理科高二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試卷
想要學(xué)習(xí)好就一定不可以偷懶哦，今天小編就給大家分享一下高二數(shù)學(xué)，希望大家多多參考一下哦
高二數(shù)學(xué)上期中理科聯(lián)考試題
第I卷 共60分
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1、若設(shè) ，則一定有( )
A. B. C. D.
2、命題“對(duì)任意 ，都有 ”的否定為 ( )
.對(duì)任意 ，都有 .不存在 ，使得
.存在 ，使得 .存在 ，使得
3、已知x1，x2∈R，則“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4、等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ， ，則公差 等于 ( )
.-2 . -1 . 1 . 2
5、原點(diǎn)和點(diǎn)(1，1)在直線(xiàn)x+y﹣a=0兩側(cè)，則a的取值范圍是( )
A.0≤a≤2 B.0
6、鈍角三角形 的面積是 ， ， ，則 ( )
. 1 . 2 . . 5
7、在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc.
若sin B•sin C=sin2A，則△ABC的形狀是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
8、《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問(wèn)日益幾何?”其意思為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來(lái)越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了九匹三丈，問(wèn)每天增加多少尺布?”若一個(gè)月按30天算，則每天增加量為( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
9、已知 滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件 則 的最大值為( )
A、 B、 C、 D、
10、若 是等差數(shù)列，首項(xiàng) 則使前n項(xiàng)和 成立的最大自然數(shù) 是( )
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015
11、已知函數(shù)f(x)=4x2﹣1，若數(shù)列 前n項(xiàng)和為Sn，則S2015的值為( )
A. B. C. D.
12、若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 + =1，且不等式x+
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 共90分
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上
13、在 中，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，若
1. 則c=
14、 中，角A,B,C成等差數(shù)列，則 。
15、已知 則 的最大值為 。
16、如圖為了立一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形的支架形狀如圖，
要求 ，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米為
了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，則AC最短為 米。
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17、(10分)(1)設(shè)數(shù)列 滿(mǎn)足 ，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng);
(2)若數(shù)列 為等比數(shù)列，且 求數(shù)列的通項(xiàng)公式
18、(本題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(2)若不等式 的解集為 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19、(本小題滿(mǎn)分12)
的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ,已知 .
(1)求
(2)若 , 面積為2, 求
20、(本小題滿(mǎn)分12分)
已知 且 ，命題P：函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù);命題Q：曲線(xiàn) 與 軸相交于不同的兩點(diǎn).若“ ”為真，“ ”為假，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
21、(本小題滿(mǎn)分12分)
在 中， 是三內(nèi)角， 分別是 的對(duì)邊，已知 ， 的外接圓的半徑為 .
(1) 求角 ;
(2) 求 面積的最大值.
22、(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ， .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ， ，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù) ，有 恒成立?若存在，求出k的值;若不存在，說(shuō)明理由.
高二數(shù)學(xué)參考答案(理科)
一、選擇題：本大題有12小題，每小題5分，共60分
1-12：DCAAB CCADC DB
二、填空題： 本大題有4小題，每小題5分，共20分
13.2 14. 15. 16.
三、解答題：
17.(本小題滿(mǎn)分10分)(1) …………5分，
(2)由已知得 ，聯(lián)立方程組解得得 ，
…………10分
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
.……4分
(2)若不等式 的解集為 ，則
?、佼?dāng)m=0時(shí)，-12<0恒成立，適合題意; ……6分
?、诋?dāng) 時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足
由上可知， ……12分
19.(1)由題設(shè)及 得 ，故
上式兩邊平方，整理得
解得 ……………6分
(2)由 ，故
又 ，由余弦定理及 得
所以b=2……………12分
20、(本小題滿(mǎn)分12分)
解： ∵ 且 ,
∴命題 為真 ……………………………………………2分
命題Q為真 或 ………5分
“ ”為真， “ ”為假
、 一個(gè)為真，一個(gè)為假
若 真Q假，則 ………………7分
若 假Q(mào)真，則 解得 ………………9分
∴實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ……………………10分
21.解：(1)由已知，由正弦定理得： ，
因?yàn)?，所以 ， 即： ，由余弦定理得： ，
所以 .又 ，所以 .…………………6分
(2)由正弦定理得： ，由余弦定理得：
所以 ，即： ，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 .………………… 12分
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
解：(1)由已知an=Sn﹣1+2，① an+1=Sn+2，②
?、讴仮伲胊n+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥2)，
∴an+1=2an (n≥2).
