七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷
培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的途徑很多，如讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，并讓其體驗(yàn)到成功的愉悅，今天小編就給大家看看七年級(jí)數(shù)學(xué)，僅供參考哦
七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.(3分)下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
3.(3分)如圖AB∥CD，則∠1=( )
A.75° B.80° C.85° D.95°
4.(3分)在實(shí)數(shù)﹣ ，0. ， ，π， 中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(3分) 的平方根是( )
A.2 B.4 C.﹣2或2 D.﹣4或4
6.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(﹣3，5)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(3分)已知坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)M(a，b)在第三象限，那么點(diǎn)N(b，﹣a)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.(3分)已知x=3﹣k，y=k+2，則y與x的關(guān)系是( )
A.x+y=5 B.x+y=1 C.x﹣y=1 D.y=x+1
9.(3分)若方程組 的解x和y的值相等，則k的值為( )
A.4 B.11 C.10 D.12
10.(3分)如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，1)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2，0)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3，2)，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2016次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(2016，1) B.(2016，0) C.(2016，2) D.(2017，0)
二、填空題(每小題3分，共18分)
11.(3分)把“對(duì)頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是： .
12.(3分)點(diǎn)P(﹣2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;
13.(3分)若 +(n﹣2)2=0，則m= ，n= .
14.(3分)直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O′點(diǎn)，那么O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 .
15.(3分)已知方程組 的解也是方程3x﹣2y=0的解，則k= .
16.(3分)已知點(diǎn)P(3，﹣1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a+b，1﹣b)，則ab的值為 .
三.解答題(共72分)
17.(8分)計(jì)算題
(1) + ﹣ +
(2) ﹣ ﹣ + +
18.(9分)如圖，已知單位長度為1的方格中有個(gè)△ABC.
(1)請畫出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′;
(2)請以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(在圖中畫出)，然后寫出點(diǎn)B、B′的坐標(biāo);
(3)求出△ABC面積.
19.(7分)如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a+1和2a﹣22，求出這個(gè)正數(shù)的立方根.
20.(4分)用適當(dāng)方法(代入法或加減法)解下列方程組.
(1)
(2)
21.(9分)如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的路線移動(dòng)(即：沿著長方形移動(dòng)一周).
(1)寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)( );
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)，描出此時(shí)P點(diǎn)的位置，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間.
22.(7分)如圖，E點(diǎn)為DF上的點(diǎn)，B為AC上的點(diǎn)，∠1=∠2，∠C=∠D.試說明：AC∥DF.
23.(8分)甲、乙兩人共同解方程組 ，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為 ;乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為 ，試計(jì)算a2006+(﹣ b)2007的值.
24.(8分)如圖1，已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：通過畫平行線，將∠A、∠B、∠C作等角代換，使各角之和恰為一平角，依輔助線不同而得多種證法.
證法1：如圖1，延長BC到D，過C畫CE∥BA.
∵BA∥CE(作圖2所知)，
∴∠B=∠1，∠A=∠2(兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等).
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°(平角的定義)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).
如圖3，過BC上任一點(diǎn)F，畫FH∥AC，F(xiàn)G∥AB，這種添加輔助線的方法能證明∠A+∠B+∠C=180°嗎?請你試一試.
25.(12分)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(a，0)，B(n，0)且a、n滿足|a+2|+ =0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移4個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD.
(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形OBDC的面積;
(2)如圖2，若 點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)(不與B，D重合) 的值是否發(fā)生變化，并說明理由.
(3)在四邊形OBDC內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，連接PO，PB，PC，PD，使S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1?若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.(3分)下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是( )
A. B. C. D.
【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義作出判斷即可.
【解答】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知：只有C選項(xiàng)的是對(duì)頂角，其它都不是.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.
2.(3分)如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【解答】解：當(dāng)∠1=∠3時(shí)，a∥b;
當(dāng)∠4=∠5時(shí)，a∥b;
當(dāng)∠2+∠4=180°時(shí)，a∥b.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
3.(3分)如圖AB∥CD，則∠1=( )
A.75° B.80° C.85° D.95°
【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠BFD的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解.
【解答】解：延長BE交CD于點(diǎn)F.
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFD=180°，
∴∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣120°=60°，
∴∠1=∠ECD+∠BFD=25°+60°=85°.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵.
4.(3分)在實(shí)數(shù)﹣ ，0. ， ，π， 中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.
【解答】解： ，π是無理數(shù)，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).
5.(3分) 的平方根是( )
A.2 B.4 C.﹣2或2 D.﹣4或4
【分析】先對(duì) 進(jìn)行化簡，可得 =4，求 的平方根就是求4的平方根，只要求出4的平方根即可，本題得以解決.
【解答】解：∵ ，
∴ 的平方根是±2，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根、平方根，解題的關(guān)鍵是先對(duì) 進(jìn)行化簡，學(xué)生有時(shí)誤認(rèn)為求16的平方根，這是易錯(cuò)點(diǎn)，要注意.
6.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(﹣3，5)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答.
【解答】解：點(diǎn)P(﹣3，5)所在的象限是第二象限.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限(+，+);第二象限(﹣，+);第三象限(﹣，﹣);第四象限(+，﹣).
7.(3分)已知坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)M(a，b)在第三象限，那么點(diǎn)N(b，﹣a)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根據(jù)第三象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)表示出a、b，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答.
【解答】解：∵點(diǎn)M(a，b)在第三象限，
∴a<0，b<0，
∴﹣a>0，
∴點(diǎn)N(b，﹣a)在第二象限.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限(+，+);第二象限(﹣，+);第三象限(﹣，﹣);第四象限(+，﹣).
8.(3分)已知x=3﹣k，y=k+2，則y與x的關(guān)系是( )
A.x+y=5 B.x+y=1 C.x﹣y=1 D.y=x+1
【分析】利用x=3﹣k，y=k+2，直接將兩式左右相加得出即可.
【解答】解：∵x=3﹣k，y=k+2，
∴x+y=3﹣k+k+2=5.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等式的基本性質(zhì)，根據(jù)已知將兩式左右相加等式仍然成立得出是解題關(guān)鍵.
9.(3分)若方程組 的解x和y的值相等，則k的值為( )
A.4 B.11 C.10 D.12
【分析】x和y的值相等，把第一個(gè)式子中的y換成x，就可求出x與y的值，這兩個(gè)值代入第二個(gè)方程就可得到一個(gè)關(guān)于k的方程，從而求得k的值.
【解答】解：把y=x代入4x+3y=1得：7x=1，
解得x= ，
∴y=x= .
把y=x= 得： k+ (k﹣1)=3，
解得：k=11
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組解的定義以及解二元一次方程組的基本方法.
10.(3分)如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，1)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2，0)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3，2)，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2016次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(2016，1) B.(2016，0) C.(2016，2) D.(2017，0)
【分析】設(shè)第n此運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Pn點(diǎn)(n為自然數(shù)).根據(jù)題意列出部分Pn點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2)”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)第n此運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到Pn點(diǎn)(n為自然數(shù)).
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，2)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2).
