高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試題
數(shù)學(xué)中有許多概念，如何讓學(xué)生正確地掌握概念，應(yīng)該指明學(xué)習(xí)概念需要怎樣的一個(gè)過(guò)程，應(yīng)達(dá)到什么程度，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué)，歡迎大家來(lái)多多參考哦
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題， 每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) 的實(shí)部為
A. B. C. D.
3. 的展開式中 的系數(shù)為
A. B. C. D.
4.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的 直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為
A. B. C. D.
5若實(shí)數(shù) 滿足條件 ，則 的最小值為
A. B. C. D.
6.在等比數(shù)列 中， ，公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，若數(shù)列 也是等比數(shù)列，則 等于
A. B. C. D.
7.直線 分別與 軸， 軸交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在圓 上，則 面積的取值范圍是
A. B. C. D.
8.函數(shù) 的部分圖象可能是
A. B.
C. D.
9.拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) ， 為拋物線上一點(diǎn)，且 不在直線 上，則 周長(zhǎng)的最小值為
A. B. C. D.
10.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面 上，若該棱錐的高和底面邊長(zhǎng)均為 ，則該球的體積為
A. B. C. D.
11.在長(zhǎng)方體 中， ， ，則異面直線 與 所成角的余弦值為
A. B. C. D.
12.已知 是定義域?yàn)?的奇函數(shù)，滿足 .若 ，則
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為__________.
14.已知向量 ， ， .若 ，則 __________.
15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的 四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：
甲說(shuō)：“是 或 作品獲得 一等獎(jiǎng)”
乙說(shuō)：“ 作品獲得一等獎(jiǎng)”
丙說(shuō)：“ 兩項(xiàng)作品未獲得一等 獎(jiǎng)”
丁說(shuō)：“是 作品獲得一等獎(jiǎng)”
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是___________.
16.如圖在 中， ， ，點(diǎn) 是 外一點(diǎn)， , 則平面四邊形 面積的最大值是___________.
三、解答題：本大題共6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分) 記 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， .
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求 ，并求 的最小值.
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18.(本小題滿分12分)在如圖所示的六面體中，面 是邊長(zhǎng)為 的正方形，面 是直角梯形， ， ， .
(Ⅰ)求證： //平面 ;
(Ⅱ)若二面角 為 ，求直線 和平面 所成角的正弦值.
19. (本小題滿分12分)為迎接 月 日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取 名男生參加 米中長(zhǎng)跑測(cè)試，經(jīng)測(cè)試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖(小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉)，如圖，若跑步時(shí)間不高于 秒，則稱為“好體能”.
(Ⅰ) 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)要從這 人中隨機(jī)選取 人，求至少有 人是“好體能”的概率;
(Ⅲ)以這 人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生(人數(shù)眾多)任取 人，記 表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(20)(本小題滿分12分) 設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為 ， .
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)， 與直線 交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限.若 的面積是 面積的2倍，求k的值.
21.已知函數(shù) .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最大值;
(Ⅱ)已知 ，求證 .
22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線 ： ( 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓 的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 求圓心 的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，直線 與圓 的交點(diǎn)為 ,求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于 的不等式
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求不等式解集;
(Ⅱ)若不等式有解，求 的范圍.
數(shù)學(xué)理科答案
選擇題 CADDB CBBCA AD
填空題
17(I)設(shè) 的公差為d，由題意得 .……………………………………………………………… 3分
由 得d=2.
所以 的通項(xiàng)公式為 .………………………………………………………………………………… 6分
(II)由(1)得 .………………………………………………………………………9分
所以當(dāng)n=4時(shí)， 取得最小值，最小值為−16.………………………………………………………………………12分
18證明：(I)連接 相交于點(diǎn) ，取 的中點(diǎn)為 ,連接 .
是正方形， 是 的中點(diǎn)， ,
又因?yàn)?,所以 且 ，
所以四邊形 是平行四邊形，……………………………………………………………………… ………… 3分
，又因?yàn)?平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………5分
(II) 是正方形， 是直角梯形， ，
, 平面 ,同理可得 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ,
又因?yàn)槎娼?為 ，
所以 , , ,由余弦定理得 ,
所以 ,又因?yàn)?平面 ，
,所以 平面 ，…………………………………………………7分
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 軸、 為 軸、 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則 ,………………… …………………8分
所以 ,設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 即 令 ，則 ，
所以 ………………………………………………………11分
設(shè)直線 和平面 所成角為 ，
則 ………………………………………12分
19解： (I)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 ;………………………………………………………………3分
(II)設(shè)求至少有 人是“好體能”的事件為A,則事件A包含得基本事件個(gè)數(shù)為;
總的基本事件個(gè)數(shù)為 ， …………………………………………7分
(Ⅲ) 的可能取值為
由于該校男生人數(shù)眾多，故 近似服從二項(xiàng)分布 …………………………………………………………9分
， , ,
的分布列為
故 的數(shù)學(xué)期望 ………………………………………………………………………1 2分
20(I)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得 ，又由 ，可得
由 ,從而 .