又a1=2，∴a2=a1+2=4=2a1，
∴an+1=2an (n=1，2，3，…)
∴數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2•2n﹣1=2n.………………………………4分
(2)bn= = = ，
∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n= + +…+ ，
Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)
= + +…+ + + .
∴Tn+1﹣Tn= + ﹣
=
= .
∵n是正整數(shù)，∴Tn+1﹣Tn>0，即Tn+1>Tn.
∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，
又T1=b2= ，∴Tn≥T1= ，
要使Tn> 恒成立，則有 > ，即k<6，……………………12分
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題理科
第I卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，則 的第 項(xiàng)是( )
A. B. C. D.
2.在 中， , , ,則 等于( )
A. B. C. D.
3. 等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和 則 的值為( )
A . B. C . D.
4. 在 中， 分別是角 的對(duì)邊，若 ，
則 的形狀是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ，前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
6. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠(chuí)，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問(wèn)依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤
7.若實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足 ，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
8.設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，已知 ， ，則 的最小值為( )
A. B. C. 或 D.
9.已知正數(shù) 的等差中項(xiàng)是 ，且 ，則 的最小值是( )
A. B. C. D.
10. 若不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
11.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂 之間建纜車(chē)，需要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高 ， ,在水平面上 處測(cè)得山頂 的仰角為 ，山頂 的仰角為 ， ,
則兩山頂 之間的距離為( )
A. B. C. D.
12. 中，角 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 ，若 ，則 的最大值為 ( )
A.1 B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.已知 ，則 的最小值為_(kāi)______________.
14.已知 中， ， ， ，則 面積為_(kāi)______ __.
15. 在數(shù)列 中，已知 ， ，記 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，則 ________.
16.已知首項(xiàng)為2的正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且當(dāng) 時(shí)， .若
恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_(kāi)_________ _____.
三、解答題：(本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿(mǎn)分10分).
設(shè) 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若 ， 且 ， ， 成等差數(shù)列.
(1)求 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ，求證：數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知關(guān)于 的不等式 的解集為 .
(1)求 的值;
(2)解關(guān)于 的不等式 .
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
在 中，角 的對(duì)邊分別為 ，若 .
(1)求角 ;
(2)若 的面積為 ， ，求 的值.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
在 中，設(shè)角 , , 的對(duì)邊分別為 , , ，已知
(1)求角 的大小;
(2)若 ，求 周長(zhǎng)的取值范圍.
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列 滿(mǎn)足
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)若 ， ，求 成立的正整數(shù) 的最小值.
22.(本小題滿(mǎn)分12分)
某漁業(yè)公司年初用81萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一艘捕魚(yú)船，第一年各種費(fèi)用為1萬(wàn)元，以后每年都增加2萬(wàn)元，每年捕魚(yú)收益30萬(wàn)元.
(1)問(wèn)第幾年開(kāi)始獲利?
(2)若干年后，有兩種處理方案：方案一：年平均獲利最大時(shí)，以46萬(wàn)元出售該漁船;
方案二：總純收入獲利最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該漁船.問(wèn)：哪一種方案合算?請(qǐng)說(shuō)明理由.
高二數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案
一、選擇題(每小題5分，共12小題，共60分)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C B C A D A C B A D
二、填空題(每小題5分，共4小題，共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答題(第17題10分，18-22題每題12分，共70分)
17、解：(1)設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，
∵ ， ， 成等差數(shù)列
∴ 即 ，……………………………(2分)
即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………(4分)
所以 的通項(xiàng)為 ( ) ……………………………(5分)
(2)由上知 ∵ ，
∴ ， ……………………………(7分)
∴
……………………………(9分)
∴ ……………………………(10分)
即數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 .
