高二數(shù)學三角函數(shù)學習要點
數(shù)學數(shù)學是高考的三大必考主科之一，數(shù)學成績的好壞也將直接關系到你是否能夠考入理想的大學，高二數(shù)學也是整個高中數(shù)學學習承上啟下的一年，所以一定要下功夫?qū)W好數(shù)學。以下是學習啦小編為您整理的關于高二數(shù)學三角函數(shù)學習要點的相關資料，供您閱讀。
高二數(shù)學三角函數(shù)學習要點
一、函數(shù)學習的幾個步驟
先送小詩一首
學函數(shù)
函數(shù)函數(shù)定義鋪路， 式子擺出，再限制參數(shù)，
定義域優(yōu)先，值域斷后，
圖像是小名，性質(zhì)是輔助，
拓展要灑脫，應用要把握好步驟，
學吧，學吧，請走出自己的路。
1、學習某個函數(shù)肯定是先學習定義，而定義一般是用函數(shù)式來定義的，并且定義式中的參數(shù)一般會有一定的限制。如：一次函數(shù)y=ax+b，a不為0。
2、定義域優(yōu)先應該說所有的老師都明白，但是應用的時候就可能會忘記，事實上在方程與不等式的研究中也應該有“定義域”優(yōu)先的原則。缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了。而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫。但它是研究的重點，研究的方法也非常多，并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣。
3、圖像也是表示函數(shù)的一種方式，它直觀，用其研究性質(zhì)或是直接解題會很方便。性質(zhì)只是對函數(shù)的一種深入思考，研究時不能受到局限。
4、拓展包括定義與性質(zhì)，比如研究參數(shù)對函數(shù)的影響，值域中要研究最大最小值，奇偶性應該研究其它的對稱性等;函數(shù)應用題的思考步驟應該是：?是自變量，?是函數(shù)，什么關系?，定義域怎么樣?，……
5、談談函數(shù)定義中的參數(shù)對單調(diào)性的影響
各位朋友有沒有注意到這一點：
函數(shù)定義中的參數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生直接的影響……
(1)一次函數(shù)：a>0時，單調(diào)增;a<0時，單調(diào)減;
(2)二次函數(shù)：a>0時，減后增;a<0時，增后減;
(3)三次函數(shù)：a>0時，一直增或是增減增;a<0時，一直減或是減增減;
(4)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)：當0
二、三角函數(shù)學習的序曲
再送小詩一首
推廣角
角角角，銳角直角加鈍角，皆為圖形角;
有始有終旋轉(zhuǎn)角，有逆有順任意角，放入直角坐標后，終邊確定解析角;
銳角鈍角是單區(qū)角，象限角為多區(qū)角，直角只是一個角，象限間角是多個角;
角角角，用度做單位太蹩腳，改用弧度才真正吹起函數(shù)的號角。
1、用平面內(nèi)從一點發(fā)出的兩條射線所構成的圖形來定義角，是中學生最先學到的角的概念，這種定義下的角叫圖形角;
2、由平面內(nèi)的一條確定的射線繞起點旋轉(zhuǎn)而形成的角，定義為旋轉(zhuǎn)角，開始的射線為角的始邊，終止的位置射線為終邊，旋轉(zhuǎn)角的范圍可以達到一周;
3、把上述的逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角定義為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)而形成的角定義為負角，轉(zhuǎn)過的度數(shù)定義為角的大小，此時的角為任意角;
4、為了研究三角函數(shù)我們使任意角的始邊與x的非負半軸重合，這樣被確定的角我們(也許只有我自己)把它叫做解析角。此時一個終邊可以確定無限多個任意角;
5、用弧的長度與對應圓的半徑的比值來度量角，就是我們引入的弧度制，所以弧度就是用弧來度量的意思;
6、省略了角的弧度這個單位之后，角的大小就與實數(shù)產(chǎn)生了一一對應的關系，這為研究三角函數(shù)提供了必要的前提條件;
7、角的再發(fā)展
當角在平面上感覺有點郁悶的時候，它就開始了新的旅程：
(1)異面直線所成的角;
(2)斜線與平面所成的角;
(3)二面角;
三、表示法中的過渡
一般來說，我們表示函數(shù)習慣于用y=f(x)表示，其中x表示自變量，y表示函數(shù)，f表示對應關系。那么我們有沒有注意到，學習三角函數(shù)的過程中：
1、初中就學習了三角函數(shù)，但是沒有說什么是自變量，什么是函數(shù)。只是在直角三角形中，定義了銳角a的正弦、余弦、正切。
2、高中把角推廣到任意角之后，給出三角函數(shù)的定義時，使用的角仍然為a，只是定義用解析角的終邊上的任意一點的坐標和該點到原點的距離來定義(特別地，也可用終邊與單位圓的交點的坐標定義)，知道這是為什么嗎?