所以，橢圓的方程為 . …………………………………………………………………………5分
(II)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，由題意， ，
點(diǎn) 的坐標(biāo)為 由 的面積是 面積的2倍，可得 ，
從而 ，即 .……………………………………………………………………………6分
易知直線 的方程為 ，由方程組
消去y，可得 .
由方程組 消去 ，可得 . …………………………………………………………9分
由 ， 可得 ，
兩邊平方，整理得 ，解得 ，或 .
當(dāng) 時(shí)， ，不合題意，舍去;
當(dāng) 時(shí)， ， ，符合題意.
所以， 的值為 . ………………………………………………………………………………12分
21解：(I)因?yàn)?，
…………………………………………………………2分
當(dāng) 時(shí) ;當(dāng) 時(shí) ，
則 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減. 所以 的最大值為 . …………………………………………………………………5分
(II)由 得， ，………7分
則 ，又因?yàn)?，有 ，
構(gòu)造函數(shù) ………………………………………9分
則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，可得 在 單調(diào)遞增，
有 ， ……………………………………………………11分
所以有 .………………………………………12分
22解：(I)由題意可知圓的直角坐標(biāo)系方程為 ，
所以圓心的極坐標(biāo)為 . ……………………………………………4分
(II)因?yàn)閳A的直角坐標(biāo)系方程為 ，直線方程為 ，
得到 所以 . ………………………………………10分
23解：(I)當(dāng) 時(shí)，則
所以
即不等式解集為 . ………………………………………………5分
(II)令 ，由題意可知;
又因?yàn)?/p>
所以 ，即 . …………………………………………10分
高二數(shù)學(xué)理科下學(xué)期期末試題閱讀
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列運(yùn)算正確的為( )
A. ( 為常數(shù)) B.
C. D.
2.已知 ，則復(fù)數(shù) ( )
A. B. C. D.
3.已知曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于直線 ，那么點(diǎn) 的坐標(biāo)為( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.隨機(jī)變量 ，且 ，則 ( )
A.0.20 B.0.30 C.0.70 D.0.80
5.設(shè) ，那么 ( )
A. B. C. D.
6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件 “第一次取到的是偶數(shù)”， “第二次取到的是偶數(shù)”，則 ( )
A. B. C. D.
7.用反證法證明命題“已知函數(shù) 在 上單調(diào)，則 在 上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是( )
A. 在 上沒有零點(diǎn) B. 在 上至少有一個(gè)零點(diǎn)
C. 在 上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) D. 在 上至少有兩個(gè)零點(diǎn)
8.在 的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為 ，則 的系數(shù)為( )
A.21 B.63 C.189 D.729
9.如圖是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 的圖象，則下面判斷正確的是( )
A.在 上 是增函數(shù)
B.在 上 是減函數(shù)
C.在 上 是增函數(shù)
D.在 時(shí)， 取極大值
10.若 是離散型隨機(jī)變量， ， ，又已知 ， ，則 的值為( )
A. B. C.3 D.1
11.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有( )種
A.19 B.26 C.7 D.12
12.已知在 上的可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，滿足 ，且 為偶函數(shù)， ，則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每小題5分，共計(jì)20分)
13.某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表
玩手機(jī) 不玩手機(jī) 合計(jì)
學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 4 8 12
學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 16 2 18
合計(jì) 20 10 30
經(jīng)計(jì)算 的值，則有 的把握認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， .
14.由曲線 與 圍成的封閉圖形的面積是 .
15.對(duì)于三次函數(shù) ，定義：設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，若方程 有實(shí)數(shù)解 ，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的“拐點(diǎn)”，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心;且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心.”根據(jù)此發(fā)現(xiàn)，若函數(shù) ，計(jì)算 .
16.對(duì)于函數(shù) ，若存在區(qū)間 ，當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?，則稱 為 倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是 (填上所有正確的序號(hào)).