∵2016=4×504，
∴P2016(2016，0).
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2)”.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，羅列出部分點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵.
二、填空題(每小題3分，共18分)
11.(3分)把“對(duì)頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是： 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等 .
【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…那么…”的形式.
【解答】解：∵原命題的條件是：“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是：“它們相等”，
∴命題“對(duì)頂角相等”寫成“如果…那么…”的形式為：“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等”.
故答案為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的條件和結(jié)論的敘述，注意確定一個(gè)命題的條件與結(jié)論的方法是首先把這個(gè)命題寫成：“如果…，那么…”的形式.
12.(3分)點(diǎn)P(﹣2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 (﹣2，﹣3) ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 (2，﹣3) ，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 (2，3) ;
【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)以及關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)分別得出答案.
【解答】解：點(diǎn)P(﹣2，3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，﹣3)，
關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2，﹣3)，
關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3).
故答案為：(﹣2，﹣3);(2，﹣3);(2，3).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)以及關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
13.(3分)若 +(n﹣2)2=0，則m= 1 ，n= 2 .
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出m、n的值即可.
【解答】解：由題意得，m﹣1=0，n﹣2=0，
解得m=1，n=2.
故答案為：1;2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.
14.(3分)直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O′點(diǎn)，那么O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 π .
【分析】直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，說明OO′之間的距離為圓的周長=π，由此即可確定O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).
【解答】解：因?yàn)閳A的周長為π•d=1×π=π，
所以圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周OO'=π.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解題需注意：確定點(diǎn)O′的符號(hào)后，點(diǎn)O′所表示的數(shù)是距離原點(diǎn)的距離.
15.(3分)已知方程組 的解也是方程3x﹣2y=0的解，則k= ﹣5 .
【分析】由題意，建立關(guān)于x，y的二元一次方程組，求得解后，再代入4x﹣3y+k=0的方程而求解的.
【解答】解：根據(jù)題意，聯(lián)立方程 ，
運(yùn)用加減消元法解得 ，
再把解代入方程4x﹣3y+k=0，
得k=﹣5.
【點(diǎn)評(píng)】本題先通過建立二元一次方程組，求得x，y的值后，再代入關(guān)于k的方程而求解的.
16.(3分)已知點(diǎn)P(3，﹣1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a+b，1﹣b)，則ab的值為 25 .
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可直接得到答案.
【解答】解：∵點(diǎn)P(3，﹣1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a+b，1﹣b)，
∴ ，
解得： ，
則ab的值為：(﹣5)2=25.
故答案為：25.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.
三.解答題(共72分)
17.(8分)計(jì)算題
(1) + ﹣ +
(2) ﹣ ﹣ + +
【分析】(1)直接利用算術(shù)平方根以及立方根的定義化簡得出答案;
(2)直接利用算術(shù)平方根以及立方根的定義化簡得出答案.
【解答】解：(1) + ﹣ +
=2+0﹣ ﹣
=2;
(2) ﹣ ﹣ + +
=﹣3﹣0﹣ +0.5+
=﹣2 .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.
18.(9分)如圖，已知單位長度為1的方格中有個(gè)△ABC.
(1)請畫出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′;
(2)請以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(在圖中畫出)，然后寫出點(diǎn)B、B′的坐標(biāo);
(3)求出△ABC面積.
【分析】(1)首先找到A、B、C三點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后再順次連接即可;
(2)畫出坐標(biāo)系，再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可;
(3)利用正方形的面積減去周圍多余三角形的面積可得答案.
【解答】解：(1)如圖所示：
(2)如圖所示：B(1，2)，B′(3，5);
(3)△ABC面積：3×3﹣1×2× ﹣1×3× ﹣2×3× =3.5.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平移作圖，關(guān)鍵是正確畫出圖形，第三問補(bǔ)全后再減去，求解三角形的面積值得同學(xué)們參考掌握.
19.(7分)如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a+1和2a﹣22，求出這個(gè)正數(shù)的立方根.
【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，可得出關(guān)于a的方程，解出即可.
【解答】解：由題意知a+1+2a﹣22=0，
解得：a=7，
則a+1=8，
∴這個(gè)正數(shù)為64，
∴這個(gè)正數(shù)的立方根為4.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根的定義和性質(zhì)，注意掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù).
20.(4分)用適當(dāng)方法(代入法或加減法)解下列方程組.
(1)
(2)
【分析】(1)利用加減消元法求解可得;
(2)利用加減消元法求解可得.
【解答】解：(1) ，
?、?②，得：3x=﹣3，
解得：x=﹣1，
將x=﹣1代入①，得：﹣1+y=1，
解得：y=2，
所以方程組的解為 ;
(2) ，
?、?times;3+②×2，得：13x=52，
解得：x=4，
將x=4代入②，得：8+3y=17，
解得：y=3，
所以方程組的解為 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
21.(9分)如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣C﹣B﹣A﹣O的路線移動(dòng)(即：沿著長方形移動(dòng)一周).
(1)寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)( 4，6 );
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)，描出此時(shí)P點(diǎn)的位置，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間.
【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出即可;
(2)先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的長度求出OP，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：(1)∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，6)，
∴OA=4，OC=6，
∴點(diǎn)B(4，6);
故答案為：4，6.
(2)如圖所示，
∵點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)的距離是2×4=8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，6);
(3)點(diǎn)P到x軸距離為5個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為5，
若點(diǎn)P在OC上，則OP=5，
t=5÷2=2.5秒，
若點(diǎn)P在AB上，則OP=OC+BC+BP=6+4+(6﹣5)=11，
t=11÷2=5.5秒，
綜上所述，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為2.5秒或5.5秒.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，主要利用了矩形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，難點(diǎn)在于(3)要分情況討論.
22.(7分)如圖，E點(diǎn)為DF上的點(diǎn)，B為AC上的點(diǎn)，∠1=∠2，∠C=∠D.試說明：AC∥DF.
【分析】根據(jù)已知條件∠1=∠2及對(duì)頂角相等求得同位角∠2=∠3，從而推知兩直線DB∥EC，所以同位角∠C=∠ABD;然后由已知條件∠C=∠D推知內(nèi)錯(cuò)角∠D=∠ABD，所以兩直線AC∥DF.
【解答】證明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3( 對(duì)頂角相等 )，
∴∠2=∠3(等量代換)，
∴DB∥EC(同位角相等，兩直線平行)，
∴∠C=∠ABD(兩直線平行，同位角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代換)，
∴AC∥DF( 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì).解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用.
23.(8分)甲、乙兩人共同解方程組 ，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為 ;乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為 ，試計(jì)算a2006+(﹣ b)2007的值.
【分析】將 代入方程組的第二個(gè)方程，將 代入方程組的第一個(gè)方程，聯(lián)立求出a與b的值，代入即可求出所求式子的值.
【解答】解：將 代入方程組中的4x﹣by=﹣2得：﹣12+b=﹣2，即b=10;
將 代入方程組中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=﹣1，
則a2006+(﹣ b)2007=1﹣1=0.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.