3、在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的時候， 才把正弦函數(shù)的解析式寫成y=sinx，余弦寫為y=cosx......
教學中，千萬不要忽略這一點，教材這樣處理是有它自已的道理的。
四、幾個定義的對照
1、初中學習了在直角三角形中定義銳角的三角函數(shù)，定義過程沒有任何理由，利用定義可以根據(jù)兩個特殊三角形記憶三個特殊角的三角函數(shù)值;
2、在直角坐標系中，用角的終邊與單位圓的交點縱坐標定義正弦，用橫坐標定義角的余弦，……，利用這個公式容易證明同角關系式，容易看出不同象限角的各個三角函數(shù)值的符號，也容易得到相關的誘導公式;
3、單位圓中的三角函數(shù)線也是三角函數(shù)的定義，只不過是用有向線段的數(shù)量來定義的，利用這個定義容易畫出三角函數(shù)的圖像，解決一些比較大小的問題或是求三角函數(shù)值;
4、利用角的終邊上的任意一點的坐標與該點到坐標原點的距離來定義，這個定義是上述二者中所述定義的一般形式，可以用來解決一般的問題;
5、在整個三角函數(shù)定義的過程中，讓我們感覺到了學習的知識是在不斷地發(fā)展中的，知識的內(nèi)在聯(lián)系非常密切，應該體會同一性之中有著自己的特點。
五、同角關系式的運用
新教材中，重點學習兩個同角關系式，一個是平方關系的，另一個是商數(shù)關系的。兩個公式各有應用，運用時應該注意以下幾點：
1、平方關系可以完成正余弦的互求，注意開方時應該有兩個平方根，所以在角未受到一定的限制時，應該仔細考慮結(jié)果的符號，而無限制時就應該討論了。
2、商數(shù)關系的最大應用是“弦切互化”。注意與“余角余函數(shù)”公式對應學習與結(jié)合運用。
六、誘導公式的理解
1、誘導公式在教材上占了較大篇幅，從誘導公式(一)到誘導公式(六)，最后結(jié)果是：較差的學生死記硬背，學一個忘一個;中等的學生似懂非懂，會做一些簡單的題;優(yōu)秀生學完之后，感覺太簡單了，不知道為什么還要論述那么久?你的學生是不是這樣呢?
2、有一個口訣：“奇變偶不變，符號看象限。”多數(shù)的學生都知道，但是知其然不知其所以然。所以，好多的學生不會用。追究其原因，仍然是不理解造成的。
3、這些公式的形式都是從一個三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一個三角函數(shù)，可以同名也可以不同名。那么，我們?yōu)槭裁匆D(zhuǎn)化呢?求值?求角?還是?
