雅安中學(xué)2018屆高三月考文理科數(shù)學(xué)試卷
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雅安中學(xué)2018屆高三月考理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在上為增函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
2.設(shè),則“”是“”的( )條件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,則 ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
4.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
5.已知,則( )
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)的最小正周期為,若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的解析式為( )
A. B.
C. D.
7.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù),若, , ,則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
8.已知, ,那么“”是“ ”的( )
. 充分不必要條件 . 必要不充分條件
. 充要條件 . 既不充分也不必要條件
9.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若為偶函數(shù),且在上存在極大值,則的圖象可能為( )
A. B. C. D.
10.定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí), ,則下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知(, , )是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且當(dāng)時(shí), 取得最小值,當(dāng)取最小正數(shù)時(shí), 的值為( )
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí), ,若在區(qū)間上,方程只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
13.已知,則__________.
14.________________。
15.已知,在函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)中,距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,則值為_(kāi)_________
16.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為,對(duì)有,且在上有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
17.設(shè)命題:實(shí)數(shù)滿足,其中;命題:實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.已知函數(shù),
(I)求的最大值和對(duì)稱中心坐標(biāo);
(Ⅱ)討論在上的單調(diào)性。
19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1) 求函數(shù)的解析式;
(2) 如何由函數(shù)的通過(guò)適當(dāng)圖象的變換得到函數(shù)的圖象, 寫(xiě)出變換過(guò)程;
(3) 若,求的值.
20.設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求的極小值;
(Ⅱ)若對(duì)任意正實(shí)數(shù)、(),不等式恒成立,求的取值范圍.
.
(I)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求a的值;
(II)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(III)不等式在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有,且當(dāng)時(shí),,又.
(1)判斷的奇偶性;
(2)求證:是R上的減函數(shù);
(3)求在區(qū)間[-3,3]上的值域;
(4)若∀xR,不等式恒成立,求的取值范圍.
1.C
【解析】A中函數(shù)是奇函數(shù),但是在單調(diào)遞減,不符。B是偶函數(shù)。D是非奇非偶函數(shù)。C中是奇函數(shù),且在上為增函數(shù)。選C.
2.A
【解析】由“|x+1|<1”得-2
由x2+x﹣2<0得-2
即“”是“”的充分不必要條件,
故選:A.
3.A
【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,∴,
故選:A
4.D
【解析】利用排除法逐一考查所給的選項(xiàng):
A中,當(dāng)時(shí)等式不成立;
B中,當(dāng)時(shí)等式不成立;
C中,當(dāng)時(shí)等式不成立;
本題選擇D選項(xiàng).
5.C
【解析】由中, ,得到,由中,得到,即,則,故選C.
6.C
【解析】由函數(shù)的最小正周期為可知: ,即,
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,可得: ,
故選:C
7.C
【解析】由題意: ,
且: ,
據(jù)此: ,
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有: ,
即.
本題選擇C選項(xiàng).
【考點(diǎn)】 指數(shù)、對(duì)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性
【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見(jiàn)題,指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小,特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小,還可以解不等式.
8.B
【解析】 ∵
,解得
故是“ ”的必要不充分條件
故選B.
9.C
【解析】根據(jù)題意,若f(x)為偶函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)f′(x)為奇函數(shù),
結(jié)合函數(shù)圖象可以排除B. D,
又由函數(shù)f(x)在(0,1)上存在極大值,則其導(dǎo)數(shù)圖象在(0,1)上存在零點(diǎn),且零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為正,右側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為負(fù),
結(jié)合選項(xiàng)可以排除A,
只有C選項(xiàng)符合題意;
本題選擇C選項(xiàng).
10.
【解析】函數(shù)的周期為, 當(dāng)時(shí), 時(shí), ,故函數(shù)在上是增函數(shù), 時(shí), ,故函數(shù)在上是減函數(shù),且關(guān)于 軸對(duì)稱,又定義在上的滿足,故函數(shù)的周期是,所以函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),且關(guān)于 軸對(duì)稱,觀察四個(gè)選項(xiàng)選項(xiàng)中 ,,故選.
11.B
【解析】(, , )是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),
, ,.則, 當(dāng)時(shí), 取得最小值,
故, ,, ,取最小正數(shù)為,此時(shí): ,
∴函數(shù)的最小正周期為12,且, ,
又,。
故選:B.
點(diǎn)睛: 為奇函數(shù)等價(jià)于, 為偶函數(shù)等價(jià)于, 為偶函數(shù)等價(jià)于, ; 為奇函數(shù)等價(jià)于, .
12.B
【解析】
當(dāng)時(shí),則,故,所以 ,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖像和函數(shù)的圖像如圖,結(jié)合圖像可知:當(dāng),即時(shí),兩函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),兩函數(shù)的圖像也只有一個(gè)交點(diǎn),故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是,應(yīng)選答案B
13.-3
【解析】
14.
【解析】.
15.
【解析】由題意,令, ,則,所以, ,即,當(dāng), ;當(dāng), ,如圖所示,由勾股定理得,解得.
16.
