理科高二數(shù)學下學期期末試卷
數(shù)學把精力放在聽上，不要先記下來回來再學，僅僅記書上沒有的或教師的總結性發(fā)言，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學，有時間的來閱讀哦
表達高二數(shù)學下學期期末試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知 為虛數(shù)單位，實數(shù) 滿足 ，則
A.1 B. C. D.
2.高二(3)班共有學生56人，現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本.已知3號、31號、45號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是
A.15 B.16 C.17 D.18
3.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程 有有理根，那么 、 、 中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設正確的是
A.假設 、 、 都是偶數(shù) B.假設 、 、 都不是偶數(shù)
C.假設 、 、 至多有一個偶數(shù) D.假設 、 、 至多有兩個偶數(shù)
4.某地氣象臺預計，7月1日該地區(qū)下雨的概率為 ，刮風的概率為 ，既刮風又下雨的概率為 ，設 表示下雨， 表示刮風，則
A. B. C. D.
5.已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對所住戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取20%的戶主進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為
A.100,8 B.80,20
C.100,20 D.80,8
6. 在4次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的概率
相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為
7. 已知函數(shù) ，則函數(shù) 的大致圖象是
8. 在長為 的線段 上任取一點 .現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段 的長,則該矩形面積小于 的概率為
9.已知 展開式中常數(shù)項為1120，實數(shù) 是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是
10.學校選派 位同學參加北京大學、上海交通大學、浙江大學這 所大學的自主招生考試，每所大學至少有一人參加,則不同的選派方法共有
A.540種 B.240種 C.180種 D.150種
11.已知定義域為 的奇函數(shù) 的導函數(shù)為 ，當 時， ，若 ，則 的大小關系正確的是
A. B. C. D.
12.設函數(shù) 在區(qū)間 上有兩個極值點，則 的取值范圍是
二、填空題(每小題5分，共20分)
13. 為虛數(shù)單位，設復數(shù) 滿足 ，則 的虛部是
14.已知 cos ,則二項式 的展開式中 的系數(shù)為__________.
15.三個元件 正常工作的概率分別為 12，34，34，將 兩個元件并聯(lián)后再和 串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為 .
16.已知函數(shù) 的定義域是 ，關于函數(shù) 給出下列命題：
?、賹τ谌我?，函數(shù) 是 上的減函數(shù);
?、趯τ谌我?，函數(shù) 存在最小值;
③存在 ，使得對于任意的 ，都有 成立;
?、艽嬖?，使得函數(shù) 有兩個零點.
其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(本小題滿分10分)
某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人.陳老師采用A，B兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班級進行教改實驗.為了解教學效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出莖葉圖如圖.記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.
(1)在乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的
成績中隨機抽取2個，求抽出的2個均“成績優(yōu)秀”的概率;
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關.
0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025
0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
參考公式：
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)若 在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值;
(2)若函數(shù) 有三個不同零點，求 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
某研究機構對高三學生的記憶力 和判斷力 進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用相關系數(shù) 說明 與 的線性相關程度;(結果保留小數(shù)點后兩位，參考數(shù)據(jù): )
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 關于 的線性回歸方程 ;
(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力.
參考公式： ， ;相關系數(shù) ;
20.(本小題滿分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考結束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況，相關部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：
組別 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
頻數(shù) 2 250 450 290 8
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布 ，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在 8100元以上;
(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在[80,100)范圍內(nèi)的8名學生中有5名女生，3名男生， 現(xiàn)想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學期望.
附:若 ，則
，
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ，且曲線 在點 處的切線方程為 .
(1)求實數(shù) 的值及函數(shù) 的最大值;
(2)證明：對任意的 .
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若不等式 在 時恒成立，求實數(shù) 的取值范圍;
(3)當 時，證明： .
