集合的概念集合的定義是什么
集合的概念集合的定義是什么
集合論的基礎是由德國數學家 康托爾在19世紀70年代奠定的,經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力,到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位,可以說,現代數學各個分支的幾乎所有成果都構筑在嚴格的集合理論上。集合的定義是什么?以下是學習啦小編為大家整理的關于集合的定義,歡迎大家前來閱讀!
集合的定義
集合(簡稱集)是數學中一個基本概念,它是集合論的研究對象,集合論的基本理論直到19世紀才被創(chuàng)立。最簡單的說法,即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義,集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”,叫作元素。由一個或多個元素所構成的叫做集合。若x是集合A的元素,則記作x∈A。集合中的元素有三個特征:1.確定性(集合中的元素必須是確定的)2.互異性(集合中的元素互不相同。例如:集合A={1,a},則a不能等于1)3.無序性(集合中的元素沒有先后之分。)
集合的概念
集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總成的集體,這些對象稱為該集合的 元素。例如全中國人的集合,它的元素就是每一個中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素,則稱x屬于S,記為x∈S。若y不是集合S的元素,則稱y不屬于S,記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集,含無限個元素的集合叫做無限集。
集合 中不同元素的數目稱為集合 的 基數,記作card( )。當其為有限大時,集合 稱為 有限集,反之則為無限集。
有一類特殊的集合,它不包含任何元素,如 ,我們稱之為 空集,記為 ∅。
設S,T是兩個集合,如果S的所有 元素都屬于T ,即 , 其中符號 稱為包含,即表示由左邊的 命題可以推出右邊的 命題,則稱S是T的 子集,記為 。顯然,對任何集合S ,都有 。
如果S是T的一個子集,即 ,但在T中存在一個 元素 x不屬于S ,即 ,則稱S是T的一個 真子集。
如果兩個集合S和T的元素完全相同,則稱S與T兩個集合 相等,記為S=T 。顯然我們有 其中符號 稱為 當且僅當,表示左邊的 命題與右邊的 命題相互 蘊含,即兩個命題 等價。
并集定義:由所有屬于集合 或屬于集合 的元素所組成的集合,記作 ∪ (或 ∪ ),讀作“ 并 ”(或“ 并 ”),即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。并集越并越多。
交集定義:由屬于 且屬于 的相同元素組成的集合,記作A∩B(或 ∩ ),讀作“ 交 ”(或“ 交 ”),即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。
若 包含 ,則 ∩ = , ∪ =
相對補集定義:由屬于 而不屬于 的元素組成的集合,稱為 關于 的相對補集,記作 - 或 \ ,即 - ={ | ∈ ,且 ∉ '}
絕對補集定義: 關于全集合 的相對補集稱作 的絕對補集,記作 '或∁u( )或~ 。· '= ; ‘=
定義:設有集合 ,由集合 所有子集組成的 集合,稱為集合 的冪集。
定理:有限集 的 冪集的 基數等于2的 有限集 的 基數 次 冪。
數學分析中,最常遇到的實數集的子集是 區(qū)間。
設a,b(a
集合表示法
表示集合的方法通常有三種。
列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如,光學中的三原色可以用集合{紅,綠,藍}表示;由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。
列舉法還包括盡管集合的元素無法一一列舉,但可以將它們的變化規(guī)律表示出來的情況。如正整數集 和整數集 可以分別表示為 和 。
{代表元素|滿足的性質}
設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的,則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合:S={x|P(x)}
例如,由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x =2}。
而有理數集 和正實數集 則可以分別表示為 和 。
N:非負整數集合或 自然數集合{0,1,2,3,…}
N*或 N+:正整數集合{1,2,3,…}
Z: 整數集合{…,-1,0,1,…}
Q: 有理數集合
Q+:正有理數集合
Q-:負有理數集合
R: 實數集合(包括有理數和無理數)
R+:正實數集合
R-:負實數集合
C: 復數集合
∅:空集合(不含有任何元素的集合稱為空集合,又叫空集)
集合特性
給定一個集合,任給一個元素,該元素或者屬于或者不屬于該集合,二者必居其一,不允許有模棱兩可的情況出現。
一個集合中,任何兩個元素都認為是不相同的,即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫,可以使用 多重集,其中的元素允許出現多次。
一個集合中,每個元素的地位都是相同的,元素之間是無序的。集合上可以定義序關系,定義了序關系后,元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言,元素之間沒有必然的序。(參見 序理論)
交換律: ∩ = ∩ ∪ = ∪
結合律: ∪( ∪ )=(A∪ )∪ ∩( ∩ =( ∩ ∩
分配對偶律: ∩( ∪ )=( ∩ )∪( ∩ ) ∪( ∩ )=( ∪ )∩( ∪ )
對偶律:( ∪ )^ = ^ ∩ ^ ( ∩ )^ = ^ ∪ ^
同一律: ∪∅= ∩ =
求補律: ∪ '= ∩ '=∅
對合律: ''=
等 冪律: ∪ = ∩ =
零一律: ∪ = ∩ =
吸收律: ∪( ∩ )= ∩( ∪ )=
德·摩根律(反演律):( ∪ )'= '∩ ' ( ∩ )'= '∪ '
德·摩根律:1.集合 與集合 的交集的 補集等于集合 的補集與集合 的補集的 并集; 2.集合 與集合 的并集的 補集等于集合 的補集與集合 的補集的交集。
容斥原理(特殊情況):
card( ∪ )=card( )+card( )-card( ∩ )
card( ∪ ∪ )=card( )+card( )+card( )-card( ∩ )-card( ∩ )-card( ∩ )+card( ∩ ∩ )
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