新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷及答案
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新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題
一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)
1.如果 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x滿足的條件__________.
2.化簡： =__________.
3.計(jì)算：2 ﹣ =__________.
4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為__________.
5.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，那么反比例函數(shù)的解析式是__________.
6.計(jì)算
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍__________.
8.某種原料價(jià)格為a元，如果連續(xù)兩次以相同的百分率x提價(jià)，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為__________.(用含a和x的代數(shù)式表示)
9.分解因式：x2﹣5x+2=__________.
10.某廠今年的產(chǎn)值是前年產(chǎn)值的翻一番，若平均年增長率為x，則可列方程__________.
11.y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y= ，則函數(shù)解析式為__________.
12.已知y=(m﹣2)x 是正比例函數(shù)，則m=__________.
13.到∠AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是__________.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，現(xiàn)將△ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A、B重合，則折痕DE=__________cm.
二、選擇題：(每題3分，滿分12分)
15.下列根式中，是最簡根式的是( )
A. B. C. D.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x2=(x﹣3)(2x+1) B. +3x+4=0 C.3x2=x(x﹣4) D. (x2﹣1)=0
17.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是( )
A.∠4=∠5 B.∠1=∠2 C.∠4=∠3 D.∠B=∠2
18.設(shè)k<0，那么函數(shù)y=﹣ 和y= 在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是( )
A. B. C. D.
三、簡答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)
19.計(jì)算： .
20.計(jì)算： (4﹣ )0+[(2 ﹣3)2] .
21.解方程：(2x+ )2=12.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
23.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.
24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長為24米，BC長15米，CD長為20米，DA長7米，∠C=90°，求綠地ABCD的面積.
四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)
25.如圖，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE.求證：∠PDO+∠PEO=180°.
26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)求反比例函數(shù)的解析式;
(3)求△AOC的周長和面積.
27.如圖，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R.
(1)求證：PQ=CQ;
(2)設(shè)CP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請(qǐng)簡述理由.
新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)
1.如果 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x滿足的條件x≤ .
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得2﹣3x≥0，再解不等式即可.
【解答】解：由題意得：2﹣3x≥0，
解得：x≤ ，
故答案為：x≤ .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).
2.化簡： =3x .
【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.
【解答】解：由題意得，x≥0，
則 =3x ，
故答案為：3x .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握a≥0時(shí)， =a是解題的關(guān)鍵.
3.計(jì)算：2 ﹣ = .
【考點(diǎn)】二次根式的加減法.
【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類項(xiàng)即可.
【解答】解：原式=6 ﹣5
= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵.
4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為4.
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.
【解答】解：∵∠CAB=90°，CM=BM，
∴AM= BC，又AM+BC=6，
∴BC=4，
故答案為：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.
5.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，那么反比例函數(shù)的解析式是 .
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.
【分析】把(1，2)代入函數(shù)y= 中可先求出k的值，那么就可求出函數(shù)解析式.
【解答】解：由題意知，k=1×2=2.
則反比例函數(shù)的解析式為：y= .
故答案為：y= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，此為近幾年中考的熱點(diǎn)問題，同學(xué)們要熟練掌握.
6.計(jì)算
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.
【分析】首先進(jìn)行分母有理化，然后進(jìn)行根式的運(yùn)算即可求解.
【解答】解： = × = ( ﹣ )=3 .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算.無理數(shù)的運(yùn)算法則與有理數(shù)的運(yùn)算法則是一樣的.注意： 表示a的算術(shù)平方根.
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍m>﹣2且m≠﹣1.
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】由關(guān)于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)△的意義得到m+1≠0，且△>0，即4+4(m+1)>0，解不等式組即可得到m的取值范圍.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m+1≠0，且△>0，即4+4(m+1)>0，解得m>﹣2，
∴m的取值范圍是：m>﹣2且m≠﹣1.
故答案為：m>﹣2且m≠﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒有實(shí)數(shù)根.
8.某種原料價(jià)格為a元，如果連續(xù)兩次以相同的百分率x提價(jià)，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為a(1+x)2.(用含a和x的代數(shù)式表示)
【考點(diǎn)】列代數(shù)式.
【分析】先求出第一次提價(jià)以后的價(jià)格為：原價(jià)×(1+提價(jià)的百分率)，再根據(jù)現(xiàn)在的價(jià)格=第一次提價(jià)后的價(jià)格×(1+提價(jià)的百分率)即可得出結(jié)果.
【解答】解：第一次提價(jià)后價(jià)格為a(1+x)元，
第二次提價(jià)是在第一次提價(jià)后完成的，所以應(yīng)為a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元.
故答案為：a(1+x)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)實(shí)際問題情景列代數(shù)式，難度中等.若設(shè)變化前的量為a，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的量為a(1±x)2.
