八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形單元試題及答案
做八年級數(shù)學單元測試題時，首先要認真審題，看清題意;然后找出各條件之間的相互關(guān)系，理清解題思路，求出答案，一定要認真，馬虎一點就容易出錯。這是學習啦小編整理的八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形單元試題，希望你能從中得到感悟!
八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形單元試題
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
2.如圖所示，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD=DE，連結(jié)BE交CD于點O，連結(jié)AO，下列結(jié)論不正確的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
3.使兩個直角三角形全等的條件是( )
A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等
4.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是( )
A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DC C.BC=DC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D
5.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
6.如圖，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點，下列條件中不能證明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AE B.BD=CE C.BE=CD D.∠B=∠C
7.附圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據(jù)圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等?( )
A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF
8.如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
9.已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2;
?、谌?ang;A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2，
對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是( )
A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①，②都錯誤 D.①，②都正確
二、填空題(共10小題)
10.如圖，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件為 .(答案不唯一，只需填一個)
11.如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是 .(只需寫一個，不添加輔助線)
12.如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 (只寫一個條件即可).
13.如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE(不標注新的字母，不添加新的線段)，你添加的條件是 .
14.如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 .(只需寫出一個)
15.如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，請增加一個條件，使△ABC≌△AED，你添加的條件是 .
16.如圖，BC=EC，∠1=∠2，添加一個適當?shù)臈l件使△ABC≌△DEC，則需添加的條件是 (不添加任何輔助線).
17.如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是 (添加一個條件即可).
18.如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件 ，使得△EAB≌△BCD.
19.如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件 ，就得△ABC≌△DEF.
三、解答題(共11小題)
20.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
21.如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC.求證：
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
22.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：△ABD≌△CAE;
(2)連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.
23.如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.
求證：△ABC≌△AED.
八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形單元試題參考答案
一、選擇題(共9小題)
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【考點】全等三角形的判定.
【分析】首先證明△ABC≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再證明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC.
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中 ，
∴△ABO≌△ADO(SAS)，
∵在△BOC和△DOC中 ，
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
故選：C.
【點評】考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
2.如圖所示，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD=DE，連結(jié)BE交CD于點O，連結(jié)AO，下列結(jié)論不正確的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
【考點】全等三角形的判定;矩形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可證明△AOD≌△EOD，OD為△ABE的中位線，OD=OC，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可.
【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD為△ABE的中位線，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD(SAS);
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC(SAS);
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD;
故B、C、D均正確.
故選A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
3.使兩個直角三角形全等的條件是( )
A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等
【考點】直角三角形全等的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】利用全等三角形的判定來確定.做題時，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證.
【解答】解：A、一個銳角對應相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角形全等，故A選項錯誤;
B、兩個銳角相等，那么也就是三個對應角相等，但不能證明兩三角形全等，故B選項錯誤;
C、一條邊對應相等，再加一組直角相等，不能得出兩三角形全等，故C選項錯誤;
D、兩條邊對應相等，若是兩條直角邊相等，可利用SAS證全等;若一直角邊對應相等，一斜邊對應相等，也可證全等，故D選項正確.
故選：D.
【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法;三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以發(fā)現(xiàn)至少得有一組對應邊相等，才有可能全等.
4.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是( )
A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DC C.BC=DC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法分別進行判定即可.
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
B、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，AC=DC可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
C、已知AB=DE，再加上條件BC=DC，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEC，故此選項符合題意;
D、已知AB=DE，再加上條件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故此選項不合題意;
故選：C.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
5.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】求出AF=CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
B、根據(jù)AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯誤，故本選項正確;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS)，正確，故本選項錯誤;
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
故選B.
【點評】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
6.如圖，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點，下列條件中不能證明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AE B.BD=CE C.BE=CD D.∠B=∠C
【考點】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可.
【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
B、如添BD=CE，可證明AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD;
C、如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件;
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD;
故選C.
【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
7.附圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據(jù)圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等?( )
A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)結(jié)合圖形進行判斷即可.
【解答】解：根據(jù)圖象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根據(jù)圖形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
故選B.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS.
8.如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】本題可以假設A、B、C、D選項成立，分別證明△ABC≌△DEF，即可解題.
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
(1)AB=DE，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故A選項錯誤;
(2)∠B=∠E，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故B選項錯誤;
(3)EF=BC，無法證明△ABC≌△DEF(ASS);故C選項正確;
(4)∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，則△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，故D選項錯誤;
故選：C.
【點評】本題考查了全等三角形的不同方法的判定，注意題干中“不能”是解題的關(guān)鍵.