?、?②
③ ④
三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.已知 ， ， 為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若 ，求 ;
(Ⅱ)若 ，求實(shí)數(shù) ， 的值.
18.已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 在 處取得極值，求 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若 在區(qū)間 內(nèi)有極大值和極小值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19.某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購(gòu)水機(jī)處每購(gòu)買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：
售出水量 (單位：箱)
7 6 6 5 6
收入 (單位：元)
165 142 148 125 150
學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元;綜合考核21～50名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元;綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金.
(Ⅰ)若售出水量箱數(shù) 與 成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收入為多少元?
(Ⅱ)甲乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 ，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：回歸直線方程 ，其中 ， .
20.如圖(1)是一個(gè)仿古的首飾盒，其左視圖是由一個(gè)半徑為 分米的半圓和矩形 組成，其中 長(zhǎng)為 分米，如圖(2).為了美觀，要求 .已知該首飾盒的長(zhǎng)為 分米，容積為4立方分米(不計(jì)厚度)，假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費(fèi)用為每平方分米2百元，上半部制作費(fèi)用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為 百元.
(Ⅰ)寫出 關(guān)于 的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng) 為何值時(shí)，該首飾盒的制作費(fèi)用最低?
21.已知函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線與直線 垂直.
(Ⅰ)求函數(shù) 的極值;
(Ⅱ)若 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)， )，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ)求直線 的普通方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線 與曲線 交于 、 兩點(diǎn)，求 的最小值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 恒成立，求 的取值范圍;
(Ⅱ)已知 ，若 使 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
高二數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案
一、選擇題
1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA
二、填空題
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④
三、解答題
17.解：(Ⅰ)∵ ，∴ .
∴ ，
∴ ;
(Ⅱ)∵ ，
∴
.
∴ ，
解得 ，
∴ ， 的值為：-3，2.
18.解： ，
(Ⅰ)∵ 在 處取得極值，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，令 ，則 ，
∴ ，
∴函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)∵ 在 內(nèi)有極大值和極小值，
∴ 在 內(nèi)有兩不等實(shí)根，對(duì)稱軸 ，
∴ ，
即 ，
∴ .
19.解：(Ⅰ) ， ，
，
，
所以線性回歸方程為 ，
當(dāng) 時(shí)， 的估計(jì)值為206元;
(Ⅱ)甲乙兩名同學(xué)所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和 的可能取值為0，300，500，600，800，1000;
;
;
;
;
;
.
0 300 500 600 800 1000
所以 的數(shù)學(xué)期望 .
20.解：(Ⅰ)由題知 ，
∴ .
又因 ，得 ，
∴
.
(Ⅱ)令 ，
∴ ，
令 則 ，
∵ ，
當(dāng) 時(shí) ，函數(shù) 為增函數(shù).
∴ 時(shí)， 最小.
答：當(dāng) 分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.
21.解：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域?yàn)?， ，
所以函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線的斜率 .
∵該切線與直線 垂直，所以 ，解得 .
∴ ， ，
令 ，解得 .
顯然當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減.
∴函數(shù) 的極大值為 ，函數(shù) 無(wú)極小值.
(Ⅱ) 在 上恒成立，等價(jià)于 在 上恒成立，
令 ，則 ，
令 ，則 在 上為增函數(shù)，即 ，
?、佼?dāng) 時(shí)， ，即 ，則 在 上是增函數(shù)，
∴ ，故當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立.
②當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減， ，
因此當(dāng) 時(shí)， 在 上不恒成立，
22.解：(Ⅰ)將 ( 為參數(shù)， )消去參數(shù) ，
得直線， ，即 .
將 代入 ，得 ，
即曲線 的直角坐標(biāo)方程為 .
(Ⅱ)設(shè)直線 的普通方程為 ，其中 ，又 ，
∴ ，則直線 過(guò)定點(diǎn) ，
∵圓 的圓心 ，半徑 ， ，
故點(diǎn) 在圓 的內(nèi)部.
當(dāng)直線 與線段 垂直時(shí)， 取得最小值，
∴ .
23.解：(Ⅰ)∵ ，若 恒成立，需 ，
即 或 ，
解得 或 .
(Ⅱ)∵ ，∴當(dāng) 時(shí)， ，
∴ ，即 ， 成立，
由 ，∵ ，∴ (當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立)，
∴ .
又知 ，∴ 的取值范圍是 .
