第二學期高二級數學期中考試試題
有很多同學都說數學學習不好，那么我們大家有嘗試去做數學題嗎，今天小編就給大家來分享一下高二數學，需要的來一起參考吧
數學第二學期高二年級期中題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的.
1.命題“ ”的否定為
A. B.
C. D.
2.已知隨機變量 服從正態(tài)分布 ，若 ，則
A. B. C. D.
3.已知平面 的法向量為 ，點 不在 內，則直線 與平面的位置關系為
A. B.
C. 與 相交不垂直 D.
4.為防止某種疾病，今研制一種新的預防藥.任選取100只小白鼠作試驗，得到如下的列聯表：
經計算得 ,則在犯錯誤的概率不超過( )的前提下認為“藥物對防止某種疾病有效”。
A.0.025 B.0.10 C . 0.01 D. 0.05
參考數據：
氣溫(℃) 18 13 10 -1
銷售量個) 24 34 38 64
5.某咖啡廠為了了解熱飲的銷售量 (個)與氣溫 (℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的銷售量與氣溫，并制作了對照表：
由表中數據，得線性回歸方程為y^= x ，，當氣溫為-4℃時，預測銷售量約為
A.68 B.66 C.72 D.70
6.拋擲兩枚骰子，當至少有一枚5點或6點出現時，就說試驗成功，則在30次獨立重復試驗中成功的次數X的數學期望是
A. B. C.10 D.20
7.下列選項中，說法正確的是
A.若命題“ ”為真命題，則命題 和命題 均為真命題
B. 是 的必要不充分條件
C. 是 的充要條件
D.命題“若 構成空間的一個基底，則 構成空間的一個基底”的否命題為真命題
8.已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線與圓 有公共點 ，且圓在 點的切線與雙曲線的漸近線平行，則雙曲線的離心率為
A. B. C. 或 D.以上都不對
9.某校在高二年級開設選修課，選課結束后，有四名同學要求改選物理，現物理選修課開有三個班，若每個班至多可再接收2名同學，那么不同的接收方案共有
A.72種 B.54種 C.36種 D.18種
10.已知函數 有平行于 軸的切線且切點在 軸右側，則 的范圍為
A. B. C. D.
11.拋物線 的焦點為 ，準線為 ， 是拋物線上的兩個動點，且滿足 .設線段 的中點 在 上的投影為 ，則 的最大值是
A. B. C. D.
12.在棱長為 的正方體 中， 是 的中點，點 在側面 上運動.現有下列命題：
?、偃酎c 總保持 ，則動點 的軌跡所在的曲線是直線;
?、谌酎c 到點 的距離為 ，則動點 的軌跡所在的曲線是圓;
?、廴?滿足 ，則動點 的軌跡所在的曲線是橢圓;
?、苋?到直線 與直線 的距離比為 ，則動點 的軌跡所在的曲線是雙曲線;
⑤若 到直線 與直線 的距離相等，則動點 的軌跡所在的曲線是拋物線.
其中真命題的個數為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13.假定一個家庭有兩個小 孩，生男、生女是等可能的，在已知有一個是女孩的前提下，則另一個小孩是男孩的概率是 .
14.已知空間四點 共面，則 =
15.已知 是圓 ( 為圓心)上一動點，線段 的垂直平分線交直線 于 ，則動點 的軌跡方程為 .
16.把長度 和寬 分別為 和2的長方形 沿對角線 折成 的二面角，則 等于 .
三、解答題：本大題 共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題滿分10分)
已知 恒成立， 方程 表示焦點在 軸上的橢圓，若命題“ 且 ”為假，求實數 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
已知 展開式中各項的二項式系數和比各項的系數和大256;
(Ⅰ)求展開式中的所有無理項的系數和;
(Ⅱ)求展開式中系數最大的項.
19.(本小題滿分12分)
已知點M到點 的距離比到點M到直線 的距離小4;
(Ⅰ)求點M的軌 跡 的方程;
(Ⅱ)若曲線C上存在兩點A，B關于直線l: 對稱，求直線AB的方程.