24.(8分)如圖1，已知△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：通過畫平行線，將∠A、∠B、∠C作等角代換，使各角之和恰為一平角，依輔助線不同而得多種證法.
證法1：如圖1，延長BC到D，過C畫CE∥BA.
∵BA∥CE(作圖2所知)，
∴∠B=∠1，∠A=∠2(兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等).
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°(平角的定義)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).
如圖3，過BC上任一點(diǎn)F，畫FH∥AC，F(xiàn)G∥AB，這種添加輔助線的方法能證明∠A+∠B+∠C=180°嗎?請你試一試.
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1=∠C，∠3=∠B，∠2+∠AGF=180°，∠A+∠AGF=180°，推出∠2=∠A，即可得出答案.
【解答】證明：如圖3，
∵HF∥AC，
∴∠1=∠C，
∵GF∥AB，
∴∠B=∠3，
∵HF∥AC，
∴∠2+∠AGF=180°，
∵GF∥AH，
∴∠A+∠AGF=180°，
∴∠2=∠A，
∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.
25.(12分)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(a，0)，B(n，0)且a、n滿足|a+2|+ =0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移4個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD.
(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形OBDC的面積;
(2)如圖2，若 點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)(不與B，D重合) 的值是否發(fā)生變化，并說明理由.
(3)在四邊形OBDC內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，連接PO，PB，PC，PD，使S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1?若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.
【分析】(1)根據(jù)被開方數(shù)和絕對(duì)值大于等于0列式求出b和n，從而得到A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)向上平移4個(gè)單位，則縱坐標(biāo)加4，向右平移3個(gè)單位，則橫坐標(biāo)加3，求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，然后利用平行四邊形的面積公式，列式計(jì)算;
(2)根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，再過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，從而判斷出比值不變;
(3)根據(jù)面積相等的特殊性可知，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，即PB=PC，因此根據(jù)中點(diǎn)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)如圖1，
由題意得，a+2=0，a=﹣2，則A(﹣2，0)，
5﹣n=0，n=5，則B(5，0)，
∵點(diǎn)A，B分別向上平移4個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，
∴點(diǎn)C(1，4)，D(8，4);
∵OB=5，CD=8﹣1=7，
∴S四邊形OBDC= (CD+OB)×h= ×4×(5+7)=24;
(2) 的值不發(fā)生變化，且值為1，理由是：
由平移的性質(zhì)可得AB∥CD，
如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，交AC于E，則PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴ =1，比值不變.
(3)存在，如圖3，連接AD和BC交于點(diǎn)P，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BP=CP，
∴S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1，
∵C(1，4)，B(5，0)
∴P(3，2).
七年級(jí)數(shù)學(xué)下期中試卷試題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.如圖，若△DEF是由△ABC經(jīng)過平移后得到，已知A，D之間的距離為1，CE=2，則EF是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如圖，已知AB∥CD，∠A=70°，則∠1度數(shù)是( )
A.70° B.100° C.110° D.130°
3.如圖所示，下列條件能判斷a∥b的有( )
A.∠1+∠2=180° B.∠2=∠4 C.∠2+∠3=180° D.∠1=∠3
4.下列式子不正確的是( )
A.a3+a2=a5 B.a2•a3=a5 C.(a3)2=a6 D.a3÷a2=a
5.二元一次方程x﹣2y=1有無數(shù)多個(gè)解，下列四組值中不是該方程的解的是( )
A. B. C. D.
6.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
7.下列式子正確的是( )
A.(﹣x﹣y)(x+y)=x2﹣y2
B.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
C.(﹣4m2)3=﹣4m6
D.
8.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解都為正整數(shù)，且m為非負(fù)數(shù)，則m的值有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
9.已知x2﹣3x=2，那么多項(xiàng)式x3﹣x2﹣8x+9的值是( )
A.9 B.11 C.12 D.13
10.已知a，b是實(shí)數(shù)，x=a2+b2+24，y=2(3a+4b)，則x，y的大小關(guān)系是( )
A.x≤y B.x≥y C.x
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
11.PM2.5是大氣壓中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
12.2x3y2與12x4y的公因式是 .
13.(4m2﹣6m)÷(2m)= .
14.如果多項(xiàng)式x2+mx+16是另一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么m= .
15.若代數(shù)式x2﹣8x+a可化為(x﹣b)2+1，則a+b= .
16.某校為住校生分宿舍，若每間7人，則余下3人;若每間8人，則有5個(gè)空床位，設(shè)該校有住校生x人，宿舍y間，則可列出方程組為 .
17.有一條長方形紙帶，按如圖方式折疊，紙帶重疊部分中的∠α= .
18.xa=3，xb=4，則x2a﹣3b= .
19.如圖，白色長方形的面積為3，且長比寬多4，以長方形的一組鄰邊為邊向外作如圖所示兩個(gè)灰色的等腰直角三角形，則兩個(gè)灰色等腰直角三角形的面積和為 .
20.把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量取代替它，從而使問題得到簡化，這叫整體代換或換元思想，請根據(jù)上面的思想解決下面問題：若關(guān)于x，y的方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組的解是 .
三、解答題(本大題共6小題，共計(jì)50分)
21.(9分)計(jì)算或化簡
(1)﹣12018+2﹣3+(3.14﹣π)0
(2)2a2•a3÷a4
(3)(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)2
22.(9分)因式分解
(1)2x3﹣8x
(2)x2﹣2x﹣3
(3)4a2+4ab+b2﹣1
23.(6分)選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M
(1)
(2)
24.(8分)如圖，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠D的2倍比∠B的大90°，求∠B，∠D的度數(shù).
25.(8分)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)不相等正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“奇妙數(shù)”.例如：5=32﹣22，16=52﹣32，則5，16都是奇妙數(shù).
(1)15和40是奇妙數(shù)嗎?為什么?
(2)如果兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為奇特奇妙數(shù)，問奇特奇妙數(shù)是8的倍數(shù)嗎?為什么?
(3)如果把所有的“奇妙數(shù)”從小到大排列后，請直接寫出第12個(gè)奇妙數(shù).
26.(10分)某自行車制造廠開發(fā)了一款新式自行車，計(jì)劃6月份生產(chǎn)安裝600輛，由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式自行車的安裝，工廠決定招聘一些新工人：他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨(dú)立進(jìn)行安裝.調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熱練工和2名新工人每日可安裝8輛自行車;2名熟練工和3名新工人每日可安裝14輛自行車.
(1)每名熟練工和新工人每日分別可以安裝多少輛自行車?
(2)如果工廠招聘n名新工人(0
(3)該自行車關(guān)于輪胎的使用有以下說明：本輪胎如安裝在前輪，安全行使路程為11千公里;如安裝在后輪，安全行使路程為9千公里.請問一對(duì)輪胎能行使的最長路程是多少千公里?
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.如圖，若△DEF是由△ABC經(jīng)過平移后得到，已知A，D之間的距離為1，CE=2，則EF是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形可直接求解.
【解答】解：觀察圖形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移動(dòng)BE的長度后得到的，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，得BE=AD=1.
∴EF=BC=BE+EC=1+2=3，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小;②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.
