8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元測(cè)試題及答案
8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元測(cè)試題及答案
八年級(jí)數(shù)學(xué)單元考試的時(shí)候要認(rèn)真做題，不能敷衍了事。下面小編給大家分享一些8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元測(cè)試題，大家快來(lái)跟小編一起看看吧。
8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元試題
一、填空題
1.如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中，一定正確的是 .
2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE，則AP等于 cm.
3.如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G.若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是 .
4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為 .
5.如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為 .
6.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形(用陰影表示)，點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是(0，2)，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是(1，0).B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2014到x軸的距離是 .
7.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .
8.如圖，在邊長(zhǎng)為6 的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH.若BH=8，則FG= .
9.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為 .
10.如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE.設(shè)△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論：
?、賁1：S2=AC2：BC2;
?、谶B接AE，BD，則△BCD≌△ECA;
?、廴鬉C⊥BC，則S1•S2= S32.
其中結(jié)論正確的序號(hào)是 .
二、解答題
11.如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，CE、BF交于點(diǎn)P.
(1)求證：CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
12.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF.
(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是 ，并證明.
(2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由.
13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AF>BF).
(1)求證：△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
14.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MN∥BC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn)A重合)，如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP.(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)
(1)在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立?如果成立，請(qǐng)給予證明;如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明.
15.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF.求證：OE=OF.
16.如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、DP，延長(zhǎng)BC到E，使PB=PE.求證：∠PDC=∠PEC.
17.如圖，已知△ABC中AB=AC.
(1)作圖：在AC上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD，并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點(diǎn)F(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);
(2)在(1)的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF.
18.探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：△ACE≌△CBD.
應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G，求∠CGE的度數(shù).
19.(1)如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
?、賡inB的值是 ;
②畫(huà)出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1(A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng))，連接AA1，BB1，并計(jì)算梯形AA1B1B的面積.
20.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M.求證：
(1)BH=DE.
(2)BH⊥DE.
21.如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AB，AC，AD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BE，CE.
(1)求證：BE=CE;
(2)以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G.若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分(扇形)的面積.
22.如圖所示，已知∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC.
(1)你添加的條件是 ;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.
23.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF+BE=CD;
(提示：過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M.)
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②;當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;
(3)在(2)的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，則BE= ，CD= .
24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G.
求證：AE=BF.
25.如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90°.
(1)若CD=2BD，M是CD中點(diǎn)(如圖1)，求證：△ADB≌△AMC;
下面是小明的證明過(guò)程，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整：
證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°.
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① .
∵M(jìn)是DC的中點(diǎn)，
∴CM= CD=② .
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC.
(2)若CD
(3)當(dāng)CD≠BD時(shí)，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出.
26.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
27.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.
求證：①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
28.【問(wèn)題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
29.問(wèn)題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn).且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF= ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由;
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
30.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng);
(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元測(cè)試題參考答案
一、填空題
1.如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中，一定正確的是?、佗冖堋?
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結(jié)論.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°.
在△DEB和△FGC中，
，
∴△DEB≌△FGC(AAS)，
∴BE=CG，DE=FG，故①正確;
在△DEP和△FGP中，
，
∴△DEP≌△FGP(AAS)，故②正確;
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③錯(cuò)誤;
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE.
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1，故④正確.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE，則AP等于 1或2 cm.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì);解直角三角形.
【專題】分類討論.
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱性確定出AP′的長(zhǎng)即可.
【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°= ，即DE= cm，
根據(jù)勾股定理得：AE= =2 cm，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴AM= AE= cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°= ，
∴AP= = =2cm;
由對(duì)稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
綜上，AP等于1cm或2cm.
故答案為：1或2.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
3.如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G.若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是 7 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理;矩形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD.
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，AB=8，
∴CG=DG= ×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
設(shè)DE=x，
則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG= = ，
∴EF=2 ，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2 ，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7.
故答案為：7.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.
4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題;幾何圖形問(wèn)題.
【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng).
