練，使學(xué)生感受正向應(yīng)用公式和逆向應(yīng)用公式解題的意義，充分認(rèn)識(shí)正向思考和逆向思考是思維的基本形式。
2、在數(shù)學(xué)方法運(yùn)用中訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維
(1)、應(yīng)用分析法或分析綜合法分析問題訓(xùn)練逆向思維能力
在數(shù)學(xué)解題的分析中，要善于培養(yǎng)學(xué)生雙向思維意識(shí)，當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)逆向思維的重要性的時(shí)候，并不是說正向思維是一種陳舊的思維形式，事實(shí)上，辯證的思維形式應(yīng)是雙向的，正、逆思維是兩種不同卻又互相聯(lián)系的思維形式，逆向思維是建立在正向思維的基礎(chǔ)上的，解題中逆向思維離不開正向思維，若正向思維受阻就應(yīng)考慮逆向思維。這兩種思維方式在解題分析中常常運(yùn)用。要教學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用綜合法和分析法分析問題，通過對(duì)問題應(yīng)用分析法分析，或者是綜合法和分析法同時(shí)應(yīng)用去分析，感受逆向思維的應(yīng)用，培養(yǎng)逆向思維能力。綜合法是從問題的條件出發(fā)去分析問題，執(zhí)因索果，而分析法則是從問題的結(jié)論出發(fā)，執(zhí)因索果，由此上溯，用兩種方法對(duì)同一問題進(jìn)行分析，采取兩頭湊的方法最能讓學(xué)生感受到逆向思維的好處。
例6、已知：如圖四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
AC⊥BD于P，CE=ED，
OF⊥AB于F。
求證：PE=OF
分析：如圖，因∠CPD=900，CE=ED，所以CD=2PE;又因OF⊥AB，所以F是AB的中點(diǎn)，因此，若作直徑AG，并連結(jié)BG，則有BG=2OF。于是。要證PE=OF，只需證CD=BG即可。但CD與BG同為⊙O的弦，因而又只需證它們所對(duì)的圓周角∠CAD=∠BAG就行了。又∠APD和∠ABG都是直角，故要證∠CAD=∠BAG，只要能證明∠ADP=∠AGB就成。然而，這是已知的題設(shè)和作圖所能保證的，到此分析完畢。
(2)、應(yīng)用反證法和逆推法去思考和證明，訓(xùn)練逆向思維能力
數(shù)學(xué)中有很多問題從正面去思考解決常常很困難，如果我們改變思維方式，“正”難則“逆”，從反面(向)入手，常有意想不到的效果。反證法和逆推法就是很好的方法，它們都體現(xiàn)了逆向思維，認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)這些方法能很好的培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。
例7、“求作一個(gè)方程使它的根是—2和3”
分析：學(xué)生學(xué)習(xí)了用分解因式法解一元二次方程后，如果對(duì)用十字交叉法解一元二次方程熟悉了，運(yùn)用逆推的方法去逆向思考，學(xué)生便很快的就會(huì)構(gòu)造出方程(x+2)(x-3)=0，展開后便可以得到x2-x-6=0，它的根就是-2和3。
例8、在平面內(nèi)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么著兩條直線也互相平行。
分析：如果教學(xué)生用反證法從結(jié)論的反面“不互相平行”去逆向思考，那就得到這兩條直線必須相交，一旦相交了就有交點(diǎn)，這樣在平面內(nèi)過一個(gè)點(diǎn)就有兩條直線和第三條直線平行，就與公理“平面內(nèi)過一個(gè)點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行”矛盾，所以假設(shè)不成立。因此假設(shè)的反面“互相平行”就是成立的。
3、在數(shù)學(xué)解題運(yùn)算的訓(xùn)練中讓學(xué)生理解逆向思維
初中數(shù)學(xué)的六種運(yùn)算，加和減、乘和除、乘方和開方及多項(xiàng)式乘法和因式分解，都是互逆的運(yùn)算，都體現(xiàn)著逆向思維，在教學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，要讓學(xué)生理解它們的互逆關(guān)系，靈活的解決問題。
例9、若a>1，a+a-1=3,求a-a-1的值。
分析：對(duì)已知a+a-1=3兩邊平方得a2+2+a-2=9,再配方a2-2+a-2=5即a2-2a.a-1+(a-1))2=5
由此得(a-a-1)-2=5，因?yàn)閍>1,所以a>a-1,所以，由平方根的定義得到a-a-1=√5
在這里的解題運(yùn)算過程中，就從正向和逆向分別應(yīng)用了完全平方公式和零指數(shù)冪公式a0=1,逆向思維得到很好的體現(xiàn)。
例10、(1) 已知∣a-2∣+(b-3)2=0,求代數(shù)式a2+3ab-b3的值。
(2)已知x2+x-1=0，求代數(shù)式2x3+4x2+3的值。
分析：(1)先應(yīng)用非負(fù)數(shù)的知識(shí)，求出a、b后，再直接把a(bǔ)、b的值代入式子就可以求值了，這是用了直接代入的方法。(2)如果用同樣的方法則很繁瑣，如果用和(1)逆向的思維方法，考慮整體代入，先把已知變?yōu)閤2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x(x2+x)+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2(x2+x)+3=5 這里在代入的方法上，一個(gè)是直接代入字母的數(shù)值，另一個(gè)是不求出x的值，而是求出x的代數(shù)式的值，這是互逆的兩種思維方法。
例11、(1) 二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向左平移三個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖像，求b、c的值。
(2)將拋物線y= -(x-1)2+6先向下平移1個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，求平移后的拋物線的解析式。
分析：這兩個(gè)題在題設(shè)和結(jié)論上是互逆的，解題的關(guān)鍵是抓住拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，(1)是從平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1、0)，根據(jù)平移關(guān)系求出原來的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4、-2)，再寫出它的頂點(diǎn)式，改寫成標(biāo)準(zhǔn)解析式，則便知道b、c的值。(2)是從平移前的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(1、6)，根據(jù)平移關(guān)系求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3、5)，再寫出頂點(diǎn)式 改寫成標(biāo)準(zhǔn)解析式即可。從解題思維方法來講，它們恰好是互逆的，體現(xiàn)了逆向思維。類似的問題在函數(shù)中還有很多，如已知函數(shù)解析式去找圖像特征;知道圖像特征去求函數(shù)解析式等;像這樣在解題中體現(xiàn)互逆的思維方法的問題比比皆是，教學(xué)中還可以編制題組對(duì)比訓(xùn)練，在學(xué)生練習(xí)后及時(shí)點(diǎn)撥總結(jié)歸納，讓學(xué)生知其然而知其所以然。
綜上所述，逆向思維在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，靈活地應(yīng)用它，不但可以化簡(jiǎn)解題過程，降低解題難度，巧獲解題結(jié)果，而且對(duì)于鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，是大有裨益的，因此在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們必須有意識(shí)、有計(jì)劃地滲透和強(qiáng)化逆向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高學(xué)生的思維水平。