數(shù)學(理科)參考答案
一、選擇題：DCBBA AACCD CD
二、填空題：
13. 14. 15. 16. ②④
三、解答題：
17.[解] (1)由題意知本題是一個等可能事件的概率,記該事件為A，
根據(jù)等可能事件的概率得到 -----------------4分
(2)由已知數(shù)據(jù)得
甲班 乙班 總計
成績優(yōu)秀 1 5 6
成績不優(yōu)秀 19 15 34
總計 20 20 40
----------------------6分
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得隨機變量K2的觀測值
k= ≈3.137， -----------------------9分
由于3.137>2.706，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關. -----------------------10分
18.解：(1)因為
所以函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為
----------------3分
又
由 ------------------------------6分
------------------------------10分
------------------------------12分
19.(1) 6×2+8×3+10×5+12×6=158， -------------------1分
x=6+8+10+124=9，y=2+3+5+64=4， ------------------2分
62+82+102+122=344. -----------------4分
，線性相關性非常強. ----------------6分
(2) 158，x=9，y=4， 344.
b^=158-4×9×4344-4×92=1420=0.7，a^=y-b^x=4-0.7×9=-2.3，
故線性回歸方程為y^=0.7x-2.3. -------------------------9分
(3)由(2)中線性回歸方程知，當x=9時，y^=0.7×9-2.3=4，故預測記憶力為9的同學的判斷力約為4. -----------------------12分
20.解：(1)設樣本的中位數(shù)為 ，
則 ，
解得 ，所得樣本中位數(shù)為51(百元). ------------------------3分
估計有805位同學旅游費用支出在8100元以上. -----------------------6分
(3) 的可能取值為0，1，2，3，
， ，
，
∴ 的分布列為
0 1 2 3
-------------------------10分
--------------------------12分
21解：(1)函數(shù) 的定義域為 ， ，因 的圖象在點 處的切線方程為 ，所以 解得 ，所以 ，故 .令 ，得 ，
當 時， ， 單調(diào)遞增;
當 時， ， 單調(diào)遞減.
所以當 時， 取得最大值 . -----------------------6分
(Ⅱ)證明：原不等式可變?yōu)?則
，可知函數(shù) 單調(diào)遞增，
而，
所以方程 在(0，+∞)上存在唯一實根x0，使得 .
當x∈(0，x0)時， ，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(x0，+∞)時， ，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;所以
.
即 在(0，+∞)上恒成立，
所以對任意x>0， 成立. -------------------------12分
法二：證 ，亦可.
22.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2， -----------------------------------------1分
當a≥1時，y′≥0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù);
當0
(2)當a≥1時，函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù).
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)=1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)時恒成立，
當0
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞). -------------------------7分
(3)當a=1時，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)時恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，
15<12(ln3-ln2)，
17<12(ln4-ln3)，…，
12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
將上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立. -------------------------------------------12分
高二數(shù)學下學期期末聯(lián)考試卷閱讀
一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)
1. 復數(shù) 為虛數(shù)單位 的共軛復數(shù)是
A. B. C. D.
2. 在極坐標系中，圓 的圓心的極坐標是
A. B. C. D.
3. 已知某批零件的長度誤差 單位：毫米 服從正態(tài)分布 ，從中隨機抽取一件，其長度誤差落在區(qū)間 內(nèi)的概率為
附：若隨機變量 服從正態(tài)分布 ，則 ，
A. B. C. D.
4. 聊齋志異 中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術 得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟 ”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”： 則按照以上規(guī)律，若 具有“穿墻術”，則
A. 7 B. 35 C. 48 D. 63
5. 盒中裝有形狀，大小完全相同的5個小球，其中紅色球3個，黃色球2個，若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于
A. B. C. D.
6. 設 是函數(shù) 的導函數(shù)， 的圖象如圖所示，則 的圖象最有可能的是
A. B.
C. D.
7. 的展開式的常數(shù)項是
A. 5 B. C. D.
8. 曲線 在 處的切線方程為
A. B.
C. D.
9. 甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“三個人去的景點不相同”，事件B為“甲獨自去一個景點”，則概率 等于
A. B. C. D.
10. 若 ，則 等于
A. 5 B. 25 C. D.
11. 下面使用類比推理正確的是
A. 直線a，b，c，若 ， ，則 ，類推出：向量 ， ， ，若 ， ，則
B. 同一平面內(nèi)，直線a，b，c，若 ， ，則 ，類推出：空間中，直線a，b，c，若 ， ，則
C. 實數(shù)a，b，若方程 有實數(shù)根，則 ，類推出：復數(shù)a，b，若方程 有實數(shù)根，則
D. 由向量加法的幾何意義，可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義
12. 設 是函數(shù) 定義在 上的導函數(shù)，滿足 ，則下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 定積分
14. 若 ，則 ______.
