湖南師大附中2018屆高三文理科數(shù)學(xué)試卷(2)
湖南師大附中2018屆高三文科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共12小題每小題5分共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)全集U===則=()
A. B. C. D.
(2)復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)(2-)互為共軛復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)則z=()
A.1-2+2-1+2-1-2(3)齊王與田忌賽馬田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬劣于齊王的上等馬田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬劣于齊王的中等馬田忌的下等馬劣于齊王的下等馬現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽則田(A)
A. B. C. D.
(4)在△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c已知a=3==則角B等于()
A. B. C. 或以上都不對(duì)(5)為得到函數(shù)y=的圖象只需將函數(shù)y=的圖象()
A.向右平移個(gè)單位 .向左平移個(gè)單位 向右平移個(gè)單位 .向左平移個(gè)單位(6)設(shè)a=7-=-=，則下列關(guān)系中正確的是()
A.c7-=所以c6.
(9)如圖已知正三棱柱ABC-A的各條棱長(zhǎng)都相等則異面直線AB和A所成的角的余弦值大小為()
A. B.- D.-
【解析】延長(zhǎng)BA到D使得AD=AC則ADA為平行四邊形就是異面直線AB和A所成的角又△ABC為等邊三角形設(shè)AB=AA=1=120則CD====A=在△A中==.故選(其它的平移方法均可)(10)如圖所示網(wǎng)格紙上每個(gè)小格都是邊長(zhǎng)為1的正方形粗線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖則該幾何體的表面積為()
A.+2+ .+2+ .+4+ .++【解析】由三視圖可知該幾何體是三棱錐P-ABC其中側(cè)面PAB⊥底面ABC在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)P作垂足為D連接CD該幾何體的表面積是=×1×2×2+×(2)+×2×=2+2+.(11)已知雙曲線-=1(a>0)與拋物線y=2px(p>0)有相同的焦點(diǎn)F且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M(-3)，|MF|=則雙曲線的離心率為()
A. B. C. D.
【解析】依題意有-=-3=6又|MF|==t+6=±(-3)=-=且a+b=c=.故選(12)設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間若存在x使f(x)=-x則稱x是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn)若函數(shù)f(x)=ax-2x-2a-在區(qū)間上存在次不動(dòng)點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(-∞) B. C. D.
【解析】由題意存x∈，使g(x)=f(x)+x=ax-x-2a-=0解得a=設(shè)(x)=則由h′(x)==0得x=-1(舍去)或x=-2且h(x)在(-3-2)上遞減在上遞增又h(-3)=-(-2)=-=0所以h(x)在x∈的值域?yàn)榧碼的取值范圍是第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)～(21)題為必考題每個(gè)試題考生都必須作答.第(22)～(23)題為選考題考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題每小題5分.(13)已知向量a=(-1)，向量b=(3)，若b∥(a+b)則t=__-3__.(14)若=則=__-__.【解析】∵==-=-=-.(15)點(diǎn)P(a)到直線4x-3y+1=0的距離等于4且在2x+y-3<0表示的平面區(qū)域內(nèi)則a的值為__-3__【解析】由題意解得a=-3. (16)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P且被圓+=25截得的弦長(zhǎng)為8則直線l的方程是__x+4=0或4x+3y+25=0__【解析】圓心半徑r=5弦長(zhǎng)為m=8設(shè)弦心距是d則由勾股定理得rd2+得d=3若直線l斜率不存在則直線l的方程為x+4=0此時(shí)圓心到l的距離是3符合題意;若直線l斜率存在則設(shè)直線l的方程為y+3=(x+4)即kx-y+4k-3=0所以圓心到l的距離是d==3解得=-此時(shí)直l的方程是4x+3y+25=0.綜上直線l的方程是x+4=0或4x+3y+25=0.所以答案應(yīng)填：x+4=0或4x+3y+25=0.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)數(shù)列的前n項(xiàng)和記為S=1+1=2S+1.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求S【解析】(Ⅰ)由a+1=2S+1可得a=2S-1+12分兩式相減得a+1-a=2a+1=3a4分又a2S1+1=3=3a6分故{a是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列=3-18分(Ⅱ) Sn==-.12分(18)(本小題滿分12分)某校高三(1)班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損可見部分如下圖.