【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中
∴△OBG≌△OCF(SAS)
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE= = =2 ，
∵BC2=BF•BE，
則62=BF ，解得：BF= ，
∴EF=BE﹣BF= ，
∵CF2=BF•EF，
∴CF= ，
∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，
在等腰直角△OGF中
OF2= GF2，
∴OF= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用.
5.如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為 60° .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
【解答】解：∵△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°，
故答案為：60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.
6.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形(用陰影表示)，點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是(0，2)，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是(1，0).B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2014到x軸的距離是 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo);正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為 = ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的 ，依次得到第2014個(gè)正方形和第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步得到點(diǎn)A2014到x軸的距離.
【解答】解：如圖，∵點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，
∴B2E2=1，B3E4= ，B4E6= ，B5E8= …，
∴B2014E4016= ，
作A1E⊥x軸，延長(zhǎng)A1D1交x軸于F，
則△C1D1F∽△C1D1E1，
∴ = ，
在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，
正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為為 = ，
∴D1F= ，
∴A1F= ，
∵A1E∥D1E1，
∴ = ，
∴A1E=3，∴ = ，
∴點(diǎn)A2014到x軸的距離是 × =
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，得出正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.
7.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= 6 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6.
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF=6.
故答案是：6.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
8.如圖，在邊長(zhǎng)為6 的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH.若BH=8，則FG= 5 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題;壓軸題.
【分析】如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形;過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，進(jìn)而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長(zhǎng)度;最后利用相似三角形Rt△HCN∽R(shí)t△GFH，求出FG的長(zhǎng)度.
【解答】解：如圖所示，連接CG.
在△CGD與△CEB中
∴△CGD≌△CEB(SAS)，
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形.
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH.
過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，則∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN.
在△HEM與△HCN中，
∴△HEM≌△HCN(ASA).
∴HM=HN，
∴四邊形MBNH為正方形.
∵BH=8，
∴BN=HN=4 ，
∴CN=BC﹣BN=6 ﹣4 =2 .
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2 .
∴GH=CH=2 .
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽R(shí)t△GFH.
∴ ，即 ，
∴FG=5 .
故答案為：5 .
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大.作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵.
9.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.
【專題】計(jì)算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案.
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵.
10.如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE.設(shè)△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論：
①S1：S2=AC2：BC2;
?、谶B接AE，BD，則△BCD≌△ECA;
?、廴鬉C⊥BC，則S1•S2= S32.
其中結(jié)論正確的序號(hào)是?、佗冖邸?
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷;
?、诟鶕?jù)SAS即可求得全等;
?、鄹鶕?jù)面積公式即可判斷.
【解答】①S1：S2=AC2：BC2正確，
解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2.
②△BCD≌△ECA正確，
證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA(SAS).
③若AC⊥BC，則S1•S2= S32正確，
解：設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)=a，等邊三角形BCE邊長(zhǎng)=b，則△ADC的高= a，△BCE的高= b，
∴S1= a a= a2，S2= b b= b2，
∴S1•S2= a2 b2= a2b2，
∵S3= ab，
∴S32= a2b2，
∴S1•S2= S32.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、解答題
11.如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，CE、BF交于點(diǎn)P.
(1)求證：CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】(1)欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF;
(2)利用(1)中的全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BPC=120°.
【解答】(1)證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE與△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF(SAS)，
∴CE=BF;
(2)解：∵由(1)知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°.
即：∠BPC=120°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
12.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF.
(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是 EH=FH ，并證明.
(2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定.
【專題】幾何綜合題;分類討論.
【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時(shí)，都可以證明△BEH≌△CFH，
(2)由(1)可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形.
【解答】(1)答：添加：EH=FH，
證明：∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∴BH=CH，
在△BEH和△CFH中，
，
∴△BEH≌△CFH(SAS);
(2)解：∵BH=CH，EH=FH，
∴四邊形BFCE是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形)，
∵當(dāng)BH=EH時(shí)，則BC=EF，
∴平行四邊形BFCE為矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，難度不大.