4、復雜之中，有著一絲不變的線索，它是什么呢?——“角的變化”。事實上是把終邊相同或是關于x軸、y軸或是坐標原點對稱的角與角之間建立起來的等量關系。這些公式能把角從一個象限轉(zhuǎn)化到其它象限中，或者說是與其它象限中的某些相關角建立聯(lián)系。我們把這種聯(lián)系的起源選定，其它就都是利用上述公式“誘惑”與“引導”而來。在做題目的時候，可以有上述的體會。
5、例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，請把A角表示出來。熟練的老師或是學生，可能一下就可以看出，有一個特角-30度，再加上360度的整數(shù)倍就可以了。但不熟練的學生怎么辦呢?用誘導的辦法就可以完成。第一步：在銳角中找一個角，使它的正弦值為1/2，那么當然是30度了。第二步：把30度誘導到第四象限，可以就是-30度，也可以是360度減去30度，第三步：把第二步的角再加上360度的整數(shù)倍就可以了。如果想誘導到第二象限，只需用180度減;如果想誘導到第三象限，就用180度加就好了。
6、誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”的正確性可以用“和差角公式”去驗證，sin(π/2-x)=sin(π/2)cosx-cos(π/2)sinx=cosx。輔助角公式配合單位圓，用數(shù)量積定義去理解，acosx+bsinx=(a,b)·(cosx,sinx)，對于學生進一步理解所學知識是非常有好處的。同時，我們也不能不看到，原來的思路與方法和公式可能解決的問題是不可代替的。
七、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的深入思考1、三角函數(shù)圖像的作法與其它函數(shù)的圖像的作法相同，基本步驟應該是：
(1)確定函數(shù)定義域，值域;
(2)研究單調(diào)性與奇偶性等性質(zhì);
(3)取關鍵點列表描點;
(4)結(jié)合函數(shù)的變化速度與變化趨勢連線作圖;
2、與其它函數(shù)不同的就是周期性，體會最小正周期，與起點的位置無關;
3、三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何定義，它把三角函數(shù)值準確的用有向線段的數(shù)量表示出來，這為準確描點提供了保障;
4、由于圖像本身就是函數(shù)的定義的一種形式，所以對函數(shù)圖像的研究就顯得非常的重要，而函數(shù)的性質(zhì)都寫在函數(shù)的圖像上，所以不必太追究性質(zhì)是什么、分幾條，而應該讓學生學會讀懂函數(shù)的圖像語言，會運用函數(shù)的圖像解題就可以了;
5、所謂深入思考就是體會函數(shù)=Asin(wx+q)+b中的各個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，對性質(zhì)的影響，這一點應該與其它函數(shù)對照研究;
6、關于正弦與余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的再思考
(1)單調(diào)區(qū)間的長度為最小正周期長度的一半，單調(diào)區(qū)間的兩個端點是函數(shù)取到最值的點;
(2)函數(shù)圖像與x軸(平衡位置)的交點都是它們的對稱中心，過最大或最小值點垂直于x軸(平衡位置所在的直線)的直線都是它們的對稱軸。相鄰的對稱中心或是兩個對稱軸之間的距離應該是周期的一半;
(3)兩個函數(shù)圖像形狀相同，只是在坐標系中的位置不同，它們左右位置差周期的1/4;
(4)對于函數(shù)y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b來說，對以上三條只需進行稍微的修改即可。
八、平移與伸縮變換的引申有好多的學生在平移與伸縮變換的時候會混淆，知其然不知所以然……。下面提出幾個問題，請各位朋友一起思考，你們在教學的時候是否對它們進行了研究?1、對于平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負半軸，為什么要加呢?右是x軸的正半軸，為什么要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。2、對于左右平移與橫坐標的伸縮變換，如果先后順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什么呢?3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什么樣的?關鍵在什么地方?4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關系如何?5、對函數(shù)的平移與對曲線的平移有區(qū)別嗎?6、平移函數(shù)的圖像與坐標變換怎樣進行區(qū)別?各有什么優(yōu)點?
(1)對于平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負半軸，為什么要加呢?右是x軸的正半軸，為什么要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。
這個問題其實是這樣的：向左移，每點的橫坐標都在減少，應該把橫坐標減去移動的量。但是，你必須把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)變成x=g(y)的形式之后完成。比如：你把函數(shù)圖像向左平移了2個單位，那么，函數(shù)式x=g(y)應該變?yōu)椋簒=g(y)-2。而這個式子變形之后就是：y=f(x+2)了。
別的還用說嗎?
(2)對于左右平移與橫坐標的伸縮變換，如果先后順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什么呢?
同問1的回答：把函數(shù)y=f(x)變形為x=g(y)，如果向右平移a個單位，則變?yōu)閤=g(y)+a，再伸縮為原來的b倍，則變?yōu)閤=b[g(y)+a]，解得：y=f[(1/b)x-a];如果橫坐標先伸縮為原來的b倍，則變?yōu)閤=bg(x)，再向右平移a個單位，則變?yōu)閤=bg(y)+a，解得：y=f[1/b(x-a)]。顯然所得兩函數(shù)表達式不同……
7、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什么樣的?關鍵在什么地方?