有關(guān)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.不需寫出解題過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.已知復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)( 為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù) 的值為 .
2.已知點(diǎn) ， ，則 .
3.若 ，則 的值為 .
4.已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，那么方差 的值為 .
5.三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是 ，并且各人猜對(duì)與否相互獨(dú)立，那么他們同時(shí)猜對(duì)的概率為 .
6.已知矩陣 ，則矩陣 的逆矩陣為 .
7.若從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則至少選出1名女生的概率為 .(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
8.在極坐標(biāo)系中，已知 到直線 ： ， 的距離為2，則實(shí)數(shù) 的值為 .
9.設(shè)向量 ， ，且 ，則 的值為 .
10.圓 ： 在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線 ，曲線 的矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線 ，則曲線 的方程為 .
11.若 的二項(xiàng)展開式中的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15，則 的展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)為 .
12.將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有2個(gè)空盒的方法共有 種(用數(shù)字作答).
13.對(duì)于自然數(shù)方冪和 ， ， ，求和方法如下：
，
，
…
，
將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有 ，解得 ，類比以上過(guò)程可以求得 ， 且與 無(wú)關(guān)，則 的值為 .
14.化簡(jiǎn) .
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.已知復(fù)數(shù) ， 為虛數(shù)單位.
(1)求 ;
(2)若復(fù)數(shù) 滿足 ，求 的最大值.
16.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 重合，極軸與 軸的正半軸重合，若直線 的參數(shù)方程為： ( 為參數(shù))，曲線 的極坐標(biāo)方程為： .
(1)求直線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線 被曲線 截得線段的長(zhǎng).
17.已知矩陣 ，向量 .
(1)求 的特征值 、 和特征向量 、 ;
(2)求 的值.
18.如圖，在正四棱柱 中， ， ，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
(1)若 ，求異面直線 與 所成角的大小;
(2)若 ，求直線 與平面 所成角的正弦值;
(3)若二面角 的大小為 ，求實(shí)數(shù) 的值.
19.假設(shè)某士兵遠(yuǎn)程射擊一個(gè)易爆目標(biāo)，射擊一次擊中目標(biāo)的概率為 ，三次射中目標(biāo)或連續(xù)兩次射中目標(biāo)，該目標(biāo)操作，停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊至子彈用完.現(xiàn)有5發(fā)子彈，設(shè)耗用子彈數(shù)為隨機(jī)變量 .
(1)若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標(biāo)的概率;
(2)求隨機(jī)變量 的概率分布與數(shù)學(xué)期望 .
20.設(shè) ，其中 ， ， 與 無(wú)關(guān).
(1)若 ，求 的值;
(2)試用關(guān)于 的代數(shù)式表示： ;
(3)設(shè) ， ，試比較 與 的大小.
理 科 數(shù) 學(xué)
一、填空題
1. -1 2. 5 3. 4或9 4. 5. 6.
7. 8. 1 9. 168 10.
11. 160 12. 84 13. 14.
二、解答題
15.解：(1)
(2)設(shè) ，因?yàn)?，所以
在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) ，
復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
因?yàn)锳O= ,所以 的最大值為 .
16.解：(1)直線 的普通方程為 ，
曲線 的普通方程為 .
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ，
故直線 被曲線 截得的線段長(zhǎng)為 .
17.解：(1)矩陣 的特征多項(xiàng)式為 ，
令 ，解得 ， ，
當(dāng) 時(shí)，解得 ;
當(dāng) 時(shí)，解得 .
(2)令 ，得 ，求得 .
所以
18.解：(1)當(dāng) 時(shí)， ，， ， ， ，
則 ，
，
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .
(2)當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ，
設(shè) 與平面 所成角為 ，因?yàn)?，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 .
(3)由 得， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ，
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 .
19. 解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標(biāo)的概率為
.
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當(dāng) 時(shí)，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標(biāo)， ;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊三次，第一次未擊中目標(biāo)，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標(biāo)，
;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊四次，第二次未擊中目標(biāo)，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標(biāo)，
;
當(dāng) 時(shí)，表示射擊五次，均未擊中目標(biāo)，或只擊中一次目標(biāo)，或擊中兩次目標(biāo)前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無(wú)連續(xù)擊中。
;
隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望
.
20.解：(1)由題意知 ，所以 .
(2)當(dāng) 時(shí)， ，
兩邊同乘以 得：
，
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得：
，
令 得：
，
即 .