18、解：(1)由題意知： 且 和 是方程 的兩根，……………………………(2分)
由根與系數(shù)的關(guān)系有 ，解得 ……………………………(6分)
(2)不等式 可化為 ，
即 . ……………………………(8分)
其對(duì)應(yīng)方程的兩根為
?、佼?dāng) 即 時(shí)，原不等式的解集為 ;……………………………(9分)
?、诋?dāng) 即 時(shí)，原不等式的解集為 ;……………………………(10分)
③當(dāng) 即 時(shí)，原不等式的解集為 ; ……………………………(11分)
綜上所述：當(dāng) 時(shí)，原不等式的解集為 ;
當(dāng) 時(shí)，原不等式的解集為 ;
當(dāng) 時(shí)，原不等式的解集為 ;
……………………………(12分)
19、解：(1)(法一)：在 中，由正弦定理得
∴ ……………………………(2分)
又 ，∴ ，
∴ ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
， 故 ……………………………(6分)
(法二)由余弦定理得 ………………………(2分)
∴ ……………………………(3分)
∴ , ……………………………(5分)
, 故 . ……………………………(6分)
(2) ，所以 . ……………………………(7分)
又
∴由余弦定理得
∴ ……………………………(9分)
又由正弦定理知 ……………………………(10分)
∴ 即
∴ ……………………………(12分)
20、(1)由題意知 ……………………………(1分)
即 ……………………………(2分)
由正弦定理得 ……………………………(3分)
由余弦定理得 …………………………… (4分)
又 ， 故 …………………………… (5分)
(2)(法一)：由上知 ，
∴由余弦定理有 ，……………………………(6分)
又 ，∴ ， ……………………………(7分)
又∵
∴ ，(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)) ……………………………(8分)
∴ ， 即
解得 ，(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)) ……………………………(10分)
又∵三角形兩邊之和大于第三邊,即
∴ ……………………………(11分)
∴ ……………………………(12分)
所以 的周長(zhǎng)的范圍為
(法二)由正弦定理知
∴ , ……………………………(6分)
又
則 的周長(zhǎng)
…………………………(8分)
∵ ∴ ∴ ……………………………(10分)
∴ ，
所以 的周長(zhǎng)的范圍為 .……………………………(12分)
21、解：(1)由 ………①
當(dāng) 時(shí)， ………② ……………………………(2分)
?、?ndash;②得 即 ……………………………(3分)
當(dāng) 時(shí)， 也滿(mǎn)足上式 ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
(2)由(1)得, , ……………………………(6分)
所以 ………①
∴ ………② ……………………………(7分)
?、?②，得
……………………………(9分)
依題意 ，即 即 成立， ……………………………(10分)
又當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) 時(shí), . ……………………………(11分)
故使 成立的正整數(shù) 的最小值為5. ……………………………(12分)
22、解：(1)設(shè)第n年開(kāi)始獲利，獲利為y萬(wàn)元，
由題意知，n年共收益30n萬(wàn)元，每年的費(fèi)用是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故n年的總費(fèi)用為 . ……………………………(2分)
∴獲利為 ……………………………(4分)
由 即 解得 ……………………………(5分)
∵n∈N*，∴n=4時(shí)，即第4年開(kāi)始獲利. ……………………………(6分)
(2)方案一：n年內(nèi)年平均獲利為 .
由于 ，當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí)取“=”號(hào).
∴ (萬(wàn)元).
即前9年年平均收益最大，此時(shí)總收益為12×9+46=154(萬(wàn)元).……………………………(9分)
方案二：總純收入獲利 .
∴ 當(dāng)n=15時(shí)， 取最大值144，此時(shí)總收益為144+10=154(萬(wàn)元).
……………………………(11分)
∵兩種方案獲利相等，但方案一中n=9，所需的時(shí)間短，
∴方案一較合算. ……………………………(12分)
理科高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷
第Ⅰ卷 (必修5模塊結(jié)業(yè)考試 滿(mǎn)分100分)
一、選擇題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.不等式x2-5x+6<0的解集是
A.{x|-2
C.{x|2
2.在等差數(shù)列{an}中，若a5，a7是方程x2-2x-6=0的兩根，則{an}的前11項(xiàng)的和為
A.22 B.-33 C.-11 D.11
3.在△ABC中，c=3，A=75°，B=45°，則△ABC的外接圓面積為
A.π4 B.π C.2π D.4π
4.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件x+3y≤3，x-y≥1，y≥0，則z=x+y的最大值為
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若a，b，c，d∈R，則下列說(shuō)法正確的是
A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若a>b，則ac2>bc2
C.若a
6.在△ABC中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，則AC=
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=-13，a6+a8=-2，且an-1=2an-an+1(n≥2)，則數(shù)列1anan+1的前13項(xiàng)和為
A.113 B.-113 C.111 D.-111
答題卡
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
答案
二、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
8.在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角為A，B，C滿(mǎn)足sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，則sin B=________.