【解析】令,所以,則為奇函數(shù) . 時(shí),,由導(dǎo)函數(shù)存在及對(duì)稱性知:在上遞減 .
, ,解得:.則實(shí)數(shù)的取值范圍是
17.(1) (2)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)因式分解求命題p為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍,解分式不等式得為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍,再求兩者交集得為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍(2)由逆否命題與原命題等價(jià)得是的充分不必要條件,即是的一個(gè)真子集,結(jié)合數(shù)軸得實(shí)數(shù)的取值條件,解得取值范圍
試題解析:解:(1)由得,
又,所以,
當(dāng)時(shí), ,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
為真時(shí)等價(jià)于,得,
即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
若為真,則真且真,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)是的充分不必要條件,即,且,等價(jià)于,且,
設(shè), ,則;
則,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
點(diǎn)睛:充分、必要條件的三種判斷方法.
1.定義法:直接判斷“若則”、“若則”的真假.并注意和圖示相結(jié)合,例如“⇒ ”為真,則是的充分條件.
2.等價(jià)法:利用⇒ 與非⇒非, ⇒ 與非⇒非, ⇔ 與非⇔非的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法.
3.集合法:若⊆ ,則是的充分條件或是的必要條件;若=,則是的充要條件.
18.(Ⅰ) 最大值為,對(duì)稱中心為: ;(Ⅱ) 遞增區(qū)間: 和;遞減區(qū)間: .
【解析】試題分析:(1)由正弦的倍角公式和降冪公式,f(x)可化簡(jiǎn)為,可知最大值為2,對(duì)稱中心由,解得x可求。(2)先求得f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間,再與做交,即可求得單調(diào)性。
試題解析:() ,所以最大值為,由,解得x=,r所以對(duì)稱中心為: ;
()先求f(x)的單調(diào)增區(qū)間,由,解得,在上的增區(qū)間有和。
同理可求得f(x)的單調(diào)減區(qū)間,,在上的減速區(qū)間有.
遞增區(qū)間: 和;遞減區(qū)間: .
19.(1)(2)見(jiàn)解析(3)
【解析】試題分析:(1)直接由函數(shù)圖象求得和周期,再由周期公式求得ω,由五點(diǎn)作圖的第三點(diǎn)求;
(2)由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案;
(3)由求出,然后把轉(zhuǎn)化為余弦利用倍角公式得答案.
試題解析:
解:(1).
(2)法1:先將的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,所得圖象即為的圖象.
法2:先將的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,再將所得圖象向左平移個(gè)單位,,所得圖象即為的圖象.
(3)由,
得: ,
而.
點(diǎn)睛:圖象變換
(1)振幅變換
(2)周期變換
(3)相位變換
(4)復(fù)合變換
20.(Ⅰ) 取極小值為;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),可知為上為減函數(shù).
所以對(duì)任意恒成立,可求 的取值范圍.
試題解析;(Ⅰ)時(shí), ,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故當(dāng)時(shí), 取極小值為。
(Ⅱ)不妨設(shè),則有,即,
構(gòu)造函數(shù),所以,所以為上為減函數(shù).
所以對(duì)任意恒成立
即.
(II)當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增(III).
【解析】
試題分析:(I)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進(jìn)行求解;(II)求導(dǎo),討論二次方程的根的個(gè)數(shù)、根的大小關(guān)系,進(jìn)而判定其單調(diào)性;(III)分離常數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的求值問(wèn)題.
試題解析:(I)函數(shù)定義域?yàn)?, 1分
,由題意,解得. 4分
(II),
令,,
(i)當(dāng)時(shí),,,,函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增;
(ii)當(dāng)時(shí),,,函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增;
(iii)當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
(iv)當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
法二:(i)當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增;
,令,,
(ii)當(dāng)時(shí),,,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增;
(iii)當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
法三:因?yàn)閤>0,.
(i)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;
(ii)當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減;在區(qū)間上,,函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分
綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減;在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分
(III)不等式在區(qū)間上恒成立等價(jià)于. 10分
令,
,
在區(qū)間上,,函數(shù)g(x)為減函數(shù);
在區(qū)間上,,函數(shù)g(x)為增函數(shù); 12分
得,
所以實(shí)數(shù)的范圍是.
22.(1)奇函數(shù)
(3)[-6,6]
(,+∞)
解:(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),f(0)=0.
取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),
f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR恒成立,f(x)為奇函數(shù).
(2)證明: 任取x1,x2(-∞,+∞),且x10,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
f(x2)<-f(-x1),又f(x)為奇函數(shù),
f(x1)>f(x2).
f(x)是R上的減函數(shù).
(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù),
對(duì)任意x[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6,
f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域?yàn)閇-6,6].
(4)f(x)為奇函數(shù),整理原式得f(ax2)+f(-2x)x-2,
當(dāng)a=0時(shí),-2x>x-2在R上不是恒成立,與題意矛盾;
當(dāng)a>0時(shí),ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,則Δ=9-8a<0,即a>;
當(dāng)a<0時(shí),ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合題意.
綜上所述,a的取值范圍為(,+∞).
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