(3) ， ，
猜測(cè)： ，
① 當(dāng) 時(shí)， ， ， ，此時(shí)不等式成立;
?、诩僭O(shè) 時(shí)，不等式成立，即： ，則 時(shí)，
所以當(dāng) 時(shí)，不等式也成立;
根據(jù)①②可知， ，均有 .
【實(shí)際上問題即比較 與 的大小關(guān)系;】
理 科 數(shù) 學(xué)
(考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分160分)
注意事項(xiàng):
1.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上規(guī)定的地方.
2.答題時(shí)，請(qǐng)使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字跡工整，筆跡清楚.
3.請(qǐng)按照題號(hào)在答題卡上各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.請(qǐng)保持卡面清潔，不折疊，不破損.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.不需寫出解題過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.
答案：-1
2.
答案：5
3.
答案：4或9
4.
答案：
5.
答案：
6.
答案：
7.
答案：
8.
答案：1
9.
答案：168
10.
答案：
11.
答案：160
12.
答案：84
13.
答案：
14.
答案：
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.
解： (1) ……………………6分
(2)設(shè) ，因?yàn)?，所以 ……………………8分
在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) ，
復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
……………………10分
因?yàn)锳O= ,所以 的最大值為 . ……………………14分
16.
解：(1)直線 的普通方程為 ， ……………………4分
曲線 的普通方程為 . ……………………8分
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ， ……………………10分
故直線 被曲線 截得的線段長(zhǎng)為 . …………………14分
17.
解： (1)矩陣 的特征多項(xiàng)式為 ，
令 ，解得 ， ， ………4分
當(dāng) 時(shí)，解得 ; ………6分
當(dāng) 時(shí)，解得 . ………8分
(2)令 ，得 ，求得 . …………………10分
所以
………………14分
18.解：(1)當(dāng) 時(shí)， ，， ， ， ，
則 ，
， ………………2分
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .……………………4分
(2)當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ， ……………………7分
設(shè) 與平面 所成角為 ，因?yàn)?，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………10分
(3)由 得， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時(shí) ， ……………13分
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 . ……………16分
19.
解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標(biāo)的概率為
………4分
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當(dāng) 時(shí)，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標(biāo)， ; ………6分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊三次，第一次未擊中目標(biāo)，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標(biāo)，
; ………8分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊四次，第二次未擊中目標(biāo)，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標(biāo)，
; ………10分
當(dāng) 時(shí)，表示射擊五次，均未擊中目標(biāo)，或只擊中一次目標(biāo)，或擊中兩次目標(biāo)前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無(wú)連續(xù)擊中。
;
………12分
隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望
………16分
20.
解：(1)由題意知 ，所以 . ………2分
(2)當(dāng) 時(shí)， ，
兩邊同乘以 得：
，
………………………4分
等式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得：
………………………6分
令 得：
，
即 …………………………………………8分
(3) ，
猜測(cè)： ………………………………………………10分
② 當(dāng) 時(shí)， ， ， ，此時(shí)不等式成立;
………………………………………………11分
?、诩僭O(shè) 時(shí)，不等式成立，即： ，則 時(shí)，
所以當(dāng) 時(shí)，不等式也成立; ………………………………………………15分
根據(jù)①②可知， ，均有 . …………………………16分
【實(shí)際上問題即比較 與 的大小關(guān)系;】
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷閱讀
第I卷 選擇題(60分)
一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.已知 是虛數(shù)單位，且 ，則
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
?、?，② ，③
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
3.已知 ， 則 等于
A. B. C. D.
4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4)=0.84，則 P(ξ≤0)=
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
5.一牧場(chǎng)有 10 頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為 0.02.設(shè)發(fā)病 的牛的頭數(shù)為ξ，則 Dξ等于
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
6.將小亮等 名同學(xué)全部安排到 、 、 、 四個(gè)社區(qū)參加社區(qū)活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少安排一人，則小亮在 社區(qū)的安排方案共有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.某中學(xué)有高中生 人，初中生 人，高中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，初中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為 的樣本，已知從初中生中抽取男生 人，則從高中生中抽取的女生人數(shù)是
A. B. C. D.
8.若 ， 滿足約束條件 ，則 的最小值是
A. B. C. D.
9.一個(gè)盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球3個(gè).現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件 為“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事件 為“取出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球”，則
A. B. C. D.
10.設(shè)函數(shù) ， .若當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
A. B. C. D.
11.已知函數(shù) ，在區(qū)間 內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù) ， ，且 ，若不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.