2.如圖，已知AB∥CD，∠A=70°，則∠1度數(shù)是( )
A.70° B.100° C.110° D.130°
【分析】兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念即可解答.
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠2=70°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，
再根據(jù)平角的定義，得
∠1=180°﹣70°=110°，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】注意平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，此類題方法要靈活.也可以求得∠A的同旁內(nèi)角，再根據(jù)對(duì)頂角相等，進(jìn)行求解.
3.如圖所示，下列條件能判斷a∥b的有( )
A.∠1+∠2=180° B.∠2=∠4 C.∠2+∠3=180° D.∠1=∠3
【分析】根據(jù)平行線的判定即可判斷.
【解答】解：A、∵∠1+∠2=180°，不能判定a∥b，錯(cuò)誤;
B、∵∠2=∠4，∴a∥b，正確;
C、∵∠2+∠3=180°，不能判定a∥b，錯(cuò)誤;
D、∵∠1=∠3，不能判定a∥b，錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題.
4.下列式子不正確的是( )
A.a3+a2=a5 B.a2•a3=a5 C.(a3)2=a6 D.a3÷a2=a
【分析】直接利用整式乘除運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則分別化簡得出答案.
【解答】解：A、a3+a2，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)正確;
B、a2•a3=a5，正確，不合題意;
C、(a3)2=a6，正確，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、a3÷a2=a，正確，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式乘除運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算、合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
5.二元一次方程x﹣2y=1有無數(shù)多個(gè)解，下列四組值中不是該方程的解的是( )
A. B. C. D.
【分析】將x、y的值分別代入x﹣2y中，看結(jié)果是否等于1，判斷x、y的值是否為方程x﹣2y=1的解.
【解答】解：A、當(dāng)x=0，y=﹣時(shí)，x﹣2y=0﹣2×(﹣)=1，是方程的解;
B、當(dāng)x=1，y=1時(shí)，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解;
C、當(dāng)x=1，y=0時(shí)，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解;
D、當(dāng)x=﹣1，y=﹣1時(shí)，x﹣2y=﹣1﹣2×(﹣1)=1，是方程的解;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程的解的定義，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把x，y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解.
6.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
【分析】完全平方公式是：a2±2ab+b2=(a±b)2由此可見選項(xiàng)A、B、C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，只有D選項(xiàng)可以.
【解答】解：根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，
選項(xiàng)A、B、C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，
D、x2+4x+4=(x+2)2.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式的判斷和應(yīng)用：應(yīng)用完全平方公式分解因式.
7.下列式子正確的是( )
A.(﹣x﹣y)(x+y)=x2﹣y2
B.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
C.(﹣4m2)3=﹣4m6
D.
【分析】根據(jù)整式的乘法公式、同底數(shù)冪的乘方法則分別進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.
【解答】解：A、(﹣x﹣y)(x+y)=﹣(x+y)2=﹣x2﹣2xy﹣y2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(a﹣b)2+4ab=a2﹣2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2，所以B選項(xiàng)正確;
C、(﹣4m2)3=﹣64m6，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、9x3y2÷(﹣x3y)=﹣27y，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算：利用整式的乘法公式、同底數(shù)冪的乘方法則以及合并同類進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)，再算乘方和乘除，最后算加減.
8.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解都為正整數(shù)，且m為非負(fù)數(shù)，則m的值有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
【分析】首先用含m的代數(shù)式分別表示x，y，再根據(jù)條件二元一次方程組的解為正整數(shù)，得到關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍，再根據(jù)m為整數(shù)確定m的值.
【解答】解：，
由②得：y=4﹣x，
再代入①得：
3x+m(4﹣x)=6，
解得：x=，
再代入②得：
y=，
∵x、y都為正整數(shù)，
∴，
即：0<3﹣m≤6，0<3﹣m≤6﹣4m，
解得：﹣3≤m≤1，
m取整數(shù)為：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
經(jīng)驗(yàn)算﹣1，﹣2，不合題意舍去.
∵m為非負(fù)數(shù)，
∴m取0，1
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解二元一次方程組和解不等式組，要注意的是x，y都為正整數(shù)，解出x，y關(guān)于m的式子，最終求出m的范圍，即可知道整數(shù)m的值.
9.已知x2﹣3x=2，那么多項(xiàng)式x3﹣x2﹣8x+9的值是( )
A.9 B.11 C.12 D.13
【分析】由題意可得x2=3x+2，代入多項(xiàng)式可求其值.
【解答】解：∵x2﹣3x=2，
∴x2=3x+2
∴x3﹣x2﹣8x+9=x(3x+2)﹣x2﹣8x+9=2x2﹣6x+9=2(3x+2)﹣6x+9=13
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求代數(shù)式的值，根據(jù)已知條件將高次冪降次化簡是本題的關(guān)鍵.
10.已知a，b是實(shí)數(shù)，x=a2+b2+24，y=2(3a+4b)，則x，y的大小關(guān)系是( )
A.x≤y B.x≥y C.x
【分析】判斷x、y的大小關(guān)系，把x﹣y進(jìn)行整理，判斷結(jié)果的符號(hào)可得x、y的大小關(guān)系.
【解答】解：x﹣y=a2+b2+24﹣6a﹣8b=(a﹣3)2+(b﹣4)2﹣1，
∵(a﹣3)2≥0，(b﹣4)2≥0，﹣1<0，
∴無法確定(x﹣y)的符號(hào)，即無法判斷x，y的大小關(guān)系.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】考查了配方法的應(yīng)用;關(guān)鍵是根據(jù)比較式子的大小進(jìn)行計(jì)算;通常是讓兩個(gè)式子相減，若為正數(shù)，則被減數(shù)大;反之減數(shù)大.
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
11.PM2.5是大氣壓中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為 2.5×10﹣6 .
【分析】因?yàn)?.0000025<1，所以0.0000025=2.5×10﹣6.
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6;
故答案為：2.5×10﹣6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了較小的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法，10的次數(shù)n是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值等于非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù).
12.2x3y2與12x4y的公因式是 2x3y .
【分析】根據(jù)公因式的定義，分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次冪，乘積就是公因式.
【解答】解：∵2x3y2=2x3y•y，12x4y=2x3y•6x，
∴2x3y2與12x4y的公因式是2x3y，
故答案為：2x3y.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了公因式的確定，熟練掌握公因式的定義和公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵.
13.(4m2﹣6m)÷(2m)= 2m﹣3 .
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【解答】解：原式=4m2÷2m﹣6m÷2m=2m﹣3，
故答案為：2m﹣3.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則.
14.如果多項(xiàng)式x2+mx+16是另一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么m= ±8 .
【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值.
【解答】解：∵x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2×4×x，
解得m=±8.
故答案為：±8.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要.
15.若代數(shù)式x2﹣8x+a可化為(x﹣b)2+1，則a+b= 21 .
【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)題意求出a、b，計(jì)算即可.
【解答】解：x2﹣8x+a
=x2﹣8x+16﹣16+a
=(x﹣4)2﹣16+a，
由題意得，b=4，﹣16+a=1，
解得，a=17，b=4，
則a+b=21，
故答案為：21.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵.