(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在[50)的頻率及全班人數(shù);(Ⅱ)求分?jǐn)?shù)在[80)之間的頻數(shù)并計(jì)算頻率分布直方圖中[80)間矩形的高;(Ⅲ)若要從分?jǐn)?shù)在[80)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況求在抽取的試卷中至少有一份分?jǐn)?shù)在[90)之間的概率.【解析】(Ⅰ)分?jǐn)?shù)在[50)的頻率為0.008×10=0.082分由莖葉圖知：分?jǐn)?shù)在[50)之間的頻數(shù)為2=25.4分(Ⅱ)分?jǐn)?shù)在[80)之間的頻數(shù)為25-22=3;頻率分布直方圖中[80)間的矩形的高為÷10=0.012.7分(Ⅲ)將[80)之間的3個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為a[90，100)之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為b8分在[80)之間的試卷中任取兩份的基本事件為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10個(gè)10分其中至少有一個(gè)在[90)之間的基本事件有7個(gè)故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90)之間的概率是=0.7.12分
(19)(本小題12分)如圖在三棱錐A-BCD中=DC=2=CB=4平面ADC⊥平面ABC為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：BC⊥平面ADC;(Ⅱ)求點(diǎn)A到平面DMC的距離.【解析】(Ⅰ)∵AD=DC=2且AD⊥DC=CB=2又AB=4滿足AC+BC=AB4分 平面ABC⊥平面ADC?平面ABC平面ABC∩平面ADC=ACBC⊥平面ADC.6分
(Ⅱ)取AC中點(diǎn)N連接MN在中且DN=又平面ABC⊥平面ADC平面ABC.在△ABC中且MN=BC=由(Ⅰ)知BC⊥平面ADC則MN⊥平面ADC又∵DN?平面ADC即DM==28分 在ABC中=BC=2=4=2=×4=.10分 設(shè)點(diǎn)A到平面DMC的距離為h則由V-DMC=V-AMC得×S=×S解得h=點(diǎn)A到平面DMC的距離為.12分 (20)(本小題滿分12分)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率為以原點(diǎn)O為圓心橢圓C的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線2x-y+6=0相切.(Ⅰ)求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)A為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)問：在x軸上是否存在點(diǎn)E使+·為定值?若存在試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值若不存在說明理由.【解析】(Ⅰ) 由e=得=即c=a ?、儆忠栽c(diǎn)O為圓心橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x+y=a且與直線2x-y+6=0相切a==代入①得c=2所以b=a-c=2.所以橢圓的方程為+=1.4分(Ⅱ)由得(1+3k)x2-12k+12k-6=0設(shè)A(x1)，B(x2，y2)，
所以x+x==8分根據(jù)題意假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m)，使得2+·=·()=·為定值則有·=(x-m)·(x2-m)
=(x-m)·(x-m)+y=(x-m)(x-m)+k(x1-2)(x-2) =(k+1)x-(2k+m)(x+x)+(4k+m)
=(k+1)·-(2k+m)·+(4k+m)
=10分要使上式為定值即與k無關(guān)則應(yīng)3m-12m+10=3(m-6)即m=此時(shí)·=m-6=-為定值定點(diǎn)為12分(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax-(a+b)x+a(a，b∈R).(Ⅰ)當(dāng)b=1時(shí)求函數(shù)f(xa=-1=0時(shí)證明：f(x)+-x-x+1(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【解析】 (Ⅰ)當(dāng)b=1時(shí)(x)=ax-(1+a)x+a(x)=ax-(1+a)+=1分當(dāng)a≤0時(shí)x-a>0>0，ax-1<0?(x)<0
此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0+∞)無單調(diào)遞增區(qū)間2分當(dāng)a>0時(shí)令f′(x)=0?=或a當(dāng)=a(a>0)即a=1時(shí)此時(shí)f′(x)=(x>0)
此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0+∞)無單調(diào)遞減區(qū)間3分當(dāng)0<1時(shí)此時(shí)在和(a+∞)上函數(shù)f′(x)>0在上函數(shù)f′(x)<0此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和(a+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為4分當(dāng)00(法一)設(shè)g(x)=--1(x>0)問題轉(zhuǎn)化為證明?(x)>0，
由g′(x)=-(x)=+(x)=-為(0+∞)上的增函數(shù)且g′=-2<0(1)=-1>0.8分存在唯一的x，使得g′(x)=0=(x)在(0)上遞減在(x+∞)上遞增.10分(x)min=g(x)=--1=+x-1≥2-1=1(x)min>0，∴不等式得證.12分(法二)先證：x-1≥(x>0)，
令h(x)=x-1-(x>0)，∴h′(x)=1-==0?=1h(x)在(0)上單調(diào)遞減在(1+∞)上單調(diào)遞增.(x)min=h(1)=0(x)≥h(1)?x-1≥8分++x-1=x?(1+x)≤x(1+x)10分+1>x≥1++故--1>0.12分 請(qǐng)考生在(22)、(23)兩題中任選一題(22)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為(α是參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=(Ⅰ)求曲線C的普通方C2的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)求曲線C上的任意一點(diǎn)P到曲線C的最小距離并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解析】(Ⅰ) 由題意知的普通方程為(x-1)+y=11分的直角坐標(biāo)方程為y=x+1. 5分(Ⅱ)設(shè)P(1+)，則P到C的距離=|2+|，當(dāng)=-1即2α=+2k(k∈Z)時(shí)取最小值-1此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為10分(23)(本小題滿分10分)選修4-5: 不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (Ⅰ) 若不等式f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤3}求實(shí)數(shù)a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下若存在實(shí)數(shù)n使得f(n)≤m-f(-n)恒成立求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(Ⅰ)由f(x)≤6得a-6≤2x-a≤6-a(a<6)即其解集為{x|a-3≤x≤3}3分由題意知f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤3}所以a=1.5分(Ⅱ) 原不等式等價(jià)于存在實(shí)數(shù)n使得(n)+f(-n)=|1-2n|+|1+2n|+2恒成立即m≥[|1-2n|+|1+2n|+2]8分而由絕對(duì)值三角不等式-2n|+|1+2n|≥2從而實(shí)數(shù)m≥4.10分
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