9.將等差數(shù)列1，4，7，…，按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣.根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是________.
10.若x，y均為正數(shù)，且9x+y=xy，則x+y的最小值是________.
三、解答題：(本大題共4個(gè)小題，共50分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)
11.(本小題滿(mǎn)分12分)
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccos B=(2a-b)cos C.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=4，求△ABC的面積S的最大值，并判斷當(dāng)S最大時(shí)△ABC的形狀.
12.(本小題滿(mǎn)分12分)
制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大?
13.(本小題滿(mǎn)分13分)
已知函數(shù)f(x)=x2-ax(a∈R).
(1)解不等式f(x)≤1-a;
(2)若x∈[1，+∞)時(shí)，f(x)≥-x2-2恒成立，求a的取值范圍.
14.(本小題滿(mǎn)分13分)
設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=1，b1=2，a3+b3=11，a5+b5=37.
(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an•bn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn≤n2•2n-1+2.
第Ⅱ卷 (滿(mǎn)分50分)
一、選擇題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
15.“a<-1”是“直線(xiàn)ax+y-3=0的傾斜角大于π4”的
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
16.已知函數(shù)f(x)=ex，x≤0，ln x，x>0，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是
A.[-1，0)
B.[0，+∞)
C.[-1，+∞)
D.[1，+∞)
17.已知向量a≠e，|e|=1，?t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則
A.a⊥e
B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e)
D.(a+e)⊥(a-e)
答題卡
題號(hào) 15 16 17
答案
二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)
18.已知直線(xiàn)l1：2x-y+6=0和直線(xiàn)l2：x=-1，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和最小時(shí)，直線(xiàn)PF被拋物線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)是________.
19.平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為_(kāi)_______.
三、解答題(本大題共2小題，共25分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
20.(本題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù)f(x)=cos2x+π12，g(x)=1+12sin 2x.
(1)設(shè)x=x0是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求g(x0)的值.
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間-π4，m上的最大值為2，求m的最小值.
21.(本題滿(mǎn)分13分)
已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，以E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為43.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，P是直線(xiàn)x=4上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M，N，試探究，點(diǎn)B是否在以MN為直徑的圓內(nèi)?證明你的結(jié)論.
湖南師大附中2018-2019學(xué)年度高二第一學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)(理科)參考答案
第Ⅰ卷 (必修5模塊結(jié)業(yè)考試 滿(mǎn)分100分)
一、選擇題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.C 【解析】不等式x2-5x+6<0的解集是(2，3)，故選C.
2.D 【解析】等差數(shù)列{an}中，若a5，a7是方程x2-2x-6=0的兩根，
則a5+a7=2，∴a6=12(a5+a7)=1，∴{an}的前11項(xiàng)的和為
S11=11×(a1+a11)2=11a6=11×1=11.故選D.
3.B 【解析】在△ABC中，A=75°，B=45°，∴C=180°-A-B=60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R=csin C，解得R=1，
故△ABC的外接圓面積S=πR2=π，故選B.
4.D 【解析】x，y滿(mǎn)足約束條件x+3y≤3，x-y≥1，y≥0的可行域如圖(陰影部分)：
z=x+y即y=-x+z，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y=-x+z的截距最大，z的值最大.
由y=0，x+3y=3，解得A(3，0)，所以z=x+y的最大值為3.故選D.
5.D
6.A 【解析】在△ABC中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，
由AB2=BC2+AC2-2AC•BCcos C，可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=-4(舍去).故選A.