16.某校為住校生分宿舍，若每間7人，則余下3人;若每間8人，則有5個(gè)空床位，設(shè)該校有住校生x人，宿舍y間，則可列出方程組為 .
【分析】設(shè)該校有住校生x人，宿舍y間，根據(jù)若每間7人，則余下3人;若每間8人，則有5個(gè)空床位，列出方程組.
【解答】解：設(shè)該校有住校生x人，宿舍y間，
由題意得.
故答案為.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程組.
17.有一條長方形紙帶，按如圖方式折疊，紙帶重疊部分中的∠α= 75° .
【分析】折疊前，紙條上邊為直線，即平角，由折疊的性質(zhì)可知：2α+30°=180°，解方程即可.
【解答】解：觀察紙條上的邊，由平角定義，折疊的性質(zhì)，得
2α+30°=180°，
解得α=75°.
故答案為75°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)平角的定義，列方程求解.
18.xa=3，xb=4，則x2a﹣3b= .
【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則以及結(jié)合冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.
【解答】解：∵xa=3，xb=4，
∴x2a﹣3b=(xa)2÷(xb)3
=32÷43
=.
故答案為：.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
19.如圖，白色長方形的面積為3，且長比寬多4，以長方形的一組鄰邊為邊向外作如圖所示兩個(gè)灰色的等腰直角三角形，則兩個(gè)灰色等腰直角三角形的面積和為 11 .
【分析】設(shè)白色長方形的長為x，根據(jù)題意得到x2﹣4x=3，根據(jù)等腰直角三角形的面積公式計(jì)算即可.
【解答】解：設(shè)白色長方形的長為x，則寬為(x﹣4)，
由題意得，x(x﹣4)=3，
整理得，x2﹣4x=3，
兩個(gè)灰色等腰直角三角形的面積和=x2+(x﹣4)2
=x2﹣4x+8
=3+8
=11，
故答案為：11.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，正確表示出兩個(gè)灰色等腰直角三角形的面積和是解題的關(guān)鍵.
20.把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量取代替它，從而使問題得到簡化，這叫整體代換或換元思想，請根據(jù)上面的思想解決下面問題：若關(guān)于x，y的方程組的解是，則關(guān)于x，y的方程組的解是 .
【分析】對(duì)比兩個(gè)方程組，可得3(x+y)就是第一個(gè)方程組中的x，即3(x+y)=6，同理：2(x﹣y)=2，解出即可.
【解答】解：∵，
∴
由題意知：，解得;
故答案為：.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了整體換元的思想解決問題，注意第一個(gè)和第二個(gè)方程組中的右邊要統(tǒng)一.
三、解答題(本大題共6小題，共計(jì)50分)
21.(9分)計(jì)算或化簡
(1)﹣12018+2﹣3+(3.14﹣π)0
(2)2a2•a3÷a4
(3)(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)2
【分析】(1)先計(jì)算乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再計(jì)算加減可得;
(2)先計(jì)算乘法，再計(jì)算除法即可得;
(3)先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可得.
【解答】解：(1)原式=﹣1++1=;
(2)原式=2a5÷a4=2a;
(3)原式=x2﹣4﹣(4x2﹣4x+1)
=x2﹣4﹣4x2+4x﹣1
=﹣3x2+4x﹣5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)和整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)和整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.
22.(9分)因式分解
(1)2x3﹣8x
(2)x2﹣2x﹣3
(3)4a2+4ab+b2﹣1
【分析】(1)首先提取2x，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案;
(2)直接利用十字相乘法分解因式得出答案;
(3)將前三項(xiàng)分解因式進(jìn)而利用公式法分解因式得出答案.
【解答】解：(1)2x3﹣8x
=2x(x2﹣4)
=2x(x+2)(x﹣2);
(2)x2﹣2x﹣3
=(x﹣3)(x+1);
(3)4a2+4ab+b2﹣1
=(2a+b)2﹣1
=(2a+b﹣1)(2a+b+1).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式以及提取公因式法、公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵.
23.(6分)選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M
(1)
(2)
【分析】(1)利用代入消元法求解可得;
(2)利用加減消元法求解可得.
【解答】解：(1)，
①代入②，得：3x+2x﹣3=7，
解得：x=2，
將x=2代入①，得：y=4﹣3=1，
則方程組的解為;
(2)，
?、?times;2﹣①，得：x=2，
將x=2代入①，得：10+4y=4，
解得：y=﹣1.5，
則方程組的解為.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
24.(8分)如圖，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠D的2倍比∠B的大90°，求∠B，∠D的度數(shù).
【分析】過C作CF∥AB，則AB∥CF∥DE，設(shè)∠B=x°，∠D=y°，依據(jù)∠B+∠BCD+∠D=360°，∠D的2倍比∠B的大90°，即可得到∠B，∠D的度數(shù).
【解答】解：如圖，過C作CF∥AB，則AB∥CF∥DE，
∴∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
設(shè)∠B=x°，∠D=y°，則
，
解得，
∴∠B=150°，∠D=120°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
25.(8分)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)不相等正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“奇妙數(shù)”.例如：5=32﹣22，16=52﹣32，則5，16都是奇妙數(shù).
(1)15和40是奇妙數(shù)嗎?為什么?
(2)如果兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為奇特奇妙數(shù)，問奇特奇妙數(shù)是8的倍數(shù)嗎?為什么?
(3)如果把所有的“奇妙數(shù)”從小到大排列后，請直接寫出第12個(gè)奇妙數(shù).
【分析】(1)根據(jù)題意可判斷;
(2)利用平方差公式可證;
(3)將“奇妙數(shù)”從小到大排列后，可求第12個(gè)奇妙數(shù).
【解答】解：(1)15和40是奇妙數(shù)，
理由：15=42﹣12，40=72﹣32.
(2)設(shè)這兩個(gè)數(shù)為2n﹣1，2n+1
∵(2n+1)2﹣(2n﹣1)2=8n
∴是8的倍數(shù).
(3)“奇妙數(shù)”從小到大排列為：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19
∴第12個(gè)奇妙數(shù)為19
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練運(yùn)用平方差公式分解因式是本題的關(guān)鍵.
26.(10分)某自行車制造廠開發(fā)了一款新式自行車，計(jì)劃6月份生產(chǎn)安裝600輛，由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式自行車的安裝，工廠決定招聘一些新工人：他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨(dú)立進(jìn)行安裝.調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熱練工和2名新工人每日可安裝8輛自行車;2名熟練工和3名新工人每日可安裝14輛自行車.
(1)每名熟練工和新工人每日分別可以安裝多少輛自行車?
(2)如果工廠招聘n名新工人(0
(3)該自行車關(guān)于輪胎的使用有以下說明：本輪胎如安裝在前輪，安全行使路程為11千公里;如安裝在后輪，安全行使路程為9千公里.請問一對(duì)輪胎能行使的最長路程是多少千公里?