20.(本小題滿分12分)
醫(yī)生的專業(yè)能力參數 可有效衡量醫(yī)生的綜合能力， 越大，綜合能力越強，并規(guī)定: 能力參數 不少于30稱為合格，不少于50稱為優(yōu)秀.某市衛(wèi)生管理部門隨機抽取300名醫(yī)生進行專業(yè)能力參數考核,得到如圖所示的能力 的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求出這個樣本的合格率、優(yōu)秀率;
(Ⅱ)現用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本,再從這20名醫(yī)生中隨機選出2名.
①求這2名醫(yī)生的能力參數 為同一組的概率;
?、谠O這2名醫(yī)生中能力參數 為優(yōu)秀的人數為 ,求隨機變量 的分布列和期望.
21.(本小題滿分12分)
如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點， PA=PD=4，BC=12AD=2，CD= .
(Ⅰ)求證：PA⊥CD;
(Ⅱ) 若M是棱PC的中點，求直線PB與平面BEM所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在點N，使二面角N-EB-C 的余弦值為 ，若存在，確定點N的位置;若不存在，請說明理由.
22.(本小題滿分12分)
已知橢圓 的左、右焦點分別是 ，離心率為 ，過 且垂直于 軸的直線被橢圓 截得的線段長為 ;
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)若P為橢圓C在第一象限內的任意一點，過點P且斜率為 的直線與橢圓相切，設 的斜率分別為 ，試證明 為定值，并求出此定值;
(Ⅲ)若直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，且原點O到直線l的距離為1，設 ，當 時，求 的面積 的取值范圍.
高二數學(理科)參考答案
一、選擇題：
題號 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B A B D B B A C C
二、填空題：
13. 14. 15. 16.
三、解答題：
17. 解：由題意：若 為真，則有 對 恒成立
取“=” …………4分
若 為真，則有 ，即 或 ………8分
由 且 為假，則 、 中至少一個為假
若 、 均為真，則
且 為假，實數 的取值范圍是 …………10分
18.解：由條件得 ，則 ，則 的第 項為
…………4分
(1)由通項公式易知當 時， 為無理項
故無理項的系數和為 …………8分
(2) 當 時，系數為 ;當 時，系數為
當 時，系數最大，故系數最大的項為 ……12分
19.解：(1)結合圖形知，點M不可能在 軸的左側，即M到點 的距離等于M到直線 的距離 M的軌跡是拋物線， 為焦點， 為準線 M的軌跡方程是： (或由 化簡得 )……6分
(2)設 則 相減得
又 的斜率為-4則
中點的坐標為 ， 即
經檢驗，此時， 與拋物線有兩個不同的交點，滿足題意. …………12分
20. 解：(1)合格率是：
優(yōu)秀率是： …………3分
(2)由題意知，這20名醫(yī)生中，[20，30]有4人，[30，40]有6人，[40，50]有4人，[50，60]有3 人，[60，70]有2人，[70，80]有1人
?、?…………7分
?、趦?yōu)秀的人數為：3+2+1=6人
，
的分布列是：
0 1 2
故 的期望是 …………12分
21.解：(1) 面 面
等腰 中， 為 的中點， 面
又 在面 內的射影是 ，
由三垂線定理知： …………4分
(2)以 為原點，分別以 的方向為 軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，由 得
又 則 ， 又
設平面 的一個法向量為
則
令 則 又
設直線 與平面 所成角為
則 …………8分
(3)假設在棱 上存在點 ，使二面角 的余弦值為
設 ，則
又 ，設平面 的一個法向量為
則
令
又 為平面 的一個法向量
則 解得 (負值舍)
故存在點 為棱 的靠近 的三分點符合條件. …………12分
22.解：(Ⅰ)橢圓方程為 …………3分
(Ⅱ)設點 的坐標為
則 ，又由 得
則 ，又
，故 ……7分
(Ⅱ)方法二：設 與 相切于點
則 即
又 即 (同上)
(Ⅲ)設
聯立
則 則
又 點 到直線 的距離為1， 即
則 ，
令 ，則 ，
又 ，由 得
故當 時， ;當 時， ， 的范圍是 ……12分
高二下學期數學理期中聯考試題
一 、選擇題 (本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.命題“存在實數 ，使 >1”的否定是( )
A.對任意實數 ，都有 >1 B.不存在實數 ，使 ≤1
C.對任意實數 ，都有 ≤1 D.存在實數 ，使 ≤1
2.已知向量a=(1，0，-1)，則下列向量中與a成60°夾角的是( )
A.(-1，1，0) B.(1，-1，0)
C.(0，-1，1) D.(-1，0，1)
3. 是 的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知點 及拋物線 上一動點 ，則 的最小值是( )