7.B 【解析】an-1=2an-an+1(n≥2)，可得an+1-an=an-an-1，
可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a1=-13，a6+a8=-2，即為2a1+12d=-2，
解得d=2，則an=a1+(n-1)d=2n-15.
1anan+1=1(2n-15)(2n-13)=1212n-15-12n-13，
即有數(shù)列1anan+1的前13項(xiàng)和為
121-13-1-11+1-11-1-9+…+111-113=12×-113-113=-113.故選B.
二、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
8.5716 【解析】∵sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，∴a∶b∶c=6∶5∶4，
不妨取a=6，b=5，c=4，則cos B=62+42-522×6×4=916，B∈(0，π).
則sin B=1-cos2B=5716.
9.577 【解析】由題意可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3n-2，由三角形數(shù)陣的特點(diǎn)可知第20行3列的數(shù)為第1+2+3+4+…+19+3=193個(gè)數(shù)，a193=3×193-2=577.
10.16 【解析】根據(jù)題意，若9x+y=xy，則有1x+9y=1，
則x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+2yx•9xy=16，
當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy時(shí)，等號(hào)成立，即x+y的最小值是16，故答案為16.
三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共50分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
11.【解析】(1)∵ccos B=(2a-b)cos C，∴由正弦定理可知，sin Ccos B=2sin Acos C-sin Bcos C，2分
sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos C，sin(C+B)=2sin Acos C.
∵A+B+C=π，∴sin A=2sin Acos C.4分
∵sin A≠0，∴cos C=12.∵0
(2)由題知，
c=4，C=π3，∴S△ABC=34ab.7分
∵由余弦定理可知：a2+b2=c2+2abcos C，8分
a2+b2=16+ab≥2ab，10分
∴ab≤16.當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)等號(hào)成立，11分
∴S△ABC最大值是43，此時(shí)三角形為等邊三角形.12分
12.【解析】設(shè)分別向甲、乙兩組項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，y萬(wàn)元，利潤(rùn)為z萬(wàn)元，
由題意知x+y≤10，0.3x+0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，3分
目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y，
作出可行域
6分
作直線(xiàn)l0：x+0.5y=0，并作平行于直線(xiàn)l0的一組直線(xiàn)x+0.5y=z，z∈R，
與可行域相交，其中有一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，且與直線(xiàn)x+0.5y=0的距離
最大，這里M是直線(xiàn)x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點(diǎn).
解方程組x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，解得x=4，y=6，10分
此時(shí)z=1×4+0.5×6=7(萬(wàn)元)，∴x=4，y=6時(shí)，z最大.
答：投資人投資甲項(xiàng)目4萬(wàn)元，乙項(xiàng)目6萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)最大.12分
13.【解析】(1)由f(x)≤1-a可得x2-ax+a-1≤0，
即(x-1)[x-(a-1)]≤0，3分
當(dāng)a>2時(shí)，不等式解集為[1，a-1];4分
當(dāng)a=2時(shí)，不等式解集為{1};5分
當(dāng)a<2時(shí)，不等式解集為[a-1，1].6分
(2)f(x)≥-x2-2即a≤2x+1x對(duì)任意x∈[1，+∞)恒成立，8分
令h(x)=2x+1x，等價(jià)于a≤h(x)min對(duì)任意x∈[1，+∞)恒成立，10分
又h(x)=2x+1x≥4x•1x=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x即x=1時(shí)等號(hào)成立，
∴a≤4，∴a的取值范圍為(-∞，4].13分
14.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，依題意有2d+2q2=10，4d+2q4=36，2分
解得d=1，q2=4，又bn>0，∴q=2，4分
于是an=a1+n-1d=n，bn=b1qn-1=2n.6分
(2)易知cn=n•2n，
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n-1•2n+n•2n+1，8分
兩式相減，得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=1-n•2n+1-2，
∴Tn=n-1•2n+1+2，11分
∵Tn-n2•2n-1+2=-2n-1•n-22≤0，∴Tn≤n2•2n-1+2.13分
第Ⅱ卷 (滿(mǎn)分50分)
一、選擇題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
15.A 【解析】設(shè)直線(xiàn)ax+y-3=0的傾斜角為θ，則tan θ=-a.①由a<-1得tan θ>1，可知傾斜角為θ大于π4;②由傾斜角為θ大于π4得-a>1或-a<0，即a<-1或a>0.由①②可知“a<-1”是“直線(xiàn)ax+y-3=0的傾斜角大于π4”的充分而不必要條件，選A.