【分析】(1)設(shè)每名熟練工每日可以安裝x輛自行車，每名新工人每日可以安裝y輛自行車，根據(jù)“1名熱練工和2名新工人每日可安裝8輛自行車;2名熟練工和3名新工人每日可安裝14輛自行車”，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)抽調(diào)熟練工a名，根據(jù)工作總量=工作效率×人數(shù)×天數(shù)，即可得出關(guān)于a、n的二元一次方程，結(jié)合a、n為正整數(shù)，即可得出結(jié)論;
(3)設(shè)一個(gè)輪胎用作前輪使用m千公里，用作后輪使用n千公里，根據(jù)一個(gè)輪胎作為前輪可安全行駛11千公里、作為一個(gè)后輪可安全行駛9千公里，即可得出關(guān)于m、n的二元一次方程，兩方程相加除以(+)，即可求出結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)每名熟練工每日可以安裝x輛自行車，每名新工人每日可以安裝y輛自行車，
根據(jù)題意得：，
解得：.
答：每名熟練工每日可以安裝4輛自行車，每名新工人每日可以安裝2輛自行車.
(2)設(shè)抽調(diào)熟練工a名，
根據(jù)題意得：(2n+4a)×30=600，
∴n=10﹣2a，
∴或或或.
答：工廠可以找出2名、4名、6名或6名新工人.
(3)設(shè)一個(gè)輪胎用作前輪使用m千公里，用作后輪使用n千公里，
根據(jù)題意得：，
∴a+b=9.9.
答：一對(duì)輪胎能行使的最長路程是9.9千公里.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組;(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程;(3)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組.
初中七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期中試題
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是( )
A.x3•x3=x6 B.3x2+2x2=5x4
C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2
2.已知 是方程mx+3y=5的解，則m的值是( )
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
3.下列由左到右邊的變形中，是因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4
B.x2﹣1=x(x﹣ )
C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3x
D.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
4.下列各式不能使用平方差公式的是( )
A.(2a+b)(2a﹣b) B.(﹣2a+b)(b﹣2a)
C.(﹣2a+b)(﹣2a﹣b) D.(2a﹣b)﹣(2a﹣b)
5.已知am=6，an=3，則a2m﹣3n的值為( )
A. B. C.2 D.9
6.如圖，從邊長為(a+4)的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長方形(不重疊、無縫隙)，若拼成的長方形一邊的長為3，則另一邊的長為( )
A.2a+5 B.2a+8 C.2a+3 D.2a+2
7.已知4y2+my+9是完全平方式，則m為( )
A.6 B.±6 C.±12 D.12
8.若∠α與∠β的兩邊分別平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，則∠α的度數(shù)為( )
A.70° B.70°或86° C.86° D.30°或38°
9.如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代數(shù)式表示y為( )
A.y=2x B.y=x2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=x2+1
10.已知關(guān)于x、y的方程組 ，給出下列結(jié)論：
?、?是方程組的解;②無論a取何值，x，y的值都不可能互為相反數(shù);
?、郛?dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解;④x，y的都為自然數(shù)的解有4對(duì).
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)
11.在方程4x﹣2y=7中，如果用含有x的式子表示y，則y= .
12.計(jì)算：(﹣2)2+(2011﹣ )0﹣(﹣2)3= .
13.若要(a﹣1)a﹣4=1成立，則a= .
14.如圖是一塊長方形ABCD的場地，長AB=a米，寬AD=b米，從A、B兩處入口的小路寬都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為 米2.
15.有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長方形C類卡片，如果要拼成一個(gè)長為(2a+b)，寬為(a+2b)的大長方形，則需要C類卡片 張.
16.我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”.此圖揭示了(a+b)n(n為非負(fù)整數(shù))的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.
(1)請仔細(xì)觀察，填出(a+b)4的展開式中所缺的系數(shù).(a+b)4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+b4
(2)此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：假如今天是星期三，再過7天還是星期三，那么再過814天是星期 .
三、解答題(本大題共7小題，共66分)
17.(8分)計(jì)算：
(1)(8a3b﹣5a2b2)÷4ab
(2)(2x+y)2﹣(2x+3y)(2x﹣3y)
18.(8分)解方程組
(1)
(2)
19.(8分)先化簡，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=2.
20.(10分)已知：如圖AB∥CD，∠E=∠F，試說明∠1=∠2，并說明理由.
21.(10分)如圖a是長方形紙帶，∠DEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù).
22.(10分)(1)如圖1，若AB∥CD，將點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，∠B，∠D，∠P滿足的數(shù)量關(guān)系是 ，并說明理由.
(2)在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，利用(1)中的結(jié)論(可以直接套用)，求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?
(3)科技活動(dòng)課上，雨軒同學(xué)制作了一個(gè)圖(3)的“飛旋鏢”，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，你能告訴他嗎?說明理由.
23.(12分)我縣某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會(huì)的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材.如圖1所示，(單位：cm)
(1)列出方程(組)，求出圖甲中a與b的值.
(2)在試生產(chǎn)階段，若將30張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒.
?、賰煞N裁法共產(chǎn)生A型板材 張，B型板材 張;
②設(shè)做成的豎式無蓋禮品盒x個(gè)，橫式無蓋禮品盒的y個(gè)，根據(jù)題意完成表格：
禮品盒板 材 豎式無蓋(個(gè)) 橫式無蓋(個(gè))
x y
A型(張) 4x 3y
B型(張) x
③做成的豎式和橫式兩種無蓋禮品盒總數(shù)最多是 個(gè);此時(shí)，橫式無蓋禮品盒可以做 個(gè).(在橫線上直接寫出答案，無需書寫過程)
四、附加題(5分)
24.(5分)觀察下列各式：
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1.
根據(jù)各式的規(guī)律，可推測：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)= .
根據(jù)你的結(jié)論計(jì)算：1+3+32+33+…+32013+32014的個(gè)位數(shù)字是 .
參考答案與試題解析
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是( )
A.x3•x3=x6 B.3x2+2x2=5x4
C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2
【分析】A、利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷;
B、合并同類項(xiàng)得到結(jié)果，即可做出判斷;
C、利用冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷;
D、利用完全平方公式展開得到結(jié)果，即可做出判斷.
【解答】解：A、x3•x3=x6，本選項(xiàng)正確;
B、3x2+2x2=5x2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、(x2)3=x6，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、(x+y)2=x2+2xy+y2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，以及冪的乘方，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.
2.已知 是方程mx+3y=5的解，則m的值是( )
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【分析】根據(jù)方程的解滿足方程，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案.
【解答】解：由題意，得
﹣2m+3=5，
解得m=﹣1，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，利用方程的解滿足方程得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵.
3.下列由左到右邊的變形中，是因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4
B.x2﹣1=x(x﹣ )
C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3x
D.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
【分析】直接利用因式分解的意義分別判斷得出答案.
【解答】解：A、(x+2)(x﹣2)=x2﹣4，是多項(xiàng)式乘法，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、x2﹣1=(x+1)(x﹣1)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、x2﹣4+3x=(x+4)(x﹣1)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、x2﹣4=(x+2)(x﹣2)，正確.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.