A. 2 B.3 C.4 D.
5.已知 ， ，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
6. 在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，點E、F分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BE與AF所成的角的余弦值是( )
A. 3010 B. 12 C. 3015 D. 1510
7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，-5)，點P(x，-1，3)在平面ABC內，則x的值為( )
A.-4 B.1 C.10 D.11
8.已知a>b>0，橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1，雙曲線C2的方程為x2a2-y2b2=1，C1與C2的離心率之積為32，則C2的漸近線方程為( )
A. x±2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0
9.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點，若AB的中點坐標為(1，-1)，則E的方程為( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1 C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
10.雙曲線C： 的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-4，-2]，那么直線PA1斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分)。
11.在空間中，
(1)若四點不共面，則這四點中任三個點都不共線;
(2)若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線.
以上兩個命題中，逆命題為真命題的是_____________(只填序號)
12.已知空間四邊形OABC，如圖所示，其對角線為OB，AC.M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且 ，現用基向量 表示向量 ，并設 ，則 ______.
13.已知P是拋物線C： 上一點，則點P到直線 的最短距離為______.
14.已知 直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足.點B∈β，BD⊥l，D為垂足.若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于 ________.
15.已知橢圓E: 與雙曲線D: (a>0，b>0)，直線 ： 與雙曲線D的兩條漸近線分別交于點A，B.若橢圓E的右焦點F在以線段AB為直徑的圓內，則橢圓的離心率 的取值范圍是________.
三、解答題(本大題共6小題，滿分75分.解答須寫出文字說明證明過程或演算步驟).
16.(本小題滿分12分)
已知命題P: 表示雙曲線;命題q： ( ),若 是 的充分非必要條件，試求實數 的取值范圍.
17.(本小題滿分12分)
如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點.x
(1)求證：EF⊥CF;
(2)求 與 所成角的余弦值.
18.(本小題滿分12分)
設命題p：“直線x+y-m=0與圓 不相交”，命題q：“ 有一正根和一負根。”如果p q為真且p q為假，求m的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
已知拋物線C: ，過點K( ,0)的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，且直線BD與x軸相交于點P(m,0),求m的值.
20. (本小題滿分13分)
已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2， AB = 1，F為CD的中點.
(Ⅰ)求證：AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求直線AC與平面CBE所成角正弦值;
(Ⅲ)求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小.
21. (本小題滿分14分)
已知橢圓C： 的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線 與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設 為橢圓上一點，若過點 的直線 與橢圓 相交于不同的兩點 和 ,且滿足 (O為坐標原點)，求實數 的取值范圍.
參考答案
一、選擇題
1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、D 10、C
二、填空題
11、(2) 12、 13、 14、 15.