15. 在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是______ .
16. 在函數(shù) 的圖象上任取兩個不同點 ， ，總能使得 ，則實數(shù)a的取值范圍為______ .
三、解答題(共70分)
(一)必考題共60分
17. (12分)已知函數(shù) .
Ⅰ 求函數(shù)的極值;
?、?求函數(shù)在區(qū)間 上的最大值和最小值
18. (12分)某位同學進行寒假社會實踐活動，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關系進行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫 與該小賣部的這種飲料銷量 杯 ，得到如下數(shù)據(jù)：
日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日
平均氣溫
9 10 12 11 8
銷量 杯
23 25 30 26 21
?、?若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
?、?請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程 ;
?、?根據(jù) Ⅱ 中所得的線性回歸方程，若天氣預報1月16日的白天平均氣溫 ，請預測該奶茶店這種飲料的銷量.
附：線性回歸方程 中， ，其中 ， 為樣本平均值.
19. (12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形， 平面ABCD， ， ， .
?、?求證： 平面PAD;
Ⅱ 求PD與平面PCE所成角的正弦值;
?、?在棱AB上是否存在一點F，使得平面 平面PCE?如果存在，求 的值;如果不存在，說明理由.
20. (12分)某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖 如圖所示 ，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.
晉級成功 晉級失敗 合計
男 16
女 50
合計
?、?求圖中a的值;
?、?根據(jù)已知條件完成下面 列聯(lián)表，并判斷能否有 的把握認為“晉級成功”與性別有關?
?、?將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望 .
參考公式： ，其中
21. (12分)已知函數(shù) .
若 在 處取到極值，求a的值;
若 在 上恒成立，求a的取值范圍;
求證：當 時， .
(二)選考題：共10分，從22,23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分
22. (10分)已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為 ，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線l的極坐標方程為 .
求直線l的直角坐標方程和橢圓C的參數(shù)方程;
設 為橢圓C上任意一點，求 的最大值.
(10分)函數(shù) .
當 時，解不等式 ;
若不等式 對任意 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
答案和解析
【答案】
1. D 2. D 3. B 4. D 5. D 6. C 7. D
8. C 9. C 10. B 11. D 12. B
9. 解：甲獨自去一個景點，則有3個景點可選，
乙丙只能在甲剩下的哪兩個景點中選擇，可能性為 ，
所以甲獨自去一個景點的可能性為 ，
因為三個人去的景點不同的可能性為 ，
所以 .
故選C.
10. 解：對于 ，兩邊對x求導，
可得 ，
再令 ，可得 ，
故選：B.
11. 解：對于A， 時，不正確;
對于B，空間中，直線a，b，c，若 ， ，則 或 或相交，故不正確;
對于C，方程 有實根，但 不成立，故C不正確;
對于D，由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義，正確.
故選：D.
12. .【解答】解： 是函數(shù) 定義在 上的導函數(shù)，滿足 ，
可得 ，
令 ，則 ，
函數(shù) 在R上單調(diào)遞增.
，
.故選B.
13 14. 15. 16.
17. 解： Ⅰ ， -----------------------------------------------1分
令 ，得 ， ，
當 時，即 或 時，函數(shù) 單調(diào)遞增，
當 時，即 時，函數(shù) 單調(diào)遞減，-----------------4分
當 時，函數(shù)有極大值，且 ，
當 時，函數(shù)有極小值，且 .------------------------------------8分
?、?，
，
與極值點的函數(shù)值比較，
得已知函數(shù)在區(qū)間 上的最大值是 ，最小值是 . ------------12分
18. 解： Ⅰ 設“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)”為事件A，
所有基本事件 其中m，n為1月份的日期數(shù) 有： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，共有10種.
事件A包括的基本事件有 ， ， ， 共4種.
