考試是檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知識儲備。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題，請認(rèn)真復(fù)習(xí)!

　　高一數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變形綜合檢測題及答案解析

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

　　1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于(　　)

　　A.0　　　 B.12

　　C.32　　　 D.1

　　【解析】　sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°

　　=sin(15°+75°)=sin 90°=1.

　　【答案】　D

　　2.在銳角△ABC中，設(shè)x=sin A•sin B，y=cos A•cos B，則x、y的大小關(guān)系為(　　)

　　A.x≤y B.x>y

　　C.x

　　【解析】　y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，

　　∵C為銳角，∴-cos C<0，

　　∴y-x<0，即x>y.

　　【答案】　B

　　3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2)，則α的取值范圍是(　　)

　　A.(0，π6) B.(π6，π4)

　　C.(π4，π3) D.(π3，π2)

　　【解析】　因?yàn)閟in α+cos α=2sin(α+π4)，當(dāng)0<α<π2時(shí)，此式的取值范圍是(1，2]，而tan α在(0，π4)上小于1，故可排除A，B;在(π3，π2)上sin α+cos α與tan α不可能相等，所以D不正確，故選C.

　　【答案】　C

　　4.在△ABC中，若sin C=2cos Asin B，則此三角形必是(　　)

　　A.等腰三角形 B.正三角形

　　C.直角三角形 D.等腰直角三角形

　　【解析】　sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)，

　　∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.

　　∴sin(A-B)=0，∴A=B，

　　∴△ABC為等腰三角形.

　　【答案】　A

　　5.(2012•陜西高考)設(shè)向量a=(1，cos θ)與b=(-1，2cos θ)垂直，則cos 2θ等于(　　)

　　A.22 B.12

　　C.0 D.-1

　　【解析】　a=(1，cos θ)，b=(-1,2cos θ).

　　∵a⊥b，∴a•b=-1+2cos2θ=0，

　　∴cos2θ=12，∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.

　　【答案】　C

　　6.當(dāng)0<x<π2時(shí)，函數(shù)f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值為(　　)

　　A.2 B.23

　　C.4 D.43

　　【解析】　f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcos x=cot x+4tan x≥24=4.當(dāng)且僅當(dāng)cot x=4tan x，即tan x=12時(shí)取得等號.故選C.

　　【答案】　C

　　7.(2013•江西高考)若sin α2=33，則cos α=(　　)

　　A.-23 B.-13

　　C.13 D.23

　　【解析】　cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

　　【答案】　C

　　8.(2013•重慶高考)4cos 50°-tan 40°=(　　)

　　A.2 B.2+32

　　C.3 D.22-1

　　【解析】　4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°

　　=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°

　　=sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°

　　=sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°

　　=sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°

　　=2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.

　　【答案】　C

　　9.已知f(x)=sin2(x+π4)，若a=f(lg 5)，b=f(lg 15)，則(　　)

　　A.a+b=0 B.a-b=0

　　C.a+b=1 D.a-b=1

　　【解析】　由題意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2，

　　令g(x)=12sin 2x，則g(x)為奇函數(shù)，且f(x)=g(x)+12，a=f(lg 5)=g(lg 5)+12，b=f(lg 15)=g(lg 15)+12，則a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1，故a+b=1.

　　【答案】　C

　　10.對于函數(shù)f(x)=2sin xcos x，下列選項(xiàng)中正確的是(　　)

　　A.f(x)在(π4，π2)上是遞增的

　　B.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

　　C.f(x)的最小正周期為2π

　　D.f(x)的最大值為2

　　【解析】　f(x)=2sin xcos x=sin 2x，

　　∴f(x)為奇函數(shù)，f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

　　【答案】　B

　　二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)

　　11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12，則tan 2α=________.

　　【解析】　由sin α+cos αsin α-cos α=12，等式左邊分子、分母同除cos α得，tan α+1tan α-1=12，解得tan α=-3，則tan 2α=2tan α1-tan2α=34.

　　【答案】　34

　　12.知α，β∈(0，π4)，tan α21-tan2α2=14，且3sin β=sin(2α+β)，則α+β=________.

　　【解析】　由tan α21-tan2α2=14，得tan α=12.由3sin β=sin(2α+β)，得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，化簡得tan(α+β)=2tan α=1.由于α，β∈(0，π4)，故α+β∈(0，π2)，所以α+β=π4.

　　【答案】　π4

　　13.若θ是第二象限角，cos θ2-sin θ2=1-sin θ，則角θ2所在的象限是________.

