高二數(shù)學下冊等差數(shù)列單元訓練題及答案
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高二數(shù)學下冊等差數(shù)列單元訓練題及答案
一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.等差數(shù)列{an}前四項和為40，末四項和為72，所有項和為140，則該數(shù)列共有( )
A.9項 B.12項 C.10項 D.13項
【答案】C
【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,
an+an-1+an-2+an-3=72.
∴a1+an= =28.
又 =140,
故n=10.
2.給出下列等式：(ⅰ)an+1-an=p(p為常數(shù));(ⅱ)2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b為常數(shù))則無窮數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是( )
A.(ⅰ) B.(ⅰ)(ⅲ)
C.(ⅰ)(ⅱ) D.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)
【答案】D
【解析】易知三個都是，另外還有一個常見的是{an}的前n項和Sn=an2+bn，(a,b為常數(shù)).
3.等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，則前9項的和S9等于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
【答案】B
【解析】a1+a4+a7=39 a4=13,a3+a6+a9=27 a6=9，
S9= =99.
4.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項的和為Sn,當首項a1和d變化時,a2+a8+a11是一個定值,則下列各數(shù)中也為定值的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【答案】C
【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7為定值.
又S13= =13a7,
∴選C.
5.已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,又數(shù)列{ }是等差數(shù)列,則a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
【答案】B
【解析】∵ +(7-3)d,
∴d= .
∴ +(11-3)d= ,
a11= .
6.已知數(shù)列{an}的通項為an=26-2n,若要使此數(shù)列的前n項之和Sn最大,則n的值是( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14
【答案】C
【解析】由 得12≤n≤13,
故n=12或13.
7.在等差數(shù)列{an}中, <-1,若它的前n項和Sn有最大值,則下列各數(shù)中是Sn的最小正數(shù)值的是( )
A.S1 B.S38 C.S39 D.S40
【答案】C
【解析】因Sn有最大值,故d<0,又 <0.
因a210,a20+a21<0.
∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)<0.
S39=39a20>0,S39-S38=a39<0.
又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)<0,
故選C.
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下圖的規(guī)律拼成若干個圖案:
則第n個圖案中有白色地面磚_____________塊.
【答案】4n+2
【解析】每增加一塊黑磚,則增加4塊白磚,故白磚數(shù)構(gòu)成首項為6,公差為4的等差數(shù)列,故an=6+4(n-1)=4n+2.
9.設f(x)= ,利用課本中推導等差數(shù)列前n項和方法,求f( )+f( )+…+f( )的值為_________________.
【答案】5
【解析】當x1+x2=1時,f(x1)+f(x2)
= =1.
設S=f( )+f( )+…+f( ),倒序相加有
2S=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]=10.
即S=5.
10.數(shù)列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一個通項公式an=__________________.
【答案】
【解析】前n項一共有1+2+3+…+n= 個自然數(shù),設Sn=1+2+3+…+n= ,則
an= .
三、解答題(11—13題每小題10分，14題13分，共43分)
11.{an}是等差數(shù)列，公差d>0，Sn是{an}的前n項和，已知a2a3=40,S4=26.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令bn= ，求數(shù)列{bn}的所有項之和T.
【解析】(1)S4= (a1+a4)=2(a2+a3)=26.
又∵a2a3=40,d>0，
∴a2=5,a3=8,d=3.
∴an=a2+(n-2)d=3n-1.
(2)bn= =
Tn= .
12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,
(1)設f(x)的圖象的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：{an}為等差數(shù)列;
(2)設f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成{bn},求{bn}的前n項和.
(1)證明：f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8,
∴an=3n-8.∵an-1-an=3,
∴{an}為等差數(shù)列.
(2)【解析】bn=|3n-8|,
當1≤n≤2時，bn=8-3n,b1=5.
Sn= ;
當n≥3時，bn=3n-8.
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)
13.假設你在某公司打工，根據(jù)表現(xiàn)，老板給你兩個加薪的方案：
(Ⅰ)每年年末加1 000元;
(Ⅱ)每半年結(jié)束時加300元.請你選擇.
(1)如果在該公司干10年，問兩種方案各加薪多少元?
(2)對于你而言，你會選擇其中的哪一種?
【解析】設方案一第n年年末加薪an,因為每年末加薪1 000元，則an=1 000n;設方案二第n個半年加薪bn，因為每半年加薪300元，則bn=300n.
(1)在該公司干10年(20個半年)，方案(Ⅰ)共加薪S10=a1+a2+…+a10=55 000(元).
方案(Ⅱ)共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+ ×300=63 000元.
(2)設在該公司干n年，兩種方案共加薪分別為：
Sn=a1+a2+…+an=1 000×n+ ×1 000=500n2+500n,
T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+ ×300=600n2+300n;
令T2n≥Sn即600n2+300n>500n2+500n,解得，n≥2,當n=2時等號成立.
∴如果干3年以上(包括3年)應選擇第二方案;如果只干2年，隨便選;如果只干1年，當然選擇第一方案.
14.設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,且對于所有的正整數(shù)n,有an=2 -2.
(1)寫出數(shù)列{an}的三項;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式,并寫出推證過程;
(3)令bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【解析】(1)由題意，當n=1時，有a1=2 -2,S1=a1，
∴a1=2 -2,解得a1=2.
當n=2時，有a2=2 -2,S2=a1+a2,
將a1=2代入，整理得(a2-2)2=16,
由a2>0，解得a2=6.
當n=3時，有a3=2 -2,S3=a1+a2+a3,
將a1=2,a2=6代入，整理得(a3-2)2=64,
由a3>0，解得a3=10.
所以該數(shù)列的前三項分別為2，6，10.
(2)由an=2 -2(n∈N*),整理得Sn= (an+2)2,
則Sn+1= (an+1+2)2,
∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2].
整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
由題意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.
∴即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中首項a1=2，公差d=4,
∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).
即通項公式為an=4n-2(n∈N*).
(3)bn= ,
Tn=b1+b2+…+bn
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