13.(2014•株洲)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AF>BF).
(1)求證：△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等.
(2)由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B= = ，CE=EF= ，在RT△ACE中，tan∠CAE= = = ;
【解答】(1)證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE與Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL);
(2)解：由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC= = = m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴ = ，
∵CE=EF，
∴ = = ;
解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B= = = ，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B= ，
∴CE=EF= ，
在RT△ACE中，tan∠CAE= = = ;
∴tan∠CAE= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵.
14.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MN∥BC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn)A重合)，如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP.(無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程)
(1)在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立?如果成立，請(qǐng)給予證明;如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;平行四邊形的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)如答圖2，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP;
(2)如答圖3，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP.
【解答】題干引論：
證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
(1)答：BD=DP成立.
證明：如答圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
(2)答：BD=DP.
證明：如答圖3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
15.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF.求證：OE=OF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】欲證明OE=OF，只需證得△ODE≌△OCF即可.
【解答】證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
AC=BD，OD= BD，OC= AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，
即∠EDO=∠FCO，
在△ODE與△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF(SAS)，
∴OE=OF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì).全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
16.如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、DP，延長(zhǎng)BC到E，使PB=PE.求證：∠PDC=∠PEC.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCP=∠DCP，再利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PDC=∠PBC，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PBC=∠PEC，從而得證.
【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵.
17.如圖，已知△ABC中AB=AC.
(1)作圖：在AC上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD，并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點(diǎn)F(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);
(2)在(1)的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);作圖—復(fù)雜作圖.
【專題】作圖題;證明題.
【分析】(1)以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們 長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與這一點(diǎn)作出射線與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F;
(2)求出AE=AC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E=∠ACF.
【解答】(1)解：如圖所示;
(2)證明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分線，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵.
18.探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：△ACE≌△CBD.
應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G，求∠CGE的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】探究：先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可;
應(yīng)用：連接AC，易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E=∠D，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CGE=∠ABC即可.
【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD(SAS);
應(yīng)用：如圖，連接AC，易知△ABC是等邊三角形，
由探究可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，(2)作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵.
19.(1)如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
①sinB的值是 ;
?、诋?huà)出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1(A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng))，連接AA1，BB1，并計(jì)算梯形AA1B1B的面積.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);作圖-軸對(duì)稱變換;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案;根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，可作軸對(duì)稱圖形，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案.
【解答】(1)證明：BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF.
即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴∠A=∠D;
(2)解：①∵AC=3，BC=4，
∴AB=5.
sinB= ;
?、谌鐖D所示：
由軸對(duì)稱性質(zhì)得AA1=2，BB1=8，高是4，
∴ = =20.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).
20.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M.求證：
(1)BH=DE.
(2)BH⊥DE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“邊角邊”證明△BCH和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;
(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可.
【解答】證明：(1)在正方形ABCD與正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE(SAS)，
∴BH=DE;
(2)∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
又∵∠CGB=∠MGD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
21.如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AB，AC，AD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BE，CE.
(1)求證：BE=CE;
(2)以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G.若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分(扇形)的面積.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.
【分析】(1)由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=CE;
(2)由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB=30°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED= BD= ，然后根據(jù)扇形的面積公式求解.
【解答】(1)證明：∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BE=CE;
(2)解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=BD•tan30°= BD= ，
∴陰影部分(扇形)的面積= = π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式.
22.如圖所示，已知∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC.
(1)你添加的條件是 ∠B=∠C ;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)此題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等;
(2)根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解：(1)添加的條件是∠B=∠C，
故答案為：∠B=∠C;
(2)證明：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.
23.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF+BE=CD;
(提示：過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M.)
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②;當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;
(3)在(2)的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，則BE= 8 ，CD= 4或8 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形;平行四邊形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)通過(guò)△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因?yàn)橥ㄟ^(guò)證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD;
(2)作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過(guò)證得△MEF≌△CDA即可求得，
(3)根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖③CD=8，
【解答】(1)證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M，
∵CF∥AB，
∴四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF與△CDA中，
，
∴△MEF≌△CDA(AAS)，
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF.
