導數(shù)的定義_導數(shù)的定義式
導數(shù)的定義_導數(shù)的定義式
導數(shù)是微積分的初步知識,是研究函數(shù),解決實際問題的有力工具。以下是學習啦小編分享給大家的關(guān)于導數(shù)的定義以及導數(shù)的定義式，希望能給大家?guī)韼椭?
導數(shù)的定義：
如果函數(shù)f(x)在(a,b)中每一點處都可導，則稱f(x)在(a,b)上可導，則可建立f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記為f'(x)
如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導，且在區(qū)間端點a處的右導數(shù)和端點b處的左導數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。
導數(shù)的定義式：
1、應(yīng)用
如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有f''(x)(即二階導數(shù))>0恒成立，那么對于區(qū)間I上的任意x,y，總有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)<0成立，那么上式的不等號反向。
2、意義
(1)斜線斜率變化的速度
(2)函數(shù)的凹凸性。
二階導數(shù)是比較理論的、比較抽象的一個量，它不像一階導數(shù)那樣有明顯的幾何意義，因為它表示的是一階導數(shù)的變化率。在圖形上，它主要表現(xiàn)函數(shù)的凹凸性，直觀的說，函數(shù)是向上突起的，還是向下突起的。
幾何的直觀解釋：如果如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有f''(x)(即二階導數(shù))>0恒成立，那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
導數(shù)的分類：
一、基本函數(shù)的導函數(shù)
C'=0(C為常數(shù))
(x^n)'=nx^(n-1) (n∈R)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(e^x)'=e^x
(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1)
[logax)]' = 1/x*(logae)(a>0且a≠1)
[lnx]'= 1/x
二、和差積商函數(shù)的導函數(shù)
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]
三、復合函數(shù)的導函數(shù)
設(shè) y=u(t) ，t=v(x)，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)
例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定義
設(shè)函數(shù)在點x。的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量Δx(點仍在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy;如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點x。處的導數(shù)，記為，即，也可記作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。
若將一點擴展成函數(shù)()在其定義域包含的某開區(qū)間內(nèi)每一個點，那么函數(shù)()在開區(qū)間內(nèi)可導，這時對于內(nèi)每一個確定的值，都對應(yīng)著()的一個確定的導數(shù)，如此一來每一個導數(shù)就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱作原函數(shù)()的導函數(shù)，記作：'或者f′(x)。
導函數(shù)的定義表達式為：
值得注意的是，導數(shù)是一個數(shù)，是指函數(shù)()在點0處導函數(shù)的函數(shù)值。但通常也可以說導函數(shù)為導數(shù)，其區(qū)別僅在于一個點還是連續(xù)的點。
幾何意義
1.代表函數(shù)上某一點在該點處切線的斜率。
如右圖所示，設(shè)0為曲線上的一個定點，為曲線上的一個動點。當沿曲線逐漸趨向于點0時，并且割線0的極限位置0存在，則稱0為曲線在0處的切線。
若曲線為一函數(shù) = ()的圖像，那么割線0的斜率為：
當0處的切線0，即0的極限位置存在時，此時，，則0的斜率tanα為：
上式與一般定義中的導數(shù)定義是完全相同，則'(0) = tanα，故導數(shù)的幾何意義即曲線 = ()在點0(0,(0))處切線的斜率。
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