所以 為所求 ---------------------------------------------------------4分
?、?由數(shù)據(jù)，求得 ，
求得 ， 所以y關于x的線性回歸方程為 –-8分
?、?當 時，
所以該奶茶店這種飲料的銷量大約為19杯 ---------------------------------12分
19. 解： Ⅰ 設PA中點為G，連結EG，DG.
因為 ，且 ， ，
所以 且 ，
所以四邊形BEGA為平行四邊形.
所以 ，且 .
因為正方形ABCD，所以 ， ，
所以 ，且 .
所以四邊形CDGE為平行四邊形.所以 .
因為 平面PAD， 平面PAD，
所以 平面PAD.--------------------------------------4分
?、?如圖建立空間坐標系，則 0， ， 4， ，
0， ， 0， ， 4， ，
所以 4， ， 0， ， 4， .
設平面PCE的一個法向量為 y， ，
所以 ，可得 .
令 ，則 ，所以 1， .--------6分
設PD與平面PCE所成角為 ，
則 ，
所以PD與平面PCE所成角的正弦值是 ----------------8分
Ⅲ 依題意，可設 0， ，則 ， .
設平面DEF的一個法向量為 y， ，
則 .
令 ，則 ，
所以 .
因為平面 平面PCE，
所以 ，即 ，
所以 ，點 .所以 . ---------------12分
20. 解： Ⅰ 由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，
可知 ，
解得 ;-----------------------------------------------------------------3分
?、?由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為 ，
所以晉級成功的人數(shù)為 人 ，
填表如下：
晉級成功 晉級失敗 合計
男 16 34 50
女 9 41 50
合計 25 75 100
假設“晉級成功”與性別無關，
根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得 ，
所以有超過 的把握認為“晉級成功”與性別有關;----------------------------7分
?、?由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為 ，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，
這人晉級失敗的概率為 ，
所以X可視為服從二項分布，即 ，
，
故 ， ，
， ，
，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
數(shù)學期望為 ，
或 --------12分
21. 解： 的定義域為 ，
， 在 處取得極小值，
，即 ，
此時，經(jīng)驗證 是 的極小值點，故 ，----------------------4分
，
當 時， ，
在 上單調(diào)遞減，
當 時， 矛盾.
當 時， ，
恒成立，
令 ，解得 ， 舍去 ， ，--------6分
當 時，即 時， 在 單調(diào)性遞增
，滿足題意，
當 時，即 時，
時， ，即 遞減， ，矛盾.
綜上， 在 上恒成立， ，-------------------------8分
證明：由 知令 時， ，
當 時， ，即 ，令 ，
則 ，
. ---12分
22. 解： 根據(jù)題意，橢圓C的方程為 ，
則其參數(shù)方程為 ， 為參數(shù) ;
直線l的極坐標方程為 ，變形可得 ，即 ，
將 ， 代入可得 ，
即直線l的普通方程為 ;------------------------------------------5分
根據(jù)題意， 為橢圓一點，則設 ，
，分析可得，當 時， 取得最大值9. --------10分
23. 解： 當 時，原不等式等價于 ，利用數(shù)軸及絕對值的幾何意義知 ，
即不等式 的解集為 ; 分 ---------------------5分
， ，即 或 ，解得 ，
所以a的取值范圍是 分
23.
有關高二數(shù)學下學期期末試題
一、選擇題(每題5分，共60分)
1. 設復數(shù)z滿足z(1+i)=2，i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的虛部是( )
A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i
2. ，根據(jù)上述規(guī)律，得到 ( )
A. B. C. D.
3. 用反證法證明命題“ 的兩根絕對值都小于1”時，應假設( )
A.方程 的兩根的絕對值存在一個小于1
B.方程 的兩根的絕對值至少有一個大于等于1
C.方程 沒有實數(shù)根
D.方程 的兩根的絕對值存都不小于1
4. 已知命題 ，則命題 ( )
A. B.
C. D.
5.函數(shù)y= ﹣3x+9的零點個數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 下列有關命題的說法正確的是( )
A.命題“若 則 ”的否命題為“若 則 ”
B.“ ”是 “ ”的必要不充分條件
C. 命題若“ ”則“ ”的逆否命題為真
D.命題“ ”的否定是“對
7.曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( )
A. e2 B.2e2 C.e2 D. e2
8.已知拋物線 ，直線 與拋物線 交于 兩點，若 中點 的坐標為 ，則原點 到直線 的距離為( )
