高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)筆記(2)
高二下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)筆記
1、向量的加法
向量的加法滿(mǎn)足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。
當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線(xiàn)段伸長(zhǎng)或壓縮。
當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍;
當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：兩個(gè)非零向量的夾角記為〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a·b。若a、b不共線(xiàn)，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共線(xiàn)，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算率
a·b=b·a(交換率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線(xiàn)，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線(xiàn)，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量沒(méi)有除法，“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。
向量的三角形不等式
5、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。
6、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。
定比分點(diǎn)
定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ·向量PP2)
設(shè)P1、P2是直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)
我們把上面的式子叫做有向線(xiàn)段P1P2的定比分點(diǎn)公式
三點(diǎn)共線(xiàn)定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)
三角形重心判斷式
在△ABC中，若GA +GB +GC=0 ,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線(xiàn)的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a·b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
還有注意一點(diǎn),不要把點(diǎn)寫(xiě)成叉
圓錐曲線(xiàn)里的弦長(zhǎng)公式
d=根號(hào)(1+k^2)|x1-x2|=根號(hào)(1+k^2)根號(hào)[(x1+x2)^2-4x1x2]=根號(hào)[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
圓里相交直線(xiàn)所構(gòu)成的弦長(zhǎng)m,與圓的半徑r,圓心到直線(xiàn)的距離d的關(guān)系為
(m/2)^2+d^2=r^2
直線(xiàn)
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
平行的充要條件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
d=|Ax0+By0+C|/根號(hào)(A^2+B^2)
若平行
則d=|c2-c1|/根號(hào)(A^2+B^2)
A和B上下兩個(gè)式子必須相等
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