數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)
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數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)
一元一次不等式與一元一次不等式組
一. 不等關(guān)系
※1. 一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式
※2. 準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ).
非負(fù)數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0
非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負(fù)數(shù) <===> 不大于0
二. 不等式的基本性質(zhì)
※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用：
(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變，即：
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，
(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：
如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, < span=""></bc, <>
※2. 比較大小：(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)
一般地：
如果a>b，那么a-b是正數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a>b；
如果a=b，那么a-b等于0；反過(guò)來(lái)，如果a-b等于0，那么a=b；
如果a<b，那么a-b是負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a<b；< span=""></b，那么a-b是負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果a-b是正數(shù)，那么a<b；<>
即：
a>b <===> a-b>0
a=b <===> a-b=0
a a-b<0
三. 不等式的解集：
※1.能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個(gè)不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集；求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。
※2.不等式的解可以有無(wú)數(shù)多個(gè)，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同
3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：
用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：
①邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；
②方向：大向右，小向左
四. 一元一次不等式：
※1.只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。
※2.解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程類(lèi)似，當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向。
※3.解一元一次不等式的步驟：
①去分母；
②去括號(hào)；
③移項(xiàng)；
④合并同類(lèi)項(xiàng)；
⑤系數(shù)化為1(不等號(hào)的改變問(wèn)題)
※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)< span=""></b)<>
①當(dāng)a>0時(shí)，解為 ；
②當(dāng)a=0時(shí)，且b<0，則x取一切實(shí)數(shù)；
當(dāng)a=0時(shí)，且b≥0，則無(wú)解；
③當(dāng)a<0時(shí)，解為 。
5. 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類(lèi)似，即：
①審：認(rèn)真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；
②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；
④解：解出所列的不等式的解集；
⑤答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。
六. 一元一次不等式組
※1.定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。
※2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集。如果這些不等式的解集無(wú)公共部分，就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解。（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來(lái)確定。）
※3.解一元一次不等式組的步驟：
(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；
(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。
兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù)，且a<b)< span=""></b)<>
x>b，兩大取較大
x>a，兩小取小
a<x<b，大小交叉中間找< span=""></x<b，大小交叉中間找<>
無(wú)解，在大小分離沒(méi)有解(是空集)
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圖形的平移與旋轉(zhuǎn)
一、平移變換：
1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。
2.性質(zhì)：
（1）平移前后圖形全等；
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行或在同一直線上且相等。
3.平移的作圖步驟和方法：
（1）分清題目要求，確定平移的方向和平移的距離；
（2）分析所作的圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)健點(diǎn)；
（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個(gè)關(guān)健點(diǎn)；
（4）連接所作的各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母；
（5）寫(xiě)出結(jié)論。
二、旋轉(zhuǎn)變換：
1.概念：
在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。
說(shuō)明：
（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定的；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)中心始終保持不動(dòng)。
（3）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)的方向是相同的．
（4）旋轉(zhuǎn)過(guò)程靜止時(shí)，圖形上一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度是一樣的。
旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。
2.性質(zhì)：
（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋角；
（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。
3.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟和方法：
（1）確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；
（2）找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）將圖形的關(guān)鍵點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連接起來(lái)，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，得到這些關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（4）按原圖形順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形。
說(shuō)明：在旋轉(zhuǎn)作圖時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的夾角即為旋轉(zhuǎn)角。
4.常見(jiàn)考法
（1）把平移旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來(lái)證明三角形全等；
（2）利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，設(shè)計(jì)一些題目
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因式分解
一. 分解因式
※1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系：
因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：
(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；
(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘。
二.提公共因式法
※1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
※2.概念內(nèi)涵：
(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；
(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；
(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律。
※3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：
(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò)；
(2)公因式是否提“干凈”；
(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式；提出后；括號(hào)中這一項(xiàng)為+1；不漏掉。
三.公式法
※1.如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。
※2.主要公式：
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)完全平方公式： 圖片
※3.運(yùn)用公式法：
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；
②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；
③二項(xiàng)是異號(hào)。
(2)完全平方公式：圖片
①應(yīng)是三項(xiàng)式；
②其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；
③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍。
※4.因式分解的思路與解題步驟：
(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；
(2)再看能否使用公式法；
(3)用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的；
(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；
(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。
四.分組分解法：
※1.分組分解法：利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法。
圖片
※2.概念內(nèi)涵：
分組分解法的關(guān)鍵是如何分組，要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式。
※3.注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化。
五. 十字相乘法：
※1.對(duì)于二次三項(xiàng)式圖片 ，將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積，圖片 ，圖片 ，且滿(mǎn)足圖片 ，往往寫(xiě)成圖片的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解。
※2. 二次三項(xiàng)式圖片的分解：
圖片
※3.規(guī)律內(nèi)涵：
(1)理解：分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。
(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同，對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p。
4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：
(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；
(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確。
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