9.分解因式：x2﹣5x+2=(x﹣ + )(x﹣ ﹣ ).
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.
【分析】首先可將原式變形為(x﹣ )2﹣ ，再利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解：x2﹣5x+2
=x2﹣5x+ ﹣ +2
=(x﹣ )2﹣
=(x﹣ + )(x﹣ ﹣ ).
故答案為：(x﹣ + )(x﹣ ﹣ ).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解.注意此題將原式變形為(x﹣ )2﹣ 是關(guān)鍵.
10.某廠今年的產(chǎn)值是前年產(chǎn)值的翻一番，若平均年增長率為x，則可列方程(1+x)2=2.
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】設(shè)平均年增長率為x，前年的產(chǎn)值為a，根據(jù)題意可得，今年產(chǎn)值×(1+x)2=2×今年產(chǎn)值，據(jù)此列方程.
【解答】解：設(shè)平均年增長率為x，前年的產(chǎn)值為a，
由題意得，a(1+x)2=2a，
即(1+x)2=2.
故答案為：(1+x)2=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.
11.y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y= ，則函數(shù)解析式為y= x.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.
【分析】設(shè)y與x的解析式是y=kx，把x=2，y= 代入求出k即可.
【解答】解：設(shè)y與x的解析式是y=kx，
把x=2，y= 代入得： =2k，
解得k= ，
即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y= x，
故答案為：y= x.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式的應(yīng)用，注意：正比例函數(shù)的解析式是y=kx(k為常數(shù)，k≠0).
12.已知y=(m﹣2)x 是正比例函數(shù)，則m=﹣2.
【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：根據(jù)題意得，m2﹣3=1且m﹣2≠0，
解得m=±2且m≠2，
所以，m=﹣2.
故答案為：﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)y=kx的定義條件是：k為常數(shù)且k≠0，自變量次數(shù)為1.
13.到∠AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是∠AOB的平分線.
【考點(diǎn)】軌跡.
【分析】根據(jù)角的平分線就是到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡，據(jù)此即可解答.
【解答】解：到∠AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：∠AOB的平分線.
故答案是：∠AOB的平分線.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的軌跡，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，現(xiàn)將△ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A、B重合，則折痕DE=1.875cm.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);勾股定理;軸對(duì)稱的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.
【解答】解：在直角△ABC中AB= = =5cm.則AE=AB÷2=2.5cm.
設(shè)DE=x，易得△ADE∽△ABC，
故有 = ;
∴ = ;
解可得x=1.875.
故答案為：1.875.
【點(diǎn)評(píng)】本題通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問題，應(yīng)結(jié)合題意，最好實(shí)際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系.
二、選擇題：(每題3分，滿分12分)
15.下列根式中，是最簡根式的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】最簡二次根式.
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、被開方數(shù)含分母和能開得盡方的因式，不是最簡二次根式;
B、被開方數(shù)含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式;
C、是最簡二次根式;
D、被開方數(shù)含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)不含分母;(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x2=(x﹣3)(2x+1) B. +3x+4=0 C.3x2=x(x﹣4) D. (x2﹣1)=0
【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2;二次項(xiàng)系數(shù)不為0;整式方程;含有一個(gè)未知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案.
【解答】解：A、2x2=(x﹣3)(2x+1)是一元一次方程，故A錯(cuò)誤;
B、 +3x+4=0是分式方程，故B錯(cuò)誤;
C、3x2=x(x﹣4)是一元二次方程，故C正確;
D、 (x2﹣1)=0是無理方程，故D錯(cuò)誤;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
17.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是( )
A.∠4=∠5 B.∠1=∠2 C.∠4=∠3 D.∠B=∠2
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互補(bǔ)的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB，
∴∠5+∠B=90°，
∴∠5=∠A，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE=AE，
∴∠4=∠A，
∴∠4=∠5，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形兩銳角互補(bǔ)的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.
18.設(shè)k<0，那么函數(shù)y=﹣ 和y= 在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;正比例函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y=kx的性質(zhì)：k>0，圖象經(jīng)過原點(diǎn)，在第一、三象限;反比例函數(shù)y= 的性質(zhì)：k<0，圖象在第二、四象限的雙曲線可得答案.
【解答】解：∵k<0，
∴﹣ >0，
∴函數(shù)y=﹣ 的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，在第一、三象限，
∵k<0，
∴y= 的圖象在第二、四象限，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).
三、簡答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)
19.計(jì)算： .
【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和除法法則求解.
【解答】解：原式=
=x .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則和除法法則.
20.計(jì)算： (4﹣ )0+[(2 ﹣3)2] .
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;零指數(shù)冪.
