2017屆廣州市普通中學(xué)高三數(shù)學(xué)文理科試卷(2)
2017屆廣州市普通中學(xué)高三數(shù)學(xué)文科試卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分, 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
(1)設(shè)全集，集合，集合，則 (A) (B) (C) (D)
(2)設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則
(A)1 (B) (C) (D)
(3)已知雙曲線()的漸近線方程為, 則雙曲線的離心率為
(A) (B) (C) (D)
(4)袋中有大小形狀相同的紅球黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸出一個(gè)球. 若摸到紅球得2分，摸到黑球得1分，則3次摸球所得總分為5分的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, 始邊與軸正半軸重合, 終邊過(guò)點(diǎn), 則
(A) (B) (C) (D)
(6)已知菱形的邊長(zhǎng)為，, 則
(A) (B) (C) (D)
(7)已知函數(shù) ，則函數(shù)的圖象是
(8)曲線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為
(A) (B) (C) (D)
(9)閱讀如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
(10)若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是( ).
(A) (B) (C) (D)
(11)如圖, 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1, 粗線畫(huà)出的是某三棱錐
的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是
(A) (B)
(C) (D)
(12) 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
二、填空題：本小題共4題，每小題5分。
(13)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比________.
(14)已知函數(shù)，若，則 .
(15)設(shè)分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大
距離是 .
(16)已知銳角△的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為，，，若，
，則△的周長(zhǎng)的取值范圍是 .三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
(17)(本小題滿分12分)
等差數(shù)列中，，
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，
求數(shù)列的前2000項(xiàng)和.
(18)(本小題滿分12分)
PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用前衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo).為了解甲乙兩座城年的空氣質(zhì)量情況，從全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如以下莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉).
(Ⅰ)從甲乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，
從PM2.5日均值在范圍內(nèi)隨機(jī)取2天
數(shù)據(jù)，求取到2天的PM2.5均超標(biāo)的概率;
(Ⅱ)以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)一年
的空氣質(zhì)量情況，則甲乙兩城市一年(按365天計(jì)算)
中分別約有多少天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).
(19) (本小題滿分12分)
在三棱錐中,△是等邊三角形, ∠∠.
(Ⅰ)求證: ⊥;
(Ⅱ)若，，求三棱錐的體積.
(20) (本小題滿分12分)
已知點(diǎn)是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足.
(Ⅰ)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值;
(Ⅱ)是否存在直線，使得線段的中垂線交軸于點(diǎn), 且? 若存
在，求直線的方程;若不存在，說(shuō)明理由.
(21) (本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù). 若曲線在點(diǎn)處的切線方程為
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若，試比較與的大小，并予以證明.
請(qǐng)考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
(22)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù), 曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ) 求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(II)設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn), 當(dāng)變化時(shí), 求的最小值.
(23)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知，不等式的解集是.
(Ⅰ)求的值;
(II)若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
201 (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6)D
(7)D (8)C (9)B (10)C (11)D (12)A
二、填空題
(13) (14) (15) (16)
三、解答題
(17) 解：
(Ⅰ)由，，得 分
解得，， 分 所以. 分(Ⅱ)， 分當(dāng)時(shí); …………………………………………7分
當(dāng)時(shí); …………………………………………8分當(dāng)時(shí); …………………………………………9分當(dāng)時(shí). ………………………………………10分
數(shù)列的前2000項(xiàng)和為. 分
(18) 解:
(Ⅰ)從甲乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，PM2.5日均值在內(nèi)的共有6天，而PM2.5日均值為超標(biāo)(大于75微克/立方米)的有3天.記PM2.5日均值超標(biāo)的3天為，不超標(biāo)的3天為，則從這6天中隨機(jī)取2天，共有如下15種結(jié)果(不記順序)
，，分其中，抽出2天的PM2.5均超標(biāo)的情況有3種.分由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超標(biāo)的概率.分(Ⅱ)各抽取的20天樣本數(shù)據(jù)中，甲城市有15天達(dá)到一級(jí)或二級(jí);分乙城市有16天達(dá)到一級(jí)或二級(jí).分由樣本估計(jì)總體知，甲乙兩城市一年(按365天計(jì)算)中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)分別約為
， .分 (19) 解:
(Ⅰ)因?yàn)槭堑冗吶切? ∠∠,
所以≌, 可得. 分
如圖, 取中點(diǎn), 連結(jié),,
則,, 分
所以平面, 分平面,
所以. 分(Ⅱ)因?yàn)?≌,
所以, . 分由已知在中, ,
………………………………………………8分
因?yàn)? ,
所以 ……………………………………………………………9分因?yàn)? ，的面積. 分
因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積
所以三棱錐的體積 ………………12分
(20) 解：
(I)①若直線的斜率不存在，則方程為. 聯(lián)立方程組 解得 或
即，.分 所以. 分 ②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組 消去得，故，方程無(wú)解. 分所以. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得，
，， …………………………………………………………2分. …………………………………………3分(II)符合題意，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組 消去得，(*)故，分所以.
所以. 分所以.
分
因?yàn)?
所以的中點(diǎn)為. 所以的中垂線方程為=，即. 分, 得.
所以的坐標(biāo)為. ……………………………………………………………8分所以到直線的距離
因?yàn)?，分所?.
解得. 分
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.
把和分別代入(*)式檢驗(yàn), 得,不符合題意.分所以直線不存在. 分(21) 解:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?
.分依題意得，即分所以.分所以，.
當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是, 單調(diào)遞增區(qū)間是.分(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，.
等價(jià)于，
也等價(jià)于. 分不妨設(shè)，
設(shè)(), 則.分 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
即，分故當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等
號(hào)).
令，則，分即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，分綜上所述，當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).分(22) 解:
(Ⅰ) 由消去得,分 所以直線的普通方程為.分由, 得,分把代入上式, 得,
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為. 分 (II) 將直線l的參數(shù)方程代入, 得,分
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,
則, ,分 所以 .分 當(dāng)時(shí), 的最小值為4. 分
(23) 解：
(Ⅰ)由|, 得，即.分 當(dāng)時(shí)，.分因?yàn)椴坏仁降慕饧?/p>
所以 解得分 當(dāng)時(shí)，.分因?yàn)椴坏仁降慕饧?/p>
所以 無(wú)解.分所以
(II)因?yàn)榉?所以要使存在實(shí)數(shù)解，只需.分 解得或.分 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.分
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