12.已知拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M(0，4)的距離之和的最小值為 ，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的內(nèi)切圓半徑為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.二項(xiàng)式 展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)是 .
14.已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線斜率為 ，則 .
15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x +y -4 =0相切，則圓C面積的最小值為 .
16.已知函數(shù) 的定義域是 ，關(guān)于函數(shù) 給出下列命題：
?、賹?duì)于任意 ，函數(shù) 是 上的減函數(shù);②對(duì)于任意 ，函數(shù) 存在最小值;
③存在 ，使得對(duì)于任意的 ，都有 成立;
④存在 ，使得函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
三.解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ，且當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得極值為 .
(1)求 的解析式;
(2)若關(guān)于 的方程 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出(單位:百元)的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：
組別 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
頻數(shù) 2 250 450 290 8
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布 ，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在 8100元以上;
(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100)錯(cuò)誤!未找到引用源。范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生， 現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若 錯(cuò)誤!未找到引用源。，則
，
19.(本小題滿分12分)
如圖所示，三棱錐 中， 平面 ， ， ， 為 上一點(diǎn)， ， ， 分別為 ， 的中點(diǎn).
(1)證明： ;
(2)求平面 與平面 所成角的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知中心在原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 過(guò)點(diǎn) ，離心率為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ，且 ，求直線 的斜率 的取值范圍;
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若不等式 在 時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí)，證明： .
(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中， 是過(guò)點(diǎn) 且傾斜角為 的直線.以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求直線 的參數(shù)方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線 與曲線 交于兩點(diǎn) ， ，求 .
23.(本小題滿分10分)
[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(2)當(dāng) 時(shí)，不等式 對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取
值范圍.
理科數(shù)學(xué)參考答案
一.選擇題
1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D
二.填空題
13. 210 14. 15. 16. ②④
三.解答題
17.解：(1) ，
由題意得， ，即 ，解得 ，
∴ .
(2)由 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
得 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
設(shè) ，
由 ，
由 ，得 或 ，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上遞減，
由題意得 ，即 ，解得 ，
18.解：(1)設(shè)樣本的中位數(shù)為 ，
則 錯(cuò)誤!未找到引用源。，
解得 ，所得樣本中位數(shù)為錯(cuò)誤!未找到引用源。(百元).
估計(jì)有805位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上.
(3) 的可能取值為0，1，2，3，
， ，
，
∴錯(cuò)誤!未找到引用源。的分布列為
0 1 2 3
19. 解 設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN=14AB，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)，
∴N(12，0,0)，M(1,0，12)，S(1，12，0)，
(1)CM→=(1，-1，12)，SN→=(-12，-12，0)，
∴CM→•SN→=(1，-1，12)•(-12，-12，0)=0，
因此CM⊥SN.
(2) NC→=(-12，1,0)，設(shè)a=(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，
∴CM→•a=0，NC→•a=0.
則x-y+12z=0，-12x+y=0.∴x=2y，z=-2y.取y=1，則得 =(2,1，-2).
平面NBC的法向量
因?yàn)槠矫鍺BC與平面C MN所成角是銳二面角;所以平面NBC與平面CMN所成角的余弦值為 ..
20.解：(1)設(shè)橢圓 的方程為： ，
由已知： 得： ， ，
所以，橢圓 的方程為： .
(2)由題意，直線斜率存在，故設(shè)直線 的方程為
由 得
由 即有
即
有
解得
綜上：實(shí)數(shù) 的取值范圍為
21.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2，
當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù);
當(dāng)0
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù).
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)= 1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)時(shí)恒成立，
當(dāng)0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞)
(3)當(dāng)a=1時(shí)，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)時(shí)恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2 ，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，15<12(ln3-ln2)，17<12(ln4-ln3)，...，12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
將上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立.
22.解：(1)直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).
由曲線 的極坐標(biāo)方程 ，得 ，
把 ， ，代入得曲線 的直角坐標(biāo)方程為 .
(2)把 代入圓 的方程得 ，
化簡(jiǎn)得 ，
設(shè) ， 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ， ，
則 ，∴ ， ，則 .
23.解：(1)當(dāng) 時(shí)，由 得： ，
故有 或 或 ，
∴ 或 或 ，∴ 或 ，
∴ 的解集為 .
(2)當(dāng) 時(shí) ，∴ ，
由 得： ，∴ ，∴ 的取值范圍為 .
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