A. B. C. D.
9.若y=∫(sin t+cos tsin t)dt，則y的最大值是( )
A.1 B.2 C.-72 D.0
10.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸上的一個頂點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若 =2 ，且| |=4，則雙曲線C的方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( )
A.錯誤!未找到引用源。 B.錯誤!未找到引用源。 C.錯誤!未找到引用源。 D.錯誤!未找到引用源。
12.已知函數(shù)f(x)=x3﹣6x2+9x，g(x)= x3﹣ x2+ax﹣ (a>1)若對任意的x1∈[0，4]，總存在x2∈ [0，4]，使得f(x1)=g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(1， ] B.[9，+∞)
C.(1， ]∪[9，+∞) D.[ ， ]∪[9，+∞)
二、填空題(每題5分，共20分)
13.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為 .
14.已知函數(shù) 為 。
15.已知命題 范圍是 。
16.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ，過 且斜率為 的直線 與雙曲線的兩條漸近線分別交于 兩點，若 ，則雙曲線的離心率為 .
三、解答題(共70分)
17.(本題共12分)
(1)設命題
(2)已知復數(shù)
18.(本題共12分)
19.(本題共12分)
在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O.
(Ⅰ)證明：PC⊥BD
(Ⅱ)若E是PA的中點，且△ABC與平面PAC所成的角的正切值為 ，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值.
20.(本題共12分)
已知橢圓 的左右焦點分別為 ，上頂點為 ，右頂點為 ， 的外接圓半徑為 .
(1)求圓 的標準方程;
(2)設直線 與橢圓 交于 兩點，若以 為直徑的圓經(jīng)過點 ，求 面積的最大值.
21.(本題共12分)
至少存在一點
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
以平面直角坐標系 的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中采取相同的單位長度.曲線 的極坐標方程是 ，直線的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)).
(1)求曲線 的直角坐標方程與直線 的普通方程;
(2)設點 ，若直線 與曲線 交于 兩點，求 的值.
23.已知f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|
(Ⅰ)當a=2，求不等式f(x)<4的解集;
(Ⅱ)若對任意的x，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.
答案
1-5：BCBDC 6-10:CDDBD 11-12:BC
二、填空題(每小題5分，共20分)
13、 14、y=8x-16 15、(0,1) 16、
三、解答題(本大題共6小題，70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
17、(本小題滿分12分)
19、(本小題滿分12分)
證明：(Ⅰ)因為底面是菱形，所以BD⊥AC.(1分) 又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO.(2分)
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC.(3分) 又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，OE是BE在面PAC上的射影， 所以∠OEB是BE與面PAC所成的角.
在Rt△BOE中， ，BO=1，所以 .
在Rt△PEO中， ， ，所以 .
所以 ，又 ， 所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO.
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD.(6分)
如圖，以 建立空間直角坐標系，
，B(0，1，0)， ， ， ， ， .(9分)
設面BEC的法向量為 ，則 ，
即 ，得方程的一組解為 ，
即 .(10分)
又面AEC的一個法向量為 ，(11分)
所以 ，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值為 .(12分)
20、(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ) 右頂點為 ， ，
，
橢圓的標準方程為 .
(Ⅱ)設直線 的方程為 ，
與橢圓聯(lián)立得
.
以 為直徑的圓經(jīng)過點 ，
?、?/p>
，
代入①式得 或 (舍去)，
故直線 過定點 .
，
令 ，
則
在 上單調(diào)遞減，
時， .
請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號.(10分)
22□ 23□
22.解：(Ⅰ)曲線C的直角坐標方程為 ，
直線 的普通方程為 .
(Ⅱ)將直線 的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得 ，
得 ， ， 異號，
23.解：(Ⅰ)當a=2時，不等式f(x)<4，即|x﹣2|+|x﹣1|<4，
可得 ，或 或 ，
解得：﹣
(Ⅱ)∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，當且僅當(x﹣a)(x﹣1)≤0時等號成立，
由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，
即a的取值范圍為(﹣∞，﹣1]∪[3，+∞).
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