冀教版初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷(2)
冀教版初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷
∴EF=DF=BF=FC，
故答案為：BF、CF、DF.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 49 cm2.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積.
【解答】解：由圖形可知四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，
故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2.
故答案為：49cm2.
【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)換.
19.將一副三角板按如圖所示疊放，若設(shè)AB=1，則四邊形ABCD的面積為 .
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=AB=1，解直角三角形得到BC= AB= ，根據(jù)梯形的面積公式即可的結(jié)論.
【解答】解：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=1，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴BC= AB= ，
∴四邊形ABCD的面積= (AD+BC)•AB= (1+ )×1= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距25km，C、D為兩村莊(視為兩個(gè)點(diǎn))，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如圖)，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站 10 km處.
【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;線段垂直平分線的性質(zhì).
【專(zhuān)題】壓軸題.
【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，設(shè)AE為x，則BE=25﹣x，將BC=10代入關(guān)系式即可求得.
【解答】解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2.
設(shè)AE為x，則BE=25﹣x，
將BC=10，DA=15代入關(guān)系式為x2+152=(25﹣x)2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站應(yīng)建在距A站10km處.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.
三、解答題(共6小題，滿分50分)
21.計(jì)算：( + ) .
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的除法即可.
【解答】解：原式=(3 +2 )÷
=5 ÷
=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類(lèi)運(yùn)算時(shí)，一般先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的形式后再運(yùn)算.
22.解方程： .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】本題的最簡(jiǎn)公分母是(x+1)(x﹣1)，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解.
【解答】解：方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1)，
得：(x﹣1)+2(x+1)=4.
解得：x=1.
經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是增根.
∴原方程無(wú)解.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解分式方程，
(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最簡(jiǎn)公分母驗(yàn)根.
23.已知線段AB和點(diǎn)O，畫(huà)出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形，保留必要的作圖痕跡，并完成填空：
解：
(1)連結(jié)AO，BO，并延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使得OC= OA ，OD= OB .
(2)連結(jié) CD .
線段CD即為所求.
觀察作圖結(jié)果，你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是 AB∥CD .
理由如下：
依作圖過(guò)程可證△ABO≌ △CDO .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡(jiǎn)稱(chēng)為 SAS .
由三角形全等可得∠A= ∠C .
從而根據(jù) 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行 判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【專(zhuān)題】推理填空題.
【分析】按照作圖的步驟可以得出(1)(2)結(jié)論，找兩線段關(guān)系時(shí)，明顯用到了三角形的全等，從而得出兩線段平行.
【解答】解：作圖步驟如下：
(1)連結(jié)AO，BO，并延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D，使得OC=OA，OD=OB.
(2)連結(jié)CD.
線段CD即為所求.
故得出結(jié)論：(1)OC=OA，OD=DB.(2)CD.
推斷線段AB與線段CD是平行的.
在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，且∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等)，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，∠A=∠C，
∴AB∥CD.
故得出結(jié)論：
觀察作圖結(jié)果，你認(rèn)為線段AB與線段CD的位置關(guān)系是AB∥CD.
理由如下：
依作圖過(guò)程可證△ABO≌△CDO.
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡(jiǎn)稱(chēng)為SAS.
由三角形全等可得∠A=∠C.
從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判定出線段AB與CD的位置關(guān)系.
【點(diǎn)評(píng)】本題在考查學(xué)生對(duì)全等三角形的理解與應(yīng)用的同時(shí)還考查了兩直線平行的判定定理，讓學(xué)生們意識(shí)到不同知識(shí)點(diǎn)的穿插運(yùn)用，為以后的綜合運(yùn)用題打好基礎(chǔ).
24.對(duì)于題目：“化簡(jiǎn)并求值： ，其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的?誰(shuí)的解答是正確的?為什么?
【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先得出當(dāng)a= 時(shí)， =5，即可得出a﹣ <0，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出答案.
【解答】解：甲的解答錯(cuò)誤，
當(dāng)a= 時(shí)， =5，a﹣ <0，
∴ =|a﹣ |= ﹣a，
故乙的解答正確.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與求值，正確利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.
25.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 等邊三角形 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，則可判斷△APP′為等邊三角形;
(2)由△APP′為等邊三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得P′B=PC=10，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°.
【解答】解：(1)∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′為等邊三角形;
故答案為等邊三角形;
(2)∵△APP′為等邊三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵62+82=102，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.
26.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E;
(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎?若是請(qǐng)給出證明;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定;全等三角形的性質(zhì).
【專(zhuān)題】證明題;探究型.
【分析】(1)由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC;
(2)同(1)，先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC.
【解答】(1)證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下：
同(1)一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.
【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用.
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