文科數(shù)學(xué)概率高考題（含答案）
文科數(shù)學(xué)概率高考題（含答案）
概率是歷年高考數(shù)學(xué)文科考試經(jīng)常出現(xiàn)的題型。為了幫助考生掌握數(shù)學(xué)中概率知識點，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的數(shù)學(xué)概率高考題，希望對大家有所幫助!
文科數(shù)學(xué)概率高考題（一）
1.[2014•新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________.
1.13
2.[2014•全國新課標(biāo)卷Ⅰ] 將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________.
2.23
3.[2014•浙江卷] 在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________.
3.13
4.[2014•陜西卷] 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：
賠付金額(元) 0 1000 2000 3000 4000
車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120
(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率;
(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.
4.解：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得
P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12.
由于投保金額為2800元，所以賠付金額大于投保金額的概率為
P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，得樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120=24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為24100=0.24.由頻率估計概率得P(C)=0.24.
5.、[2014•四川卷] 一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.
5.解：(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為：
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種.
設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A，
則事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種，
所以P(A)=327=19.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19.
(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，
則事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為89.
K2 古典概型
6.[2014•福建卷] 根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家;人均GDP為1035～4085美元為中等偏下收入國家;人均GDP為4085～12 616美元為中等偏上收入國家;人均GDP不低于12 616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：
行政區(qū) 區(qū)人口占城市人口比例 區(qū)人均GDP(單位：美元)
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10 000
(1)判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn);
(2)現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率.
6.解：(1)設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為
8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20aa=
6400(美元).
因為6400∈[4085，12 616)，
所以該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn).
(2)“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10個.
設(shè)事件M為“抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)”，
則事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3個.
所以所求概率為P(M)=310.
7.[2014•廣東卷] 從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母，則取到字母a的概率為________.
7.25
8.[2014•湖北卷] 隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則( )
A.p1
C.p1
8.C
9.[2014•湖南卷] 某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：
(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).
其中a，a分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b，b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.
(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平.
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.
9.解：(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?/p>
1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
其平均數(shù)為x甲=1015=23，
方差為s2甲=1151-232×10+0-232×5=29.
乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?/p>
1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，
其平均數(shù)為x乙=915=35，
方差為s2乙=1151-352×9+0-352×6=625.
因為x甲>x乙，s2甲
(2)記E={恰有一組研發(fā)成功}.
在所抽得的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，
共7個，故事件E發(fā)生的頻率為715.
將頻率視為概率，即得所求概率為P(E)=715.
文科數(shù)學(xué)概率高考題（二）
10.[2014•江蘇卷] 從1，2，3，6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是________.
10.13
11.[2014•江西卷] 擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于( )
A.118 B.19 C.16 D.112
11.B
12.[2014•江西卷] 將連續(xù)正整數(shù)1，2，…，n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123…n，F(xiàn)(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n=12時，此數(shù)為123456789101112，共有15個數(shù)字，F(xiàn)(12)=15)，現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，p(n)為恰好取到0的概率.
(1)求p(100);
(2)當(dāng)n≤2014時，求F(n)的表達式;
(3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，f(n)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，h(n)=f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N*}，求當(dāng)n∈S時p(n)的最大值.
12.解：(1)當(dāng)n=100時，這個數(shù)中總共有192個數(shù)字，其中數(shù)字0的個數(shù)為11，所以恰好取到0的概率為p(100)=11192.
(2)F(n)=n，1≤n≤9，2n-9，10≤n≤99，3n-108，100≤n≤999，4n-1107，1000≤n≤2014.
(3)當(dāng)n=b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)=0;
當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)時，g(n)=k;
當(dāng)n=100時，g(n)=11，即g(n)=
0，1≤n≤9，k，n=10k+b，11，n=100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)=
0，1≤n≤8，k，n=10k+b-1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n-80，89≤n≤98，20，n=99，100.
由h(n)=f(n)-g(n)=1，可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以當(dāng)n≤100時，S={9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}.
當(dāng)n=9時，p(9)=0.
當(dāng)n=90時，p(90)=g(90)F(90)=9171=119.
當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)時，p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9，由y=k20k+9關(guān)于k單調(diào)遞增，故當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)時，p(n)的最大值為p(89)=8169.
又8169<119，所以當(dāng)n∈S時，p(n)的最大值為119.