三 、解答題(若不同于參考答案，可根據步驟酌情給分)
16. 解：由命題P得 ∴ 4分
由命題q得∴ 5分
由題意及逆否命題的等價性可知 ，即 7分
∴由 (不同時取等號)及 得 11分
∴所求m的取值范圍為 12分
17.(1)證明：建立如圖所示的空間直有坐標系D-xyz， 1分
則D(0，0，0)，E(0，0， )，C(0，1，0)，F( ， ，0)，G(1，1， ) 3分
所以 =( ， ，- )， =( ，- ，0)， =(1，0， )，
=(0，-1， ).4分 因為 ，5分
所以 ，即EF⊥CF. 6分
(2)解：因為 ， 8分
，
. 10分
所以 12分
18.解：對命題P：
由x+y-m=0和 得
則 ，∴
∴P為真時 3分
對命題q：則有題意得 得
∴q為真時 6分
由題意可知P與q有且只有一個命題為真命題 7分
若P假q真時， ∩ = 9分
若P真q假時， ∩ = 11分
綜述： 12分
19. 設A D ， 的方程為
將 代入 中整理得 4分
從而 5分
∴直線BD方程為 即 8分
令y=0,得 =2，10分 即P(2，0) ∴m=2 12分
20. 解：(Ⅰ)∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵AC=AD，F為CD中點，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分
(Ⅱ)取CE的中點Q，連接FQ，因為F為CD的中點，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD
∴FQ⊥平面ACD，又由(Ⅰ)可知FD，FQ，FA兩兩垂直，以O為坐標原點，
如圖建立空間直角坐標系F—xyz,
∴直線AC與平面CBE所成角的正弦值為
(Ⅲ)平面ACD的一個法向量為 ，則
∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°.………………13分
21. 解： (1)由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為 ,
∴圓心到直線 的距離
∵橢圓 的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得b=c=1 ∴
故所求橢圓方程為 5分
(Ⅱ)由題意知直線 的斜率存在，設直線 方程為 ，設
將直線方程代入橢圓方程得： ………… 6分
∴
∴ 7分
設 , 則 ………………8分
當t=0時，直線l的方程為y=0,此時t=0， 成立，故，t=0符合題意。
當 時
得
∴ …………… 10分
將上式代入橢圓方程得：
整理得： 12分
由 知
綜上所以t∈(-2，2)…………… 14分
高二數學下學期期中試題理科
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設 ，則 在復平面內對應的點位于
A.第一象限 B.第二 象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知8件產品中有2件次品，從中任取3件，取到次品的件數為隨機變量，用 表示，那么 的取值為
A.0，1 B.1，2 C.0，1，2 D.0，1，2，3
3.計算
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在曲線 上切線的斜率為3的點是
A.(0，0) B.(1，1) C.(-1，-1) D.(1，1)或(-1，-1)
5.某射擊運動員射擊一次，命中目標的概率為0. 8，問他連續(xù)射擊兩次都沒命中的概率為
A.0.8 B.0.64 C.0.16 D.0.04
6.下列函數 中，滿足“對任意 ，當 時，都有 ”的是
A. B. C. D.
7.復數 的共軛復數是
A. B. C. D.
8.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有
A.60種 B.70種 C.75種 D.150種
9.函數 的單調遞增區(qū)間為
A. 與 B. C.(0，1) D.(1，+∞)
10.
A. B. C. D.
11.在 的展開式中，記 項的系數為 ，則
A.210 B.120 C.60 D.54
12.已知函數 ，若 存在唯一的零點 ，且 ，則實數a的取值范圍是
A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-2)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中常數項為 ▲ .
14.從集合{0，1，2，3，4，5}中任取兩個互不相等的數 組成復數 ，其中虛數有 ▲ 個(用數字作答).
15.設隨機變量 ，且 ， ，則 ▲ .
16.數列 滿足 ， ，則 ▲ .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
在 平面直角坐標系 中，直線 的參數方程為 ( 為參數)，曲線C的參數方程為 ( 為 參數).
(1)求直線 和曲線C的普通方程;
(2)求直線 和曲線C的公共點的坐標.
18.(本小題滿分12分)
某產品的廣告費用支出 與銷售額 (單位：百萬元)之間有如下的對應數據：
/百萬元
2 4 5 6 8
/百萬元
30 40 60 50 70
(1)求 與 之間的回歸直線方程;(參考數據： ， )
(2)試預測廣告費用支出為1千萬元時，銷售額是多少?
19.(本小題滿分12分)
隨機詢問某大學40名不同性別的大學生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下 列聯表：
讀營養(yǎng)說明 不讀營養(yǎng)說明 合計
男 16 4 20
女 8 12 20
合計 24 16 40
(1)根據以上列聯表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關系”?
(2)從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學生中，隨機抽取2名學生，求抽到男生人數 的分布列及其數學期望.
20.(本小題滿分12分)
如圖，在四面體 中， 平面 ， . 是 的中點， 是 的中點，點 在線段 上，且 .
