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2017年高考數(shù)學(xué)平面向量必考知識(shí)點(diǎn)

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2017年高考數(shù)學(xué)平面向量必考知識(shí)點(diǎn)

  平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量,物理學(xué)中也稱作矢量,與之相對(duì)的是只有大小、沒(méi)有方向的數(shù)量。以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于2017年高考數(shù)學(xué)平面向量必考知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)資料,希望對(duì)您有所幫助。

  高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量概念:

  (1)向量:既有大小又有方向的量。向量不能比較大小,但向量的??梢员容^大小。

  (2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量,記為0,其方向是任意的,0與任意向量平行。

  (3)單位向量:模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量

  (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量

  (5)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

  高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量數(shù)量積解析

  1、平面向量數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a·b。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是:a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

  兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1·x2+y1·y2

  2、平面向量數(shù)量積具有以下性質(zhì):

  1、a·a=|a|2≥0

  2、a·b=b·a

  3、k(a·b)=(ka)b=a(kb)

  4、a·(b+c)=a·b+a·c

  5、a·b=0<=>a⊥b

  6、a=kb<=>a//b

  7、e1·e2=|e1||e2|cosθ

  高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量加法解析

  已知向量AB、BC,再作向量AC,則向量AC叫做AB、BC的和,記作AB+BC,即有:AB+BC=AC。

  注:向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律,如:交換律、結(jié)合律。

  高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)平面向量減法解析

  1、AB-AC=CB,這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則,簡(jiǎn)記為:共起點(diǎn)、指被減。

  -(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

  平面向量公式匯總

  1、定比分點(diǎn)

  定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ?向量PP2)

  設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn),P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

  我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

  2、三點(diǎn)共線定理

  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

  三角形重心判斷式

  在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

  [編輯本段]向量共線的重要條件

  若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb。

  a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

  [編輯本段]向量垂直的充要條件

  a⊥b的充要條件是 a?b=0。

  a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.

  設(shè)a=(x,y),b=(x',y')。

  3、向量的加法

  向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x',y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的運(yùn)算律:

  交換律:a+b=b+a;

  結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  4、向量的減法

  如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0

  AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn),指向被減”

  a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

  5、數(shù)乘向量

  實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

  當(dāng)λ>0時(shí),λa與a同方向;

  當(dāng)λ<0時(shí),λa與a反方向;

  當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意。

  當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ,都有λa=0。

  注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

  實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

  當(dāng)∣λ∣>1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍;

  當(dāng)∣λ∣<1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。

  數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

  結(jié)合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

  向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

  數(shù)乘向量的消去律:① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

  6、向量的的數(shù)量積

  定義:已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

  定義:兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量,記作a?b。若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示:a?b=x?x'+y?y'。

  向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

  a?b=b?a(交換律);

  (λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

  向量的數(shù)量積的性質(zhì)

  a?a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a?b=0。

  |a?b|≤|a|?|b|。

  7、向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

  (1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。

  (2)向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。

  (3)|a?b|≠|a|?|b|

  (4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

  8、向量的向量積

  定義:兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線,則a×b=0。

  (1)向量的向量積性質(zhì):

  ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  (2)向量的向量積運(yùn)算律

  a×b=-b×a;

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

  (a+b)×c=a×c+b×c.

  注:向量沒(méi)有除法,“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。

  (3)向量的三角形不等式

  ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

  ① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí),左邊取等號(hào);

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí),右邊取等號(hào)。

  ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí),左邊取等號(hào);

  ② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí),右邊取等號(hào)。

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