2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)試題解析版
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A=，B=，則
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
2.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)
【答案】B
【解析】
試題分析：刻畫(huà)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差，故選B
【考點(diǎn)】樣本特征數(shù)
【名師點(diǎn)睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平; 中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，(起到分水嶺的作用)中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平; 平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平;
方差：方差是和中心偏離的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小)并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定.
標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度.
3.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】C
4.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為，選B.
【考點(diǎn)】幾何概型
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題能否用幾何概型的概率公式計(jì)算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問(wèn)題幾何化，也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將實(shí)驗(yàn)的每一結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量的區(qū)域;另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置、形狀無(wú)關(guān).
5.已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則△APF的面積為
A. B. C. D.
【答案】D
6.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析：由B，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由C，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由D，AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ.故A不滿足，選A.
【考點(diǎn)】空間位置關(guān)系判斷
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.
7.設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
8.函數(shù)的部分圖像大致為
A. B.
C. D.
【答案】C
9.已知函數(shù)，則
A.在(0，2)單調(diào)遞增 B.在單調(diào)遞減
C.y=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.y=的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱
【答案】C
【解析】
試題分析：由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確，D錯(cuò)誤;又()，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤，故選C.
【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸;如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心.
10.如圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
11.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，a=2，c=，則C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意得
，
即，所以.
由正弦定理得，即，得，故選B.
【考點(diǎn)】解三角形
【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.
12.設(shè)A、B是橢圓C：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量a=(–1，2)，b=(m，1).若向量a+b與a垂直，則m=________.
【答案】7
【解析】
試題分析：由題得，因?yàn)?，所以，解?/p>
【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ，垂直向量
【名師點(diǎn)睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，則ab的充要條件是x1x2+y1y2=0.
14.曲線在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為_(kāi)_____________.
【答案】
15.已知，tan α=2，則=__________.
【答案】
【解析】
試題分析：由得
又
所以
因?yàn)?/p>
所以
因?yàn)?/p>
所以
【考點(diǎn)】三角函數(shù)求值
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類(lèi)型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
?、僖话憧梢赃m當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;
?、谧儞Q待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.
(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.
16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______.
【答案】
形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn))，這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題：60分.
17.(12分)
記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列.
【答案】(1);(2)，證明見(jiàn)解析.
解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.
18.(12分)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.
(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析; (2).
19.(12分)
為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，.
(1)求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).
(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?
(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)
附：樣本的相關(guān)系數(shù)，.
【答案】(1)，可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值分別為10.02，0.09.
(ii)剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.
，
剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，
這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為.
【考點(diǎn)】相關(guān)系數(shù)，方差均值計(jì)算
【名師點(diǎn)睛】解答新穎的數(shù)學(xué)題時(shí)，一是通過(guò)轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”;二是通過(guò)深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn).
20.(12分)
設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.
【答案】(1)1; (2).
【解析】
21.(12分)
已知函數(shù)=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若，求a的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)，在單調(diào)遞增;當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增;當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增;(2).
【解析】
試題分析：(1)分，，分別討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)分，，分別解，從而確定a的取值范圍.
試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>
?、偃?，則，在單調(diào)遞增.
②若，則由得.
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
?、廴?，則由得.
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為
.
(1)若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求.
【答案】(1)，;(2)或.
(2)直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為
.
當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以;
當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.
綜上，或.
【考點(diǎn)】參數(shù)方程
【名師點(diǎn)睛】本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表達(dá)橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，利用三角有界性確認(rèn)最值，進(jìn)而求得參數(shù)的值.
23.[選修4—5：不等式選講](10分)
已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
(2)圖像法：作出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像求解.
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