9.已知△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2，
對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是( )
A.①正確，②錯誤 B.①錯誤，②正確 C.①，②都錯誤 D.①，②都正確
【考點】全等三角形的判定.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判斷①正確;根據(jù)“兩角法”推知兩個三角形相似，然后結(jié)合兩個三角形的周長相等推出兩三角形全等，即可判斷②.
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS)，∴①正確;
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周長相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正確;
故選：D.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判斷兩三角形全等.
二、填空題
10.如圖，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件為 AC=CD .(答案不唯一，只需填一個)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可以添加條件AC=CD，再由條件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上條件CB=EC，可根據(jù)SAS定理證明△ABC≌△DEC.
【解答】解：添加條件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
故答案為：AC=CD(答案不唯一).
【點評】此題主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
11.如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是 AC=DF .(只需寫一個，不添加輔助線)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可.
【解答】解：AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案為：AC=DF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一.
12.如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 ∠B=∠C(答案不唯一) (只寫一個條件即可).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】由題意得，AE=AD，∠A=∠A(公共角)，可選擇利用AAS、SAS進行全等的判定，答案不唯一.
【解答】解：添加∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中，∵ ，
∴△ABE≌△ACD(AAS).
故答案可為：∠B=∠C.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，屬于開放型題目，解答本題需要同學們熟練掌握三角形全等的幾種判定定理.
13.如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE(不標注新的字母，不添加新的線段)，你添加的條件是 AC=AB .
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】添加條件：AB=AC，再加上∠A=∠A，∠B=∠C可利用ASA證明△ABD≌△ACE.
【解答】解：添加條件：AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
故答案為：AB=AC.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
14.如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 CA=FD .(只需寫出一個)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可選擇添加條件后，能用SAS進行全等的判定，也可以選擇AAS進行添加.
【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判斷△ABC≌△DEF.
故答案可為CA=FD.
【點評】本題考查了全等三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一.
15.如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，請增加一個條件，使△ABC≌△AED，你添加的條件是 AE=AB .
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】添加條件AE=AB，根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS證明△BAC≌△EAD.
【解答】解：添加條件AE=AB，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△BCA和△EDA中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS).
故答案為：AE=AB.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
16.如圖，BC=EC，∠1=∠2，添加一個適當?shù)臈l件使△ABC≌△DEC，則需添加的條件是 ∠A=∠D (不添加任何輔助線).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知條件BC=EC，即可證明△ABC≌△DEC.
【解答】解：添加條件：∠A=∠D;
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(AAS).
【點評】本題考查了全等三角形的判定;熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
17.如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應添加的條件是 ∠B=∠C或AE=AD (添加一個條件即可).
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，則可以添加一個邊從而利用SAS來判定其全等，或添加一個角從而利用AAS來判定其全等.
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分別根據(jù)ASA、SAS判定△ABE≌△ACD.
故答案為：∠B=∠C或AE=AD.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法;判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵.
18.(2013•綏化)如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件 AE=CB ，使得△EAB≌△BCD.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法添加不同的條件.
【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”證明.
綜上所述，可添加的條件為AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等).
故答案為：AE=CB.
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相同.
19.如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】補充條件BC=EF，首先根據(jù)AF=DC可得AC=DF，再根據(jù)BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上條件CB=EF可利用SAS定理證明△ABC≌△DEF.
【解答】解：補充條件BC=EF，
∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
故答案為：BC=EF.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
三、解答題
20.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先證出∠CAB=∠DAE，再由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對應邊相等即可.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.
21.如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC.求證：
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)延長DE交AB于點G，連接AD.構(gòu)建全等三角形△AED≌△DFB(SAS)，則由該全等三角形的對應邊相等證得結(jié)論;
(2)設AC與FD交于點O.利用(1)中全等三角形的對應角相等，等角的補角相等以及三角形內(nèi)角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC.
【解答】證明：(1)延長DE交AB于點G，連接AD.
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，ED=BC.
∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB.
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC，
∴BF=DE.
∴在△AED與△DFB中， ，
∴△AED≌△DFB(SAS)，
∴AE=DF，即DF=AE;
(2)設AC與FD交于點O.
∵由(1)知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC.
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
22.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：△ABD≌△CAE;
(2)連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)運用AAS證明△ABD≌△CAE;
(2)易證四邊形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可證四邊形ABDE是平行四邊形得到AB=DE.
【解答】證明：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS);
(2)AB=DE，AB∥DE，如右圖所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE.
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四邊形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB∥DE且AB=DE.
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，難度不大，比較靈活.
23.如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.
求證：△ABC≌△AED.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】證明題.
【分析】首先根據(jù)∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED(AAS).
【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
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