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2017年高考數(shù)學(xué)對數(shù)函數(shù)必考知識點

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  高考數(shù)學(xué)必考知識點:對數(shù)定義

  如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN。其中,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。

  注:1、以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并記為lg。

  2、稱以無理數(shù)e(e=2.71828...)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并記為ln。

  3、零沒有對數(shù)。

  4、在實數(shù)范圍內(nèi),負數(shù)無對數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),負數(shù)是有對數(shù)的。

  高考數(shù)學(xué)必考知識點:對數(shù)公式

  高考數(shù)學(xué)必考知識點:對數(shù)函數(shù)定義

  一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),也就是說以冪(真數(shù))為自變量,指數(shù)為因變量,底數(shù)為常量的函數(shù),叫對數(shù)函數(shù)。

  其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞)。它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

  高考數(shù)學(xué)必考知識點:對數(shù)函數(shù)性質(zhì)

  定義域求解:對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是{x丨x>0},但如果遇到對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解,除了要注意大于0以外,還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1,如求函數(shù)y=logx(2x-1)的定義域,需同時滿足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}

  值域:實數(shù)集R,顯然對數(shù)函數(shù)無界。

  定點:函數(shù)圖像恒過定點(1,0)。

  單調(diào)性:a>1時,在定義域上為單調(diào)增函數(shù);

  奇偶性:非奇非偶函數(shù)

  周期性:不是周期函數(shù)

  對稱性:無

  最值:無

  零點:x=1

  注意:負數(shù)和0沒有對數(shù)。

  兩句經(jīng)典話:底真同對數(shù)正,底真異對數(shù)負。解釋如下:

  也就是說:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

  當(dāng)a>1,b>1時,y=logab>0;

  當(dāng)01時,y=logab<0;

  當(dāng)a>1,0

  對數(shù)的基本性質(zhì)及推導(dǎo)過程

  基本性質(zhì):

  1、a^(log(a)(b))=b

  2、log(a)(a^b)=b

  3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

  4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

  5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

  推導(dǎo)

  1、因為n=log(a)(b),代入則a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。

  2、因為a^b=a^b

  令t=a^b

  所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

  3、MN=M×N

  由基本性質(zhì)1(換掉M和N)

  a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

  由指數(shù)的性質(zhì)

  a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

  兩種方法只是性質(zhì)不同,采用方法依實際情況而定

  又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以

  log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

  4、與(3)類似處理

  MN=M÷N

  由基本性質(zhì)1(換掉M和N)

  a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

  由指數(shù)的性質(zhì)

  a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

  又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以

  log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

  5、與(3)類似處理

  M^n=M^n

  由基本性質(zhì)1(換掉M)

  a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

  由指數(shù)的性質(zhì)

  a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

  又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以

  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  基本性質(zhì)4推廣

  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

  推導(dǎo)如下:

  由換底公式(換底公式見下面)[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數(shù)的底]

  log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  換底公式的推導(dǎo):

  設(shè)e^x=b^m,e^y=a^n

  則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

  x=ln(b^m),y=ln(a^n)

  得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  由基本性質(zhì)4可得

  log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

  再由換底公式

  log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

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