(2)如圖②，CF+CD=BE，如圖③，CF﹣CD=BE;
(3)∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4 ，
∴易得AB=BC=AC=4，
如圖②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由(2)知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8.
如圖③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
綜上，BE=8，CD=4或8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等.
24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G.
求證：AE=BF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，AB與BC的關(guān)系，根據(jù)兩直線垂直，可得∠AGB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得∠ABG與∠BAG的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAG與∠CBF的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案.
【解答】證明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC.
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).
25.如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90°.
(1)若CD=2BD，M是CD中點(diǎn)(如圖1)，求證：△ADB≌△AMC;
下面是小明的證明過(guò)程，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整：
證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°.
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① ∠MCA .
∵M(jìn)是DC的中點(diǎn)，
∴CM= CD=② BD .
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC.
(2)若CD
(3)當(dāng)CD≠BD時(shí)，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論;
(2)存在.在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出結(jié)論;
(3)當(dāng)BD>CD時(shí)，如圖3，在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND= AD，就可以得出BD﹣CD= .當(dāng)BD
【解答】解：(1)由題意，得
?、俑鶕?jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出∴∠DBO=∠MCA(或∠ACO);
?、谟傻仁降男再|(zhì)就可以得出CM=BD;
故答案為：∠MCA，BD;
(2)存在
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD.
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN(SAS)，
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形;
(3)①當(dāng)CD
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD.
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN(SAS)，
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形;
∴ND= AD.
∵ND=BD﹣BN，
∴ND=BD﹣CD，
∴ AD=BD﹣CD
②當(dāng)CD>BD時(shí)， AD=CD﹣BD;
理由：如圖4，在CD上取一點(diǎn)N，使CN=BD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA，
∴∠ABD=∠ACD.
在△ACN和△ABD中，
，
∴△ACN≌△ABD(SAS)，
∴AN=AD，∠DAB=∠NAC.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAB+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形，
∴DN= AD.
∵DN=CD﹣CN，
∴DN=CD﹣BD，
∴ AD=CD﹣BD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
26.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)利用△AEB≌△CFB來(lái)求證AE=CF.
(2)利用角的關(guān)系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得結(jié)果.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質(zhì)及等腰三角形，解題的關(guān)鍵是求得△AEB≌△CFB，找出相等的線段.
27.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.
求證：①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;
(2)①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于最后一問(wèn)根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
28.【問(wèn)題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點(diǎn)】三角形綜合題.
【分析】(1)直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)首先得出△CBG≌△FEH(AAS)，則CG=FH，進(jìn)而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF;
(3)利用已知圖形再做一個(gè)鈍角三角形即可得出答案;
(4)利用(3)中方法可得出當(dāng)∠B≥∠A時(shí)，則△ABC≌△DEF.
【解答】(1)解：如圖①，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
故答案為：HL;
(2)證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
△DEF和△ABC不全等;
(4)解：由圖③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A>∠B，
∴當(dāng)∠B≥∠A時(shí)，△ABC就唯一確定了，
則△ABC≌△DEF.
故答案為：∠B≥∠A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì).
29.問(wèn)題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn).且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF= ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由;
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
【考點(diǎn)】三角形綜合題.
【分析】問(wèn)題背景：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題;
探索延伸：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題;
實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后與(2)同理可證.
【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF，證明如下：
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
故答案為 EF=BE+DF.
探索延伸：結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;
理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG，如圖②，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實(shí)際應(yīng)用：如圖3，
連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關(guān)鍵.
30.(2014•張家界)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng);
(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;菱形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題;開(kāi)放型.
【分析】(1)首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對(duì)稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因?yàn)镺C=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長(zhǎng)，進(jìn)而求得四邊形的面積.
(3)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
【解答】(1)證明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF(SAS)，
(2)解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是軸對(duì)稱圖形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×2=8.
(3)當(dāng)EB⊥CD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.
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