(1)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個單位，然后再把每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腷倍，則所得圖像對應的函數(shù)解析式為：y=f(bx+a);
(2)如果把函數(shù)y=f(x)的圖像每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腷倍，然后再把圖像向左平移a個單位，則所得圖像對應的函數(shù)解析式為：y=f[b(x+a)];
仔細分析，左右的平移與每點橫坐標的伸縮都是對自變量x而言的，只對x做相應的處理。
8、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關系如何?
左右的平移就是向量的橫坐標，上下的平移就在于向量的縱坐標，橫與縱坐標的符號代表平移的方向。目標相同，路徑不同罷了。
9、對函數(shù)的平移與對曲線的平移有區(qū)別嗎?
函數(shù)本身就是方程，所以函數(shù)圖像就是曲線，所以對曲線的平移方法可以直接用到函數(shù)中來。但是，對函數(shù)圖像的平移口訣“左加右減”不可以直接用到曲線的平移之中……原因應該由上面的可以知道了。
10、平移函數(shù)的圖像與坐標變換怎樣進行區(qū)別?各有什么優(yōu)點?
這兩者都可以完成同樣的事，那就是簡化我們要研究的函數(shù)表達或是曲線的方程，優(yōu)點也與些類似。各自的優(yōu)點可以通過例題來體會，不多述了。
九、和角與差角公式的推導指引1、cos(A-B)
2、cos(A+B)
3、sin(A-B)
4、sin(A+B)
5、tan(A-B)
6、tan(A+B)
7、sin2A
8、cos2A
9、tan2A
10、sinAcosA
11、(sinA)^2
12、(cosA)^2
13、asinA+bcosA
14、tanA+tanB
15、用tanA表示sin2A，cos2A，tan2A
16、……
上述公式，每天推導三次，連續(xù)推導三天，題可做，分可拿……
請注意，是推導不是背公式啊!
十、倍角余弦公式的變形應用公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1
公式變形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A);(cosA)^2=1/2(1+cos2A)
上述公式與正弦二倍角公式的變形統(tǒng)稱“降冪公式”，對化簡三角函數(shù)式為Asin(wx+b)的形式起到非常重要的作用。
十一、解三角形的幾個關鍵點1、三角形本身就是已知條件：(1)內(nèi)角和定理;(2)邊角大小關系;
2、正弦與余弦定理：注意應用時解的取舍;
3、面積公式：注意用內(nèi)切圓半徑時，把三角形一分為三的方法，學會推導海淪公式;
4、三角形的重心、內(nèi)心、外心及垂心;
小結(jié)：1、學習線索三角函數(shù)與其它函數(shù)一樣，學習的步驟是：
(1)定義;(2)定義域;(3)圖像;(4)性質(zhì);
但也有本身的特點，如周期性、對稱性等，所以在上述步驟中應該適應加入：
(1)同角關系式;(2)誘導公式;(3)兩角和與差公式;(4)倍角公式……;
那么加在什么地方?怎么加呢?
2、學習重點剛好回答上面的問題，那些公式都是由定義直接可以得到的，可以看成是對定義的引申。在教學時應該緊緊圍繞三角函數(shù)的定義去教學。所以，三角函數(shù)的教學重點就是三角函數(shù)的定義。
3、學習技巧三角函數(shù)難點在三角變換，所以三角變換的技巧就是學習三角函數(shù)的技巧。一般來說可以從三個方面考慮：
(1)從角上考慮：用已知角表示未知角，教材上的例題與習題都有滲透;
(2)從函數(shù)的名稱上考慮：注意把握弦與切的互化，正弦與余弦之間的轉(zhuǎn)化;
(3)從式子的結(jié)構上考慮：公式的每一種變形都是一道很好三角題目，只有掌握了公式的全部變形才能應用得手。如：tanB+tanC=?一般的學生不知道，尤其是當B+C為特殊角的時候，它就完成了正切和與正切積的轉(zhuǎn)化;
一般來說，上述三個方面應該同時考慮，解決了一兩個方面，其它方面自然平衡，題目可以順利完成。
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