新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷(2)
新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC，點(diǎn)A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為2，則△ABC的面積是多少?寫出解答過(guò)程.
【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換.
【分析】(1)作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可;
(2)利用矩形的面積減去各頂點(diǎn)上三角形的面積即可.
【解答】解：(1)如圖;
(2)∵網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
=80﹣16﹣18﹣10=36.
答：△ABC的面積是36.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟知關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.
19.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點(diǎn)F在CE的延長(zhǎng)線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】首先證明出∠ABD=∠ACE，再有條件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，進(jìn)而得到∠F=∠BAQ，然后再根據(jù)∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，進(jìn)而證出AF⊥AQ.
【解答】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中 ，
∴△ABQ≌△ACF(SAS)，
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性質(zhì)定理.
20.由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比是3：2，兩隊(duì)共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?
(2)此項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)共同施工6天完成任務(wù)后，學(xué)校付給他們3000元報(bào)酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問(wèn)甲、乙兩隊(duì)各得到多少元?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)首先表示出兩工程隊(duì)完成需要的時(shí)間，進(jìn)而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)根據(jù)(1)中所求，進(jìn)而利用兩隊(duì)完成的工作量求出答案.
【解答】解：(1)設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需 x天，由題意得：
+ =1
解得：x=15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，
答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15× =10(天).
(2)甲隊(duì)所得報(bào)酬：3000× ×6=1200(元)，
乙隊(duì)所得報(bào)酬：3000× ×6=1800(元)
答：甲隊(duì)得到1200元，乙隊(duì)得到1800元.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意利用總共量為1得出等式是解題關(guān)鍵.
21.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=DA，連接DE交AC于F，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn).證明下列結(jié)論：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由等邊△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG= AD;
(2)首先過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，易證得△ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得△DHF≌△ECF，繼而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可證得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG= AD;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S△ADG=S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
22.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.
求證：①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可;
(2)①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;
?、谇蟪?ang;CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
②由題意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于最后一問(wèn)根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
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