4.下列各式不能使用平方差公式的是( )
A.(2a+b)(2a﹣b) B.(﹣2a+b)(b﹣2a)
C.(﹣2a+b)(﹣2a﹣b) D.(2a﹣b)﹣(2a﹣b)
【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.
【解答】解：各式不能使用平方差公式的是(﹣2a+b)(b﹣2a)，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.
5.已知am=6，an=3，則a2m﹣3n的值為( )
A. B. C.2 D.9
【分析】原式利用同底數(shù)冪的除法法則及冪的乘方運(yùn)算法則變形，將已知等式代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：∵am=6，an=3，
∴原式=(am)2÷(an)3=36÷27= ，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同底數(shù)冪的除法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
6.如圖，從邊長為(a+4)的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長方形(不重疊、無縫隙)，若拼成的長方形一邊的長為3，則另一邊的長為( )
A.2a+5 B.2a+8 C.2a+3 D.2a+2
【分析】利用已知得出矩形的長分為兩段，即AB+AC，即可求出.
【解答】解：如圖所示：
由題意可得：
拼成的長方形一邊的長為3，另一邊的長為：AB+AC=a+4+a+1=2a+5.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的剪拼，正確理解題意分割矩形成兩部分是解題關(guān)鍵.
7.已知4y2+my+9是完全平方式，則m為( )
A.6 B.±6 C.±12 D.12
【分析】原式利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求出m的值即可.
【解答】解：∵4y2+my+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
8.若∠α與∠β的兩邊分別平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，則∠α的度數(shù)為( )
A.70° B.70°或86° C.86° D.30°或38°
【分析】根據(jù)已知得出(2x+10)+(3x﹣20)=180，2x+10=3x﹣20，求出x=38，x=30，代入求出即可.
【解答】解：∵∠α與∠β的兩邊分別平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，
∴(2x+10)+(3x﹣20)=180，2x+10=3x﹣20，
x=38，x=30，
當(dāng)x=38時(shí)，∠α=86°，
當(dāng)x=30時(shí)，∠α=70°，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當(dāng)兩個(gè)角的兩邊分別平行時(shí)，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
9.如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代數(shù)式表示y為( )
A.y=2x B.y=x2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=x2+1
【分析】根據(jù)移項(xiàng)，可得3m的形式，根據(jù)冪的運(yùn)算，把3m代入，可得答案.
【解答】解：x=3m+1，y=2+9m，
3m=x﹣1，
y=2+(3m)2，
y=(x﹣1)2+2，
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，先化成要求的形式，把3m代入得出答案.
10.已知關(guān)于x、y的方程組 ，給出下列結(jié)論：
① 是方程組的解;②無論a取何值，x，y的值都不可能互為相反數(shù);
③當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解;④x，y的都為自然數(shù)的解有4對(duì).
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
【分析】①將x=5，y=﹣1代入檢驗(yàn)即可做出判斷;
②將x和y分別用a表示出來，然后求出x+y=3來判斷;
③將a=1代入方程組求出方程組的解，代入方程中檢驗(yàn)即可;
④有x+y=3得到x、y都為自然數(shù)的解有4對(duì).
【解答】解：①將x=5，y=﹣1代入方程組得： ，
由①得a=2，由②得a= ，故①不正確.
②解方程
?、侃仮诘茫?y=4﹣4a
解得：y=
將y的值代入①得：x=
所以x+y=3，故無論a取何值，x、y的值都不可能互為相反數(shù)，故②正確.
?、蹖=1代入方程組得： ，
解此方程得： ，
將x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左邊=3=右邊，是方程的解，故③正確.
④因?yàn)閤+y=3，所以x、y都為自然數(shù)的解有 ， ， ， .故④正確.
則正確的選項(xiàng)有②③④.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.
二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)
11.在方程4x﹣2y=7中，如果用含有x的式子表示y，則y= .
【分析】將x看做已知數(shù)求出y即可.
【解答】解：4x﹣2y=7，
解得：y= .
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y.
12.計(jì)算：(﹣2)2+(2011﹣ )0﹣(﹣2)3= 13 .
【分析】原式第一項(xiàng)利用平方的意義化簡，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用立方的意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=4+1﹣(﹣8)=4+1+8=13.
故答案為：13
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
13.若要(a﹣1)a﹣4=1成立，則a= 4，2，0 .
【分析】根據(jù)任何非0的數(shù)的0次冪等于1，以及1的任何次冪等于1、﹣1的偶次冪等于1即可求解.
【解答】解：a﹣4=0，即a=4時(shí)，(a﹣1)a﹣4=1，
當(dāng)a﹣1=1，即a=2時(shí)，(a﹣1)a﹣4=1.
當(dāng)a﹣1=﹣1，即a=0時(shí)，(a﹣1)a﹣4=1
故a=4，2，0.
故答案為：4，2，0.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪的意義，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵.
14.如圖是一塊長方形ABCD的場地，長AB=a米，寬AD=b米，從A、B兩處入口的小路寬都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為 (ab﹣a﹣2b+2) 米2.
【分析】根據(jù)已知將道路平移，再利用矩形的性質(zhì)求出長和寬，再進(jìn)行解答.
【解答】解：由圖可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一個(gè)新的矩形，且它的長為：(a﹣2)米，寬為(b﹣1)米.
所以草坪的面積應(yīng)該是長×寬=(a﹣2)(b﹣1)=ab﹣a﹣2b+2(米2).
故答案為(ab﹣a﹣2b+2).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了生活中的平移，根據(jù)圖形得出草坪正好可以拼成一個(gè)長方形是解題關(guān)鍵.
15.有若干張如圖所示的正方形A類、B類卡片和長方形C類卡片，如果要拼成一個(gè)長為(2a+b)，寬為(a+2b)的大長方形，則需要C類卡片 5 張.
【分析】計(jì)算長方形的面積得到(2a+b)(a+2b)，再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開后合并，然后確定ab的系數(shù)即可得到需要C類卡片的張數(shù).
【解答】解：長方形的面積=(2a+b)(a+2b)
=2a2+5ab+b2，
所以要拼成一個(gè)長為(2a+b)，寬為(a+2b)的大長方形，
則需要A類卡片2張，B類卡片1張，C類卡片5張.
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
16.我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”.此圖揭示了(a+b)n(n為非負(fù)整數(shù))的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.
(1)請仔細(xì)觀察，填出(a+b)4的展開式中所缺的系數(shù).(a+b)4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+b4
(2)此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：假如今天是星期三，再過7天還是星期三，那么再過814天是星期 四 .
【分析】(1)根據(jù)楊輝三角，下一行的系數(shù)是上一行相鄰兩系數(shù)的和，然后寫出各項(xiàng)的系數(shù)即可;
(2)根據(jù)814=(7+1)14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余數(shù)為1，從而可得答案.
【解答】解：(1)(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
故答案為：6，4;
(2)∵814=(7+1)14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余數(shù)為1，
∴假如今天是星期三，那么再過814天是星期四，
故答案為：四.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能發(fā)現(xiàn)(a+b)n展開后，各項(xiàng)是按a的降冪排列的，系數(shù)依次是從左到右(a+b)n﹣1系數(shù)之和.它的兩端都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和.