(1)證明：BC⊥CM;
(2)證明： 平面 .
2 1.(本小題滿分12分)
已知函數 ( )， 是 的導函數.
(1)當 時，對于任意的 ， ，求 的最小值;
(2) 若存在 ，使 ，求 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
已知函數 ( ).
(1)討論 的單調性;
(2)設 ， ，證明： .
2014—2015學年第二學期統(tǒng)一檢測題
高二數學(理科)參考答案及評分標準
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D D A B C C D B D
二、填空題
13.6 14.25 15. 16.
三、解答題
17.(本小題滿分10分)
解：(1)由直線 的參數方程為 ( 為參數)，得 ，代入 ，得直線 的普通方程為 . (3分)
由曲線C的參數方程為 ( 為參數)，得 ，代入 ，得曲線C的普通方程 . (6分)
(2)由題意，得 解得 或 . (8分)
故直線 和曲線C的公共點的坐標為 . (10分)
18.(本小題滿分12分)
解：(1) ， (1分)
， (2分)
， (3分)
， (4分)
， (6分)
， (8分)
所以回歸直線方程為 . (9分)
(2)當x=10時， (百萬元)，即當廣告費用支出為1千萬元時，銷售額是8.25千萬元. (12分)
19.(本小題滿分12分)
解：(1)因為 ， (3分)
所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關系”.
(5分)
(2)由題意 的取值為0，1，2. (6分)
因為 ， ， ，
所以 的分布列為：
0 1 2
(9分)
所以 的數學期望為 . (12分)
20.(本小題滿分12分)
證明：(1)因為AD⊥平面BCD，BC平面BCD，
所以BCAD. (1分)
又BC⊥CD，且CD、AD平面ACD，CD∩AD=D，新課 標第 一 網
所以BC平面ACD. (2分)
又CM平面ACD， (3分)
所以平面BCCM. (4分)
(2)取BD的中點E，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接PE，EF，QF. (5分)
因為P、E分別是BM、BD的中點，所以PE為△BDM的中位線， (6分)
所以PE//DM，且 ，即PE//AD，且 . (7分)
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
所以QF//AD，且 . (9分)
所以PE//QF，且PE=QF，故四邊形EFQP為平行四邊形. (10分)
所以PQ//EF. (11分)
又EF平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD. (12分)
21.(本小題滿分12分)
解：(1)當 時， ， . (1分)
令 ，得 . (2分)
當 時， ，所以 在(-1，0)上單調遞減;
當 時， ，所以 在(0，1)上單調遞增;
所以對于 ， 的最小值為 . (3分)
因為 的開口向下，且對稱軸為 ，所以對于 ， 的最小值為 . (4分)
故 的最小值為-11. (5分)
(2) . (6分)
?、偃?，當 時， ，所以 在 上單調遞減，又 ，則當 時， . 所以當 時，不存在 ，使 . (8分)
?、谌?，當 時， ，所以 在 上單調遞增;當 時， ，所以 在 上單調遞減;
故當 時， . (10分)
依題意 ，解得 . (11分)
綜上， 的取值范圍是 . (12分)
22.(本小題滿分12分)
解：(1) 的定義域為(-1，+∞).
. (1分)
①當 時，xkb1
若 ，則 ，所以 在 上單調遞增;
若 ，則 ，所以 在 上單調遞減;
若 ，則 ，所以 在 上單調遞增. (3分)
?、诋?時， ，所以 在 上單調遞增. (4分)
?、郛?時，
若 ，則 ，所以 在 上單調遞增;
若 ，則 ，所以 在 上單調遞減;
若 ，則 ，所以 在 上單調遞增. (6分)
(2)由(1)知，當 時， 在 上單調遞增，所以當 時， ，即 . (7分)
又由(1)知，當 時， 在 上單調遞減，所以當 ， ，即 . (8分)
下面用數學歸納法證明： .
?、佼?時，由已知 ，故結論成立; (9分)
?、诩僭O當 時結論成立，即 ，
當 時， . (10分)
， (11分)
即當 時，有 成立.
根據①、②知對任何 結 論成立. (12分)
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