高考數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)試題（帶答案）
考試是檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知識儲備。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高考數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)試題，希望對大家有所幫助!
高考數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)試題及答案解析
一、選擇題
1.(2013•宣城月考)下列四個函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)的是( )
A.y=log2x B.y=x
C.y=-12x D.y=1x
D [y=log2x在(0，+∞)上為增函數(shù);
y=x 在(0，+∞)上是增函數(shù);
y=12x在(0，+∞)上是減函數(shù)，
y=-12x在(0，+∞)上是增函數(shù);
y=1x在(0，+∞)上是減函數(shù)，
故y=1x在(0，1)上是減函數(shù).故選D.]
2.若函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在[-2，+∞)上遞增，在(-∞，-2]上遞減，則f(1)=( )
A.-7 B.1
C.17 D.25
D [依題意，知函數(shù)圖象的對稱軸為x=--m8=m8=-2，即 m=-16，從而f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.]
3.(2014•佛山月考)若函數(shù)y=ax與y=-bx在(0，+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.先減后增
B [∵y=ax與y=-bx在(0，+∞)上都是減函數(shù)，
∴a<0，b<0，
∴y=ax2+bx的對稱軸方程x=-b2a<0，
∴y=ax2+bx在(0，+∞)上為減函數(shù).]
4.“函數(shù)f(x)在[a，b]上為單調(diào)函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
A [若函數(shù)f(x)在[a，b]上為單調(diào)遞增(減)函數(shù)，則在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b).所以充分性滿足;反之，不一定成立，如二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3在[0，2]存在最大值和最小值，但該函數(shù)在[0，2]不具有單調(diào)性，所以必要性不滿足，即“函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)”是“函數(shù)f(x)在
[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要條件.]
5.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2-x)=f(x)，且當(dāng)x≥1時，f(x)=ln x，則有 ( )
A.f(13)<f(2)<f(12)
B.f(12)<f(2)<f(13)
C.f(12)<f(13)<f(2)
D.f(2)<f(12)<f(13)
C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x≥1時，f(x)=ln x，可知當(dāng)x≥1時f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x<1時f(x)為減函數(shù)，因為|12-1|<|13-1|<|2-1|，所以f(12)<f(13)<f(2).故選C.]
6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x<0時，f(x)>0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有( )
A.最小值f(a) B.最大值f(b)
C.最小值f(b) D.最大值fa+b2
C [∵f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(0)=0，令y=-x，則有f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函數(shù).
設(shè)x1<x2，則x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.
∴f(x)在R上是減函數(shù).
∴f(x)在[a，b]有最小值f(b).]
7.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2-x)=f(x)，且當(dāng)x≥1時，f(x)=ln x，則有( )
A.f13<f(2)<f12
B.f12<f(2)<f13
C.f12<f13<f(2)
D.f(2)<f12<f13
C [由f(2-x)=f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x≥1時，f(x)=ln x，可知當(dāng)x≥1時f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x<1時f(x)為減函數(shù)，因為12-1<13-1<|2-1|，所以f12<f13<f(2).]
8.(2014•黃岡模擬)已知函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為M，最小值為m，則mM的值為( )
A.14 B.12
C.22 D.32
C [顯然函數(shù)的定義域是[-3，1]且y≥0，故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4，根據(jù)根式內(nèi)的二次函數(shù)，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m=2，M=22，所以mM=22.]
二、填空題
9.函數(shù)y=-(x-3)|x|的遞增區(qū)間是________.
解析 y=-(x-3)|x|
=-x2+3x，x>0，x2-3x，x≤0.
作出該函數(shù)的圖象，
觀察圖象知遞增區(qū)間為0，32.
答案 0，32
10.若f(x)=ax+1x+2在區(qū)間(-2，+∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________.
解析 設(shè)x1>x2>-2，則f(x1)>f(x2)，
而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2
=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)
=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0，
則2a-1>0.得a>12.
答案 12，+∞
三、解答題
11.已知f(x)=xx-a(x≠a).
(1)若a=-2，試證f(x)在(-∞，-2)內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.
解析 (1)證明：設(shè)x1<x2<-2，
則f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).
∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)設(shè)1<x1<x2，則
f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).
∵a>0，x2-x1>0，
∴要使f(x1)-f(x2)>0，
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，
∴a≤1.
綜上所述，a的取值范圍為(0，1].
12.已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a，b∈[-1，1]，
a+b≠0時，有f(a)+f(b)a+b>0成立.
(1)判斷f(x)在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明;
(2)解不等式：f(x+12)
(3)若f(x)≤m2-2am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)任取x1，x2∈[-1，1]，且x1
則-x2∈[-1，1]，
∵f(x)為奇函數(shù)，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2)，
由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0，x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)
∴f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增.
(2)∵f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.
解得-32≤x<-1.
(3)∵f(1)=1，f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增.
∴在[-1，1]上，f(x)≤1.
問題轉(zhuǎn)化為m2-2am+1≥1，
即m2-2am≥0，對a∈[-1，1]成立.
設(shè)g(a)=-2m•a+m2≥0.
①若m=0，則g(a)=0≥0，對a∈[-1，1]恒成立.
?、谌鬽≠0，則g(a)為a的一次函數(shù)，若g(a)≥0，對a∈[-1，1]恒成立，必須g(-1)≥0且g(1)≥0，
∴m≤-2，或m≥2.
∴m的取值范圍是m=0或m≥2或m≤-2.
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