13.[2014•遼寧卷] 某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：
喜歡甜品 不喜歡甜品 合計
南方學(xué)生 60 20 80
北方學(xué)生 10 10 20
合計 70 30 100
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率.
附：χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2，
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
13.解：(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得
χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.
(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω={(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，
其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生，i=1，2，bj表示不喜歡甜品的學(xué)生，j=1，2，3.
Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A={(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}.
事件A由7個基本事件組成，因而P(A)=710.
14.[2014•山東卷] 海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.
地區(qū) A B C
數(shù)量 50 150 100
(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.
14.解：(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是
650+150+100=150，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是：50×150=1，150×150=3，100×150=2.
所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.
(2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A;B1，B2，B3;C1，C2.則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個.
每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，
則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個.
所以P(D)=415，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為415.
15.[2014•陜西卷] 從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為( )
A.15 B.25 C.35 D.45
15.B
16.[2014•四川卷] 一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.
16.解：(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為：
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種.
設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A，
則事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種，
所以P(A)=327=19.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為19.
(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，
則事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為89.
17.[2014•天津卷] 某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：
一年級 二年級 三年級
男同學(xué) A B C
女同學(xué) X Y Z
現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率.
17.解：(1)從6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種.
(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種.
因此，事件M發(fā)生的概率P(M)=615=25.
18.[2014•重慶卷] 20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖13所示.
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50，60)與[60，70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50，70)的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績都在[60，70)中的概率.
18.解：(1)據(jù)直方圖知組距為10，由
(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，
解得a=1200=0.005.
(2)成績落在[50，60)中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20=2.
成績落在[60，70)中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10×20=3.
(3)記成績落在[50，60)中的2人為A1，A2，成績落在[60，70)中的3人為B1，B2，B3，則從成績在[50，70)的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
其中2人的成績都在[60，70)中的基本事件有3個，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
故所求概率為P=310.
文科數(shù)學(xué)概率高考題（三）
19.[2014•福建卷] 如圖15所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________.
19.18
20.[2014•湖南卷] 在區(qū)間[-2，3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為( )
A.45 B.35
C.25 D.15
20.B
21.[2014•遼寧卷] 若將一個質(zhì)點隨機投入如圖11所示的長方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是( )
A.π2 B.π4
C.π6 D.π8
21.B
22.[2014•重慶卷] 某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________.(用數(shù)字作答)
22.932
K4 互斥事件有一個發(fā)生的概率
K5 相互對立事件同時發(fā)生的概率
23.[2014•全國卷] 設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨立.
(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;
(2)實驗室計劃購買k臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
23.解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0，1，2.
B表示事件：甲需使用設(shè)備.
C表示事件：丁需使用設(shè)備.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.
E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備.
F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.
(1)因為P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，
所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.
(2)由(1)知，若k=2，則P(F)=0.31>0.1，
P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.
若k=3，則P(F)=0.06<0.1，
所以k的最小值為3.
K6 離散型隨機變量及其分布列
24.[2014•江蘇卷] 盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同.
(1)從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P;
(2)從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).
24.解：(1)取到的2個顏色相同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球，所以P=C24+C23+C22C29=6+3+136=518.
(2)隨機變量X所有可能的取值為2，3，4.
{X=4}表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球”，故P(X=4)=C44C49=1126;
{X=3}表示的隨機事件是“取到的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球，或3個黃球和1個其他顏色的球”，故P(X=3)=C34C15+C33C16C49=20+6126=1363;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.
所以隨機變量X的概率分布如下表：
X 2 3 4
P 1114
1363
1126
因此隨機變量X的數(shù)學(xué)期望
E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209.
K7 條件概率與事件的獨立性
K8 離散型隨機變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布
25.[2014•全國卷] 設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨立.
(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;
(2)實驗室計劃購買k臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
25.解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0，1，2.
B表示事件：甲需使用設(shè)備.
C表示事件：丁需使用設(shè)備.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.
E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備.
F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.
(1)因為P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=Ci2×0.52，i=0，1，2，
所以P(D)=P(A1•B•C+A2•B+A2•B•C)=P(A1•B•C)+P(A2•B)+P(A2•B•C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.
(2)由(1)知，若k=2，則P(F)=0.31>0.1，
P(E)=P(B•C•A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.
若k=3，則P(F)=0.06<0.1，
所以k的最小值為3.
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