　　【解析】　∵1-sin θ= sin θ2-cos θ22

　　=|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2，

　　∴sin θ2<cos θ2.

　　∵θ是第二象限角，

　　∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z.

　　則π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.

　　由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角.

　　【答案】　第三象限角

　　14.函數(shù)f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.

　　【解析】　f(x)=1-cos22x-π42

　　=1-cos4x-π22=1-sin 4x2，

　　∴最小正周期T=2π4=π2.

　　【答案】　π2

　　15.(2012•江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos(α+π6)=45，則sin(2α+π12)的值為________.

　　【解析】　∵α為銳角且cos(α+π6)=45，

　　∴sin(α+π6)=35.

　　∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]

　　=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4

　　=2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]

　　=2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.

　　【答案】　17250

　　三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　　16.(本小題滿分12分)(2013•遼寧高考)設(shè)向量a=(3sin x，sin x)，b=(cos x，sin x)，x∈0，π2.

　　(1)若|a|=|b|，求x的值;

　　(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a•b，求f(x)的最大值.

　　【解】　(1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x，

　　|b|2=cos2x+sin2x=1，

　　及|a|=|b|，得4sin2x=1.

　　又x∈0，π2，從而sin x=12，

　　所以x=π6.

　　(2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x

　　=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12，

　　當(dāng)x=π3∈0，π2時(shí)，sin2x-π6取最大值1.

　　所以f(x)的最大值為32.

　　17.(本小題滿分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ，2sin2β=sin 2θ，求證：sin 2α+12cos 2β=0.

　　【證明】　由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ，兩邊平方得

　　2(1+sin 2α)=1+sin 2θ，即

　　sin 2α=12(sin 2θ-1)， ①

　　由2sin2β=sin 2θ得，1-cos 2β=sin 2θ. ②

　　將②代入①得

　　sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得

　　sin 2α=-12cos 2β，

　　即sin 2α+12cos 2β=0.

　　18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期為π.

　　(1)求ω的值;

　　(2)討論f(x)在區(qū)間0，π2上的單調(diào)性.

　　【解】　(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4

　　=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx

　　=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.

　　因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0，

　　從而有2π2ω=π，故ω=1.

　　(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π4)+2.

　　若0≤x≤π2，則π4≤2x+π4≤5π4.

　　當(dāng)π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8時(shí)，f(x)單調(diào)遞增;

　　當(dāng)π2<2x+π4≤5π4，即π8

　　綜上可知，f(x)在區(qū)間0，π8上單調(diào)遞增，在區(qū)間π8，π2上單調(diào)遞減.

　　19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0).

　　(1)求函數(shù)f(x)的值域;

　　(2)若對任意的a∈R，函數(shù)y=f(x)，x∈(a，a+π]的圖像與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定ω的值(不必證明)，并求函數(shù)y=f(x)，x∈R的單調(diào)增區(qū)間.

　　【解】　(1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1

　　=2sin(ωx-π6)-1，

　　∵x∈R，∴f(x)的值域?yàn)閇-3,1].

　　(2)由題意得函數(shù)f(x)的周期為π.

　　∴2πω=π，∴ω=2，

　　∴f(x)=2sin(2x-π6)-1.

　　令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z.

　　得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.

　　∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z.

　　圖1

　　20.(本小題滿分13分)如圖1，以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-35，45).

　　(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;

　　(2)若OP→•OQ→=0，求sin(α+β).

　　【解】　(1)由三角函數(shù)定義得cos α=-35，sin α=45，

　　則原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α

　　=2cos2α=2×(-35)2=1825.

　　(2)∵OP→•OQ→=0，∴α-β=π2.

　　∴β=α-π2.

　　∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35，

　　cos β=cos(α-π2)=sin α=45.

　　∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

　　=45×45+(-35)×35=725.

　　21.(本小題滿分13分)(2012•湖北高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2ωx+23sin ωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈(12，1).

　　(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

　　(2)若y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π4，0)，求函數(shù)f(x)的值域.

　　【解】　(1)因?yàn)閒(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ，

　　由直線x=π是y=f(x)圖像的一條對稱軸，可得sin(2ωπ-π6)=±1，

　　所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z).

　　又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k=1，故ω=56.

　　所以函數(shù)f(x)的最小正周期是6π5.

　　(2)由y=f(x)的圖像過點(diǎn)(π4，0)，得f(π4)=0，

　　即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2，即λ=-2.

　　故f(x)=2sin(53x-π6)-2，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2-2，2-2].
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