三、解答題(本大題共7小題，共66分)
17.(8分)計(jì)算：
(1)(8a3b﹣5a2b2)÷4ab
(2)(2x+y)2﹣(2x+3y)(2x﹣3y)
【分析】(1)原式利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可求出值;
(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式計(jì)算，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)原式=2a2﹣ ab;
(2)原式=4x2+4xy+y2﹣4x2+9y2=10y2+4xy.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.(8分)解方程組
(1)
(2)
【分析】(1)利用代入消元法求解可得;
(2)利用加減消元法求解可得.
【解答】解：(1) ，
將②代入①，得：2(﹣2y+3)+3y=7，
解得：y=﹣1，
則x=﹣2×(﹣1)+3=5，
所以方程組的解為 ;
(2) ，
?、?times;3﹣②×2，得：17n=51，
解得：n=3，
將n=3代入①，得：2m+9=13，
解得：m=2，
則方程組的解為 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
19.(8分)先化簡，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=2.
【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案.
【解答】解：當(dāng)x=2時(shí)，
原式=4x2﹣9﹣x2+4x﹣4﹣3x2+3x
=7x﹣13
=14﹣13
=1
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.
20.(10分)已知：如圖AB∥CD，∠E=∠F，試說明∠1=∠2，并說明理由.
【分析】由∠E=∠F，可知AF∥ED，可得內(nèi)錯(cuò)角相等，由AB∥CD，可得∠CDA=∠DAB，依據(jù)等量減等量，結(jié)果仍相等的原則，即可推出∠1=∠2.
【解答】證明：∵∠E=∠F，
∴AF∥ED，
∴∠DAF=∠ADE，
∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠DAB，
∴∠CDA﹣∠ADE=∠DAB﹣∠DAF，
即∠1=∠2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)及判定定理，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，推出∠DAF=∠ADE，∠CDA=∠DAB.
21.(10分)如圖a是長方形紙帶，∠DEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù).
【分析】由平行線的性質(zhì)知∠DEF=∠EFB=20°，進(jìn)而得到圖b中∠GFC=140°，依據(jù)圖c中的∠CFE=∠GFC﹣∠EFG進(jìn)行計(jì)算.
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在圖b中∠GFC=180°﹣2∠EFG=140°，
在圖c中∠CFE=∠GFC﹣∠EFG=120°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.
22.(10分)(1)如圖1，若AB∥CD，將點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，∠B，∠D，∠P滿足的數(shù)量關(guān)系是 ∠BPD=∠B+∠D ，并說明理由.
(2)在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，利用(1)中的結(jié)論(可以直接套用)，求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?
(3)科技活動(dòng)課上，雨軒同學(xué)制作了一個(gè)圖(3)的“飛旋鏢”，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，你能告訴他嗎?說明理由.
【分析】(1)過P作平行于AB的直線，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可得出三個(gè)角的關(guān)系.
(2)連接QP并延長至F，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD的關(guān)系;
(3)連接CP并延長至G，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠APB﹑∠B﹑∠A﹑∠ACB的關(guān)系，代入即可.
【解答】解：(1)∠BPD=∠B+∠D，如圖1，過P點(diǎn)作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠BPE=∠B，∠EPD=∠D，
∵∠BPD=∠BPE+∠EPD，
∴∠BPD=∠B+∠D.
故答案為：∠BPD=∠B+∠D;
(2)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，連接QP并延長至F，如圖2，
∵∠BPF=∠ABP+∠BAP，∠FPD=∠PDQ+∠PQD，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD;
(3)∠APB=65°+∠ACB，連接CP并延長至G，如圖3，
∵∠APG=∠A+∠ACP，∠BPG=∠B+∠BCP，
∴∠APB=∠B+∠A+∠ACB，
∵∠A=30°，∠B=35°，
∴∠APB=65°+∠ACB.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線后，利用平行線和三角形外角性質(zhì)解答.
23.(12分)我縣某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會(huì)的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材.如圖1所示，(單位：cm)
(1)列出方程(組)，求出圖甲中a與b的值.
(2)在試生產(chǎn)階段，若將30張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒.
①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材 64 張，B型板材 38 張;
②設(shè)做成的豎式無蓋禮品盒x個(gè)，橫式無蓋禮品盒的y個(gè)，根據(jù)題意完成表格：
禮品盒板 材 豎式無蓋(個(gè)) 橫式無蓋(個(gè))
x y
A型(張) 4x 3y
B型(張) x
?、圩龀傻呢Q式和橫式兩種無蓋禮品盒總數(shù)最多是 20 個(gè);此時(shí)，橫式無蓋禮品盒可以做 16或17或18 個(gè).(在橫線上直接寫出答案，無需書寫過程)
【分析】(1)由圖示列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解.(2)根據(jù)已知和圖示計(jì)算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)，同樣由圖示完成表格，并完成計(jì)算.
【解答】解：(1)由題意得： ，
解得： ，
答：圖甲中a與b的值分別為：60、40.
(2)①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：2×30=60，裁法二產(chǎn)生A型板材為：1×4=4，所以兩種裁法共產(chǎn)生A型板材
為60+4=64(張)，
由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：1×30=30，裁法二產(chǎn)生A型板材為，2×4=8，所以兩種裁法共產(chǎn)生B型板材
為30+8=38(張)，
故答案為：64，38.
?、谟梢阎蛨D示得：橫式無蓋禮品盒的y個(gè)，每個(gè)禮品盒用2張B型板材，所以用B型板材2y張.
禮品盒板 材 豎式無蓋(個(gè)) 橫式無蓋(個(gè))
x y
A型(張) 4x 3y
B型(張) x 2y
?、塾缮媳砜芍獧M式無蓋款式共5y個(gè)面，用A型3y張，則B型需要2y張.
則做兩款盒子共需要A型4x+3y張，B型x+2y張.
則4x+3y≤64;x+2y≤38.兩式相加得5x+5y≤102.
則x+y≤20.4.所以最多做20個(gè).
兩式相減得3x+y≤26.則2x≤5.6，解得x≤2.8.則y≤18.
則橫式可做16，17或18個(gè).
故答案為：20，16或17或18.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，再是根據(jù)圖示解答.
四、附加題(5分)
24.(5分)觀察下列各式：
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1.
根據(jù)各式的規(guī)律，可推測：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)= xn﹣1 .
根據(jù)你的結(jié)論計(jì)算：1+3+32+33+…+32013+32014的個(gè)位數(shù)字是 3 .
【分析】根據(jù)已知算式得出規(guī)律，即可求出答案.
【解答】解：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)=xn﹣1;
1+3+32+33+…+32013+32014= (3﹣1)(1+3+32+33+…+32013+32014= (32015﹣1)，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，
∴2015÷4=503…3，
即32015的個(gè)位數(shù)字是7，
所以1+3+32+33+…+32013+32014的個(gè)位數(shù)字是 ，
故答案為：xn﹣1，3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和完全平方公式，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.
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