【分析】分別根據(jù)0指數(shù)冪的計(jì)算法則，數(shù)的乘方及開方法則計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：原式= +1+3﹣2
= +2+1+3﹣2
=6﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知0指數(shù)冪的計(jì)算法則，數(shù)的乘方及開方法則是解答此題的關(guān)鍵.
21.解方程：(2x+ )2=12.
【考點(diǎn)】平方根.
【分析】根據(jù)平方根的概念進(jìn)行解答即可.
【解答】解：(2x+ )2=12，
2x+ =±2 ，
2x=±2 ﹣ ，
x1= ，x2=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用直接開平方法解一元二次方程，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先移項(xiàng)得到：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，然后把方程看作關(guān)于x﹣1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程.
【解答】解：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，
[(x﹣1)﹣5][(x﹣1)+3]=0，
(x﹣1)﹣5=0或(x﹣1)+3=0，
所以x1=﹣6，x2=﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).
23.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.
【考點(diǎn)】根的判別式.
【專題】探究型.
【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得出△>0，再求出k的取值范圍即可.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴ ，
解得k> .
所以k的取值范圍是k> 且k≠2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)題意列出關(guān)于k的不等式是解答此題的關(guān)鍵.
24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長為24米，BC長15米，CD長為20米，DA長7米，∠C=90°，求綠地ABCD的面積.
【考點(diǎn)】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD的長，再由勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積=直角△BCD的面積+直角△ABD的面積.
【解答】解：連接BD.如圖所示：
∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，
∴BD= = =25(米);
在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，
242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形.
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD
= AB•BD+ BC•CD
= ×24×7+ ×15×20
=84+150
=234(平方米);
即綠地ABCD的面積為234平方米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用.解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，求出BD的長.
四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)
25.如圖，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE.求證：∠PDO+∠PEO=180°.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】如圖，作輔助線，證明△PMD≌△PNE，得到∠MDP=∠PEN，即可解決問題.
【解答】證明：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OE;
∵OC平分∠AOB，
∴PM=PN;
在△PMD與△PNE中，
，
∴△PMD≌△PNE(HL)，
∴∠MDP=∠PEN;
∵∠MDP+∠ODP=180°，
∴∠PDO+∠PEO=180°.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是作輔助線;牢固掌握定理是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.
26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)求反比例函數(shù)的解析式;
(3)求△AOC的周長和面積.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)由OA=OB=OD=1可直接得到點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，由于CD垂直于x軸，垂足是D，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再把x=1代入y=x+1得y=2，從而確定C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，然后再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式;
(3)利用勾股定理分別計(jì)算出AC和OC，然后根據(jù)三角形的周長與面積公式分別計(jì)算△AOC的周長和面積.
【解答】解：(1)∵OA=OB=OD=1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣1，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(1，2);點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0).
(2)設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，
把A(﹣1，0)，B(0，1)代入得 ，
解得 ，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
∵CD垂直于x軸，垂足是D，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ，
把C(1，2)代入得k=1×2=2，
故反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(3)∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2，
∴AC= =2 ，
∵在Rt△OCD中，OD=1，CD=2，
∴OC= = ，
∴△AOC的周長=OA+OC+AC=1+ +2 ;
△AOC的面積= OA•CD= ×1×2=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式;待定系數(shù)法是確定函數(shù)關(guān)系式常用的方法.也考查了勾股定理.
27.如圖，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R.
(1)求證：PQ=CQ;
(2)設(shè)CP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請(qǐng)簡述理由.
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)易得△ABC為等腰直角三角形，則∠B=∠C=45°，然后利用PQ⊥CQ可得到△PCQ為等腰直角三角形，所以PQ=CQ;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BC= AB= ，CQ= PC= x，同理可證得為△BQR等腰直角三角形，則BQ= RQ= y，所以 y+ x=1，變形得到y(tǒng)=﹣ x+ (0
(3)由于AR=1﹣y，AP=1﹣x，則AR=1﹣(﹣ x+ )，當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，所以1﹣(﹣ x+ )=1﹣x，解得x= ，然后利用0
【解答】(1)證明：∵∠A=90°，AB=AC=1，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵PQ⊥CQ，
∴△PCQ為等腰直角三角形，
∴PQ=CQ;
(2)解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC= AB= ，
∵△PCQ為等腰直角三角形，
∴CQ= PC= x，
同理可證得為△BQR等腰直角三角形，
∴BQ= RQ= y，
∵BQ+CQ=BC，
∴ y+ x=1，
∴y=﹣ x+ (0
如圖，
(3)解：不能.理由如下：
∵AR=1﹣y，AP=1﹣x，
∴AR=1﹣(﹣ x+ )，
當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，
即1﹣(﹣ x+ )=1﹣x，
解得x= ，
∵0
∴x= 舍去，
∴PR不能平行于BC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì).
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