16.C 【解析】∵g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即y=f(x)與y=-x-a有兩個(gè)交點(diǎn)，f(x)的圖象如下圖所示：
要使得y=-x-a與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則有-a≤1即a≥-1，∴選C.
17.C 【解析】由|a-te|≥|a-e|得|a-te|2≥|a-e|2展開(kāi)并整理得t2-2a•et+2a•e-1≥0，由t∈R，得Δ=(-2a•e)2+4-8a•e≤0，即(a•e-1)2≤0，所以a•e=1，從而e•(a-e)=0，即e⊥(a-e)，選C.
二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)
18.20 【解析】直線(xiàn)l2為拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(1，0)的距離.點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和最小即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和直線(xiàn)l1的距離之和最小，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)和直線(xiàn)l1的距離之和最小時(shí)，直線(xiàn)PF⊥l1，從而直線(xiàn)PF方程為y=-12(x-1)，代入C方程得x2-18x+1=0，所以x1+x2=18，從而所求線(xiàn)段長(zhǎng)為x1+x2+p=18+2=20.
19.32 【解析】由題設(shè)條件可知，m∥BD，n∥A1B，因此直線(xiàn)m、n所成的角即直線(xiàn)BD與A1B所成的角，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△A1BD是正三角形，BD與A1B所成的角是60°，其正弦值為32.
三、解答題(本大題共2小題，共25分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
20.【解析】(1)由題設(shè)知f(x)=121+cos2x+π6.1分
因?yàn)閤=x0是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以2x0+π6=kπ，
即2x0=kπ-π6(k∈Z).3分
所以g(x0)=1+12sin 2x0=1+12sinkπ-π6.4分
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)=1+12sin-π6=1-14=34，5分
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)=1+12sinπ6=1+14=54.6分
(2)h(x)=f(x)+g(x)=121+cos2x+π6+1+12sin 2x
=12cos2x+π6+sin 2x+32=1232cos 2x+12sin 2x+32
=12sin2x+π3+32.9分
因?yàn)閤∈-π4，m，所以2x+π3∈-π6，2m+π3.
要使得h(x)在-π4，m上的最大值為2，即sin2x+π3在-π4，m上的最大值為1.
所以2m+π3≥π2，11分
即m≥π12.所以m的最小值為π12.12分
21.【解析】(1)依題意得ca=12，12•2a•2b=43，又a2=b2+c2，由此解得a=2，b=3.所以橢圓E的方程為x24+y23=1.4分
(2)點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).證明如下：
方法1：由(1)得A(-2，0)，B(2，0).設(shè)M(x0，y0).
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y20=34(4-x20). ①
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴-2
由P、A、M三點(diǎn)共線(xiàn)可以得P4，6y0x0+2.7分
從而B(niǎo)M→=(x0-2，y0)，BP→=2，6y0x0+2.8分
∴BM→•BP→=2x0-4+6y20x0+2=2x0+2(x20-4+3y20).?、?0分
將①代入②，化簡(jiǎn)得BM→•BP→=52(2-x0).11分
∵2-x0>0，∴BM→•BP→>0，于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).13分
方法2：由(1)得A(-2，0)，B(2，0).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則-2
依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差
BQ2-14MN2=x1+x22-22+y1+y222-14(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(x1-2)(x2-2)+y1y2?、?分
直線(xiàn)AP的方程為y=y1x1+2(x+2)，直線(xiàn)BP的方程為y=y2x2-2(x-2)，
而兩直線(xiàn)AP與BP的交點(diǎn)P在直線(xiàn)x=4上，
∴6y1x1+2=2y2x2-2，即y2=3(x2-2)y1x1+2 ④8分
又點(diǎn)M在橢圓上，則x214+y213=1，即y21=34(4-x21) ⑤9分
于是將④、⑤代入③，化簡(jiǎn)后可得BQ2-14MN2=54(2-x1)(x2-